近世代數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設\(G\)是群，\(a,b\inG\)，則方程\(ax=b\)的解為（）A.\(x=ab\)B.\(x=a^{-1}b\)C.\(x=ba\)D.\(x=ba^{-1}\)2.整數加群\((\mathbb{Z},+)\)的單位元是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.不存在3.在模\(6\)的剩余類環\(\mathbb{Z}_6\)中，零因子有（）A.\(1\)個B.\(2\)個C.\(3\)個D.\(4\)個4.設\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aH=H\)的充要條件是（）A.\(a\inH\)B.\(a^{-1}\inH\)C.\(aH\)是\(G\)的子群D.\(H\)是正規子群5.一個有限群\(G\)的階為\(n\)，\(a\inG\)，則\(a\)的階\(o(a)\)整除（）A.\(n\)B.\(n+1\)C.\(n-1\)D.\(2n\)6.設\(R\)是環，\(a,b\inR\)，則\((a+b)^2\)等于（）A.\(a^2+2ab+b^2\)B.\(a^2+ab+ba+b^2\)C.\(a^2+b^2\)D.\(a^2-b^2\)7.有理數域\(\mathbb{Q}\)上的多項式\(x^2-2\)在\(\mathbb{Q}\)上（）A.可約B.不可約C.部分可約D.不確定8.若群\(G\)是阿貝爾群，\(a,b\inG\)，則\((ab)^n\)等于（）A.\(a^nb^n\)B.\(b^na^n\)C.\(a^nb^na^{-n}b^{-n}\)D.\(a^nb^{-n}\)9.環\(R\)中，若\(a\)有逆元\(a^{-1}\)，則\((a^{-1})^{-1}\)等于（）A.\(a\)B.\(a^2\)C.\(a^{-2}\)D.\(1\)10.設\(G\)是群，\(N\)是\(G\)的正規子群，商群\(G/N\)的元素是（）A.\(G\)的所有子群B.\(N\)的所有陪集C.\(G\)的所有元素D.\(N\)的所有元素二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關于群的說法正確的是（）A.群中單位元唯一B.群中每個元素都有逆元C.群運算滿足結合律D.有限群的元素個數一定是偶數2.環\(R\)滿足的性質有（）A.加法結合律B.加法交換律C.乘法結合律D.乘法對加法的分配律3.設\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，以下能判定\(H\)是\(G\)的正規子群的是（）A.對任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)B.對任意\(h\inH\)，\(g\inG\)，\(g^{-1}hg\inH\)C.\(G/H\)是群D.\(H\)的階整除\(G\)的階4.以下哪些是整環的性質（）A.無零因子B.有單位元C.乘法交換律D.每個非零元素都有乘法逆元5.關于多項式環\(R[x]\)，正確的是（）A.\(R[x]\)中加法和乘法滿足環的運算規則B.次數相同的多項式相加還是同次數多項式C.多項式乘法滿足結合律D.\(R[x]\)一定是整環6.設\(G\)是有限群，\(a\inG\)，則\(a\)的階具有以下性質（）A.\(o(a)\)是使\(a^m=e\)（\(e\)為單位元）的最小正整數\(m\)B.\(o(a)\)整除\(|G|\)C.若\(o(a)=m\)，\(a^n=e\)，則\(m\)整除\(n\)D.\(o(a)\)一定是質數7.以下哪些集合關于指定運算構成群（）A.非零有理數集關于乘法B.整數集關于減法C.平面上所有向量關于向量加法D.正實數集關于乘法8.環\(R\)中的理想\(I\)滿足（）A.對任意\(a,b\inI\)，\(a-b\inI\)B.對任意\(r\inR\)，\(a\inI\)，\(ra\inI\)C.\(I\)是\(R\)的子環D.\(I\)一定是\(R\)的正規子群9.設\(G\)是群，\(a,b\inG\)，則以下正確的是（）A.\(o(ab)=o(ba)\)B.若\(o(a)=m\)，\(o(b)=n\)，且\((m,n)=1\)，則\(o(ab)=mn\)C.\(o(a^{-1})=o(a)\)D.\(o(a^k)\)整除\(o(a)\)10.以下關于域的說法正確的是（）A.域是整環B.域中每個非零元素都有乘法逆元C.有限域的元素個數一定是質數D.有理數域是最小的數域三、判斷題（每題2分，共20分）1.群中元素的階一定有限。（）2.環\(R\)中，若\(a^2=0\)，則\(a=0\)。（）3.一個群\(G\)的子群一定是正規子群。（）4.整環一定是域。（）5.多項式\(x^3+1\)在實數域上可約。（）6.若\(G\)是群，\(a,b\inG\)，則\(o(ab)\leqo(a)o(b)\)。（）7.環\(R\)中，加法單位元一定是乘法零元。（）8.有限群\(G\)中，元素\(a\)的階\(o(a)\)與\(|G|\)互質，則\(a=e\)（\(e\)為單位元）。（）9.模\(n\)的剩余類環\(\mathbb{Z}_n\)一定是整環。（）10.若\(G\)是阿貝爾群，\(H\)是\(G\)的子群，則\(G/H\)也是阿貝爾群。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述群的定義。答案：非空集合\(G\)上定義一個二元運算\(\cdot\)，滿足封閉性、結合律，存在單位元\(e\inG\)，對任意\(a\inG\)存在逆元\(a^{-1}\inG\)，則\((G,\cdot)\)是群。2.說明整環和域的關系。答案：域一定是整環，因為域滿足整環無零因子、有單位元且乘法交換律等性質。但整環不一定是域，整環中非零元素不一定都有乘法逆元，而域中每個非零元素都有逆元。3.什么是群\(G\)中元素\(a\)的階？答案：設\(G\)是群，\(a\inG\)，使\(a^n=e\)（\(e\)為單位元）的最小正整數\(n\)稱為元素\(a\)的階，若不存在這樣的正整數\(n\)，則稱\(a\)的階為無限。4.簡述理想的定義。答案：設\(R\)是環，\(I\)是\(R\)的非空子集，若對任意\(a,b\inI\)有\(a-b\inI\)，且對任意\(r\inR\)，\(a\inI\)有\(ra\inI\)，則\(I\)是\(R\)的理想。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在有限群中，元素的階與群的階之間的聯系及應用。答案：有限群\(G\)中，元素\(a\)的階\(o(a)\)整除群\(G\)的階\(|G|\)。應用如判斷某些元素組合是否可能存在，可通過階的整除關系排除不合理情況，在構造子群等方面也有重要作用。2.探討環中理想的作用及重要性。答案：理想在環論中很重要。它可用于構造商環，通過理想對環進行分類。理想還與環的同態密切相關，在研究環的結構、性質及不同環之間的聯系時，理想是關鍵工具，能簡化對環的研究。3.說明多項式環\(R[x]\)在近世代數中的地位和應用。答案：多項式環\(R[x]\)是近世代數重要研究對象。它豐富了環的類型，可用于研究多項式的性質、因式分解等。在代數幾何等領域有應用，如通過多項式環研究曲線、曲面等幾何對象的代數性質。4.討論阿貝爾群的特點及在群論研究中的意義。答案：阿貝爾群運算滿足交換律。其結構相對簡單，便于研究。在群論中是基礎部分，很多復雜群的研究可借助阿貝爾子群。在編碼理論、晶體學等領域，阿貝爾群的性質也有廣泛應用。答案一、單項選擇題1.B2.A3.C