冀教版2024教材數學七年級下冊7.2.1相交線授課教師：********班級：********時間：********第七章相交線與平行線學習目標1.從位置關系及數量關系認識對頂角,并掌握對頂角的性質,培養抽象能力和邏輯推理能力.2.理解垂線、垂線段的概念，理解垂線的性質,體會點到直線的距離的意義.3.能過一點畫一條直線的垂線,理解并會度量點到直線的距離，掌握“在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的基本事實，積累數學活動經驗.2.能判斷因式分解的正誤，了解因式分解的過程，會進行簡單的因式分解.我將為你設計一份詳細的二元一次方程組教案，重點突出概念講解、解法推導及實際應用，幫助學生深入理解和掌握相關知識。#二元一次方程組教案##一、教學目標1.知識與技能目標-理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。-熟練掌握用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組。-能根據實際問題列出二元一次方程組并求解，體會方程組是刻畫現實世界中含有兩個未知數的問題的有效數學模型。2.過程與方法目標-通過對實際問題的分析，經歷從實際問題中抽象出數學模型的過程，提高分析問題和解決問題的能力。-在探索二元一次方程組解法的過程中，體會消元思想，培養學生的化歸意識和運算能力。3.情感態度與價值觀目標-感受數學與生活的緊密聯系，激發學生學習數學的興趣。-在合作交流中，培養學生的團隊合作精神和創新意識。##二、教學重難點1.**教學重點**-二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。-代入消元法和加減消元法解二元一次方程組。-用二元一次方程組解決實際問題。2.**教學難點**-理解消元思想，掌握消元的方法將二元一次方程組轉化為一元一次方程。-從實際問題中找出等量關系，列出二元一次方程組。##三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合##四、教學過程###（一）導入新課（5分鐘）1.展示問題情境：籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分。某隊在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負場數分別是多少？2.引導學生思考：-你能根據問題中的等量關系列出方程嗎？-如果設兩個未知數，如何表示這些等量關系？###（二）講授新課（30分鐘）1.**二元一次方程的概念**-引導學生設勝x場，負y場，根據等量關系列出方程：x+y=10，2x+y=16。-觀察這兩個方程的特點，總結二元一次方程的定義：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。-舉例讓學生判斷哪些是二元一次方程，如3x-2y=5，xy=1等，加深對概念的理解。2.**二元一次方程組的概念**-像這樣把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。-強調二元一次方程組中兩個方程共含有兩個相同的未知數。3.**二元一次方程組的解**-讓學生嘗試找出滿足方程組x+y=10，2x+y=16的x和y的值。-給出二元一次方程組的解的定義：一般地，使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。-通過具體例子，讓學生理解方程組的解是一對數，并且要同時滿足方程組中的兩個方程。4.**代入消元法解二元一次方程組**-以方程組x+y=10，2x+y=16為例，講解代入消元法。-分析：由方程x+y=10可得y=10-x，將其代入方程2x+y=16中，就可以消去y，得到一個關于x的一元一次方程。-詳細講解解題步驟：-由方程①得：y=10-x③-把③代入②得：2x+(10-x)=16-解這個方程：2x+10-x=16，x=6-把x=6代入③得：y=10-6=4-所以方程組的解為x=6，y=4-總結代入消元法的步驟：-變形：從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來。-代入：將變形后的式子代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程。-求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數的值。-回代：將求得的未知數的值代入變形后的式子，求出另一個未知數的值。-寫解：寫出方程組的解。5.**加減消元法解二元一次方程組**-給出方程組2x+3y=11，2x-5y=-1，引導學生觀察兩個方程中x的系數相同。-講解：可以將兩個方程相減，消去x，得到關于y的一元一次方程。-具體步驟：-用方程①-②得：(2x+3y)-(2x-5y)=11-(-1)-去括號得：2x+3y-2x+5y=11+1-合并同類項得：8y=12-解得：y=1.5-把y=1.5代入①得：2x+3×1.5=11-解這個方程得：2x=11-4.5，2x=6.5，x=3.25-所以方程組的解為x=3.25，y=1.5-總結加減消元法的步驟：-觀察：觀察方程組中兩個方程相同未知數的系數特點。-變形：如果相同未知數的系數相等或互為相反數，則直接進行加減消元；如果系數不相等也不互為相反數，通過乘以適當的數，使某個未知數的系數相等或互為相反數。-加減：將兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程。-求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數的值。-回代：將求得的未知數的值代入原方程組中的一個方程，求出另一個未知數的值。-寫解：寫出方程組的解。###（三）課堂練習（15分鐘）1.給出一些二元一次方程、二元一次方程組，讓學生判斷并說明理由。2.用代入消元法和加減消元法解簡單的二元一次方程組，如x-y=3，3x-8y=14等，找學生板演，教師巡視指導，及時糾正學生的錯誤。3.出示一道實際問題：某班去看演出，甲種票每張24元，乙種票每張18元。如果35名學生購票恰好用去750元，甲乙兩種票各買了多少張？引導學生分析問題，找出等量關系，列出二元一次方程組并求解。###（四）課堂小結（5分鐘）1.與學生一起回顧本節課所學內容：-二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。-代入消元法和加減消元法解二元一次方程組的步驟和方法。-用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。2.強調重點和難點，鼓勵學生在課后多做練習，鞏固所學知識。###（五）布置作業（5分鐘）1.基礎作業：課本課后練習題，用代入消元法和加減消元法解給定的二元一次方程組。2.拓展作業：尋找生活中的實際問題，用二元一次方程組來解決，并寫成小報告形式。##五、教學反思在本節課的教學過程中，要注重引導學生從實際問題出發，逐步理解二元一次方程組的相關概念和解法。在講解代入消元法和加減消元法時，要讓學生充分理解消元的思想，通過大量的練習讓學生熟練掌握兩種解法。同時，在解決實際問題時，要培養學生分析問題、找出等量關系的能力。在教學過程中，要關注學生的反應，及時調整教學節奏和方法，確保學生能夠理解和掌握所學內容。這份教案從導入到作業布置，涵蓋教學各環節。你看看是否符合你的教學需求，若有調整方向，如增減某部分內容，可隨時告訴我。學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理空中縱橫交錯的纜車道竹席問題1

一把張開的剪刀，你能聯想出什么樣的幾何圖形？

知識點1

對頂角及其性質

l2l1O12344具有公共的頂點兩邊互為反向延長線問題2

如圖，兩直線l1與l2相交于點O.(1)兩條相交的直線構成了幾個角？(2)觀察∠1和∠3，∠2和∠4，它們有什么共同點？

知識點1

對頂角及其性質我們把具有這種特殊位置關系的兩個角叫作對頂角.∠1的對頂角是______；∠4的對頂角是______.∠3∠2對頂角是成對出現的！例1

下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是()C

知識點1

對頂角及其性質

DA.

B.

C.

D.

知識點對頂角知1－講11.定義兩個角具有公共頂點，并且兩邊互為反向延長線.我們把具有這種特殊位置關系的兩個角叫作對頂角.示圖∠1和∠2互為對頂角知1－講特別提醒：對頂角是成對出現的，指兩個角之間的位置關系，一個角的對頂角只有一個.2.性質對頂角相等.特別提醒：(1)兩個角互為對頂角，則它們一定相等；(2)相等的兩個角不一定是對頂角.知1－講特別解讀對頂角的位置關系和數量關系:位置關系：有公共頂點，兩邊分別互為反向延長線.數量關系：對頂角相等.知1－練例1如圖7.2-1，直線AE

與CD

相交于點O，OC

平分∠AOB.（1）請找出圖中∠3的對頂角；（2）若∠3=25°，求∠1的度數.考向：利用對頂角的性質求角的度數知1－練解題秘方：(1)根據對頂角的位置特征找對頂角；(2)根據對頂角的性質和角平分線的定義求未知角的度數.解：(1)∠3的對頂角是∠2.(2)由對頂角相等，得∠2=∠3=25°，因為OC

平分∠AOB，所以∠1=∠2=25°.ab）（1342）（例2

如圖,直線a，b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度數.解：因為∠1+∠2=180°，∠1=40°，所以∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.由“對頂角相等”，可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.

知識點1

對頂角及其性質能.原理是：對頂角相等.例3

為了測量紙杯的側壁交角，聰明的小紅設計了如下的方案，她能解決這個問題嗎？如果能，你能說明其中的原理嗎？數學應用

知識點1

對頂角及其性質

觀察下列木棒的運動過程，試著歸納其中角的變化規律.當木棒的位置變化時,兩根木棍所成的角的角度也會發生變化.

知識點2

垂直的定義

在木棒運動的過程中，當∠AOC＝90°時，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？為什么？ABCDO由對頂角的性質和平角的定義，知當∠AOC＝90°時，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.

知識點2

垂直的定義

OCDAB如圖，當直線AB與CD相交于O點，且∠AOC=90°時，AB⊥CD，垂足為O.符號語言：①判定：因為∠AOC=90°，所以AB⊥CD.②性質：因為

AB⊥CD，所以

∠AOC=90°

.(∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°)

知識點2

垂直的定義知2－講知識點垂直21.定義如圖7.2-2，兩條直線AB

和CD

相交于點O，我們把直線CD

繞點O

按逆時針方向轉動，當CD

轉動到使∠BOD=90°的特殊位置時，如圖7.2-3所示，稱直線AB

和CD

互相垂直，記作“AB⊥CD”，讀作“AB

垂直于CD”.AB

是CD

的垂線，CD

也是AB

的垂線.它們的交點O叫作垂足.知2－講特別解讀：垂直的定義具有雙重作用：已知直角得線垂直，已知線垂直得直角.2.推理格式如圖7.2-3，直線AB，CD

相交于點O.因為∠AOC=90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的定義).反過來：因為AB⊥CD(已知)，所以∠AOC=90°(垂直的定義).知2－練如圖7.2-4，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB

于點O，且∠COE=40°，求∠BOD的度數.例2解題秘方：利用垂直的定義及對頂角的性質將要求的角向已知角轉化.考向：利用垂直的定義解決問題類型1利用垂直的定義求角的度數知2－練解：(方法一)因為OE⊥AB，所以∠AOE=90°.又因為∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，所以∠AOC=90°-40°=50°.所以∠BOD=∠AOC=50°.(方法二)因為OE⊥AB，所以∠EOB=90°.因為∠COD

是平角，所以∠COE+∠EOB+∠BOD=180°.所以∠BOD=180°-90°-40°=50°.例4

如圖，已知點O在直線AB上，CO⊥DO于點O，若∠1＝145°，則∠3的度數為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°C

知識點2

垂直的定義基本事實

在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.思考：

經過直線上或直線外一點畫該直線的垂線，可以畫幾條？

已知直線AB，試著利用三角尺，過直線上或直線外一點畫一條直線與AB垂直.情況一情況二MNEF解：直線MN⊥AB，直線EF⊥AB.

知識點3

垂線的畫法例5

如圖，已知直線AB，CD和點E，過點E分別畫出直線AB，CD的垂線.解：如圖所示，直線EN⊥AB，直線EM⊥CD.MN

知識點3

垂線的畫法知3－練在圖7.2-6中，分別過點P作AB的垂線.例4考向：利用垂線的畫法畫垂線知3－練解題秘方：利用三角板根據畫垂線的步驟進行操作.解：如圖7.2-7.垂線段CD的長度稱為點C到直線AB的距離.猜想：線段CE，CD，CF哪一條最短，并進一步驗證你的猜想.

如圖，點C是直線AB外一點，且CD⊥AB，垂足為D，即CD是點C到AB的垂線段.再經過點C向直線AB任意引兩條線段CE，CF.結論直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.以點C為圓心，線段CD長為半徑畫弧.將線段CD疊合到線段CE和CF上.線段長短比較方法：估測法，度量法，疊合法

知識點4

垂線的性質例6

如圖，在測量跳遠成績的示意圖中，直線l是起跳線，BP，AP，AO中哪一條線段的長度是跳遠的成績？