冀教版2024教材數學七年級下冊9.3.2完全平方公式授課教師：********班級：********時間：********第九章因式分解學習目標1.經歷通過乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向變形得出利用公式法分解因式的過程，發展逆向思維和推理能力.2.會用公式法(直接用公式不超過兩次)分解因式.3.掌握因式分解的一般步驟,并能進行相關恒等變形、計算與求值..一、教學目標理解因式分解的概念，掌握因式分解與整式乘法的關系。熟練運用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）進行因式分解。通過因式分解的學習，培養學生觀察、分析、歸納的能力，以及逆向思維能力。二、教學重難點（一）教學重點因式分解的概念。用提公因式法和公式法進行因式分解。（二）教學難點正確識別多項式各項的公因式。靈活運用公式法進行因式分解，尤其是對公式的結構特征的理解和運用。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入（5分鐘）計算：(x+2)(x-2)與x2-4；(a+b)2與a2+2ab+b2。提問：觀察上述兩組式子，從左到右和從右到左的變形有什么不同？引入本節課主題——因式分解。（二）新授（25分鐘）因式分解的概念給出定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。舉例說明：如x2-4=(x+2)(x-2)，a2+2ab+b2=(a+b)2是因式分解，而(x+2)(x-2)=x2-4，(a+b)2=a2+2ab+b2是整式乘法，強調因式分解與整式乘法是互逆的恒等變形。提公因式法展示多項式：ma+mb+mc，分析各項都含有一個公共的因式m，引出公因式的概念。提公因式法定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。例1：分解因式3x2-6xy+3x。分析：各項公因式為3x。解答過程：3x2-6xy+3x=3x(x-2y+1)。公式法平方差公式回顧平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，逆向得到因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。強調公式特點：等號左邊是兩項式，這兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；等號右邊是這兩個數的和與這兩個數的差的積。例2：分解因式9x2-16y2。分析：9x2=(3x)2，16y2=(4y)2，符合平方差公式。解答：9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y)。完全平方公式回顧完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，逆向得到因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。強調公式特點：等號左邊是三項式，首末兩項是兩個數的平方，且符號相同，中間一項是這兩個數乘積的2倍。例3：分解因式4x2+12xy+9y2。分析：4x2=(2x)2，9y2=(3y)2，12xy=2×2x×3y，符合完全平方公式。解答：4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2。（三）練習（15分鐘）分解因式：5x3-10x216-25x2x2+10x+25讓學生板演，教師巡視指導，及時糾正學生出現的錯誤。（四）課堂小結（8分鐘）與學生一起回顧因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。強調因式分解的注意事項：分解要徹底，直到不能再分解為止。公因式要提盡。注意公式的結構特征，正確運用公式。（五）作業布置（2分鐘）課本課后習題。拓展作業：嘗試分解因式x3-4x。五、教學反思在教學過程中，應注重引導學生理解因式分解的概念和方法，通過大量實例和練習讓學生熟練掌握提公因式法和公式法。同時，要關注學生在找公因式、運用公式時容易出現的錯誤，及時給予指導和糾正。對于學有余力的學生，可提供一些拓展性的題目，進一步提高他們的思維能力。學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理1.因式分解：2.我們已經學過哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式法a2-b2=(a+b)(a-b)把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解，也叫作將多項式分解因式.

多項式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2有什么特點？你能試著將它們分解因式嗎？a2＋2ab＋b2=a2＋ab＋ab＋b2=a(a＋b)＋b(a＋b)=(a＋b)(a＋b)a2－2ab＋b2=a2－ab－ab＋b2=a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a－b)=(a＋b)2=(a－b)2提公因式提公因式分組

和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到整式乘法(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2a2＋2ab＋b2=(a＋b)2a2－2ab＋b2=(a－b)2因式分解a2+2ab+b2

a2－2ab+b2我們把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫作完全平方式.觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項這兩項都是數或式的平方，并且符號相同是第一項和第三項底數的積的±2倍

知識點1完全平方公式的結構特征簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2++尾2±2×首×尾(首±尾)2

知識點1完全平方公式的結構特征例

1

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）1+4a2;

（3）4b2+4b-1;

（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因為它只有兩項；不是（3）4b2與-1的符號不統一；不是分析：不是是（4）因為ab不是a與b的積的2倍.

知識點1完全平方公式的結構特征對照

a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：③

a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()2

②m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()2

①

x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=(

)2x2x+2

aa

2ba+2b2bmm-33x2

m3

知識點2用完全平方公式分解因式...例2

把下列各式分解因式：(1)t2＋22t＋121；

(2)m2＋n2－mn.解：(1)t2＋22t＋121=t2＋2×11t＋112=(t＋11)2.

知識點2用完全平方公式分解因式

跟蹤訓練

下面的多項式能否用完全平方公式分解因式?請說明理由.(1)x2＋10x＋25；

(2)4m2－4m＋l；(3)4a2＋18ab＋9b2；

(4)m2－4mn＋4n2.解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.

(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.

(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.

(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.

知識點2用完全平方公式分解因式

思考：具有什么特征的多項式能用完全平方公式分解因式?具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多項式能用完全平方公式分解因式.方法總結：公式中的a、b無論表示數、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解.

知識點2用完全平方公式分解因式

解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22=(x＋y－2)2運用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.例3

把下列各式分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋.

知識點2用完全平方公式分解因式例4

把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；a2

＋2ab＋b2

＝(a+b)2(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.a2

－＋b2

＝(a-b)22ab

知識點2用完全平方公式分解因式方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式，平方項為負的先提出負號．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．

知識點2用完全平方公式分解因式例

5

用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2=1.＝2500.

知識點2用完全平方公式分解因式

BA.

1

B.

2

C.

3

D.

4

C

返回

D

返回

DA.

0

B.

1

C.

4

D.

9

返回5.用圖①中的正