冀教版2024教材數(shù)學七年級下冊9.3.1平方差公式授課教師：********班級：********時間：********第九章因式分解學習目標1.經(jīng)歷通過乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向變形得出利用公式法分解因式的過程，發(fā)展逆向思維和推理能力.2.會用公式法分解因式.3.掌握因式分解的一般步驟,并能進行相關恒等變形、計算與求值..一、教學目標理解因式分解的概念，掌握因式分解與整式乘法的關系。熟練運用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）進行因式分解。通過因式分解的學習，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，以及逆向思維能力。二、教學重難點（一）教學重點因式分解的概念。用提公因式法和公式法進行因式分解。（二）教學難點正確識別多項式各項的公因式。靈活運用公式法進行因式分解，尤其是對公式的結(jié)構特征的理解和運用。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結(jié)合四、教學過程（一）導入（5分鐘）計算：(x+2)(x-2)與x2-4；(a+b)2與a2+2ab+b2。提問：觀察上述兩組式子，從左到右和從右到左的變形有什么不同？引入本節(jié)課主題——因式分解。（二）新授（25分鐘）因式分解的概念給出定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。舉例說明：如x2-4=(x+2)(x-2)，a2+2ab+b2=(a+b)2是因式分解，而(x+2)(x-2)=x2-4，(a+b)2=a2+2ab+b2是整式乘法，強調(diào)因式分解與整式乘法是互逆的恒等變形。提公因式法展示多項式：ma+mb+mc，分析各項都含有一個公共的因式m，引出公因式的概念。提公因式法定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。例1：分解因式3x2-6xy+3x。分析：各項公因式為3x。解答過程：3x2-6xy+3x=3x(x-2y+1)。公式法平方差公式回顧平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，逆向得到因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。強調(diào)公式特點：等號左邊是兩項式，這兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；等號右邊是這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。例2：分解因式9x2-16y2。分析：9x2=(3x)2，16y2=(4y)2，符合平方差公式。解答：9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y)。完全平方公式回顧完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，逆向得到因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。強調(diào)公式特點：等號左邊是三項式，首末兩項是兩個數(shù)的平方，且符號相同，中間一項是這兩個數(shù)乘積的2倍。例3：分解因式4x2+12xy+9y2。分析：4x2=(2x)2，9y2=(3y)2，12xy=2×2x×3y，符合完全平方公式。解答：4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2。（三）練習（15分鐘）分解因式：5x3-10x216-25x2x2+10x+25讓學生板演，教師巡視指導，及時糾正學生出現(xiàn)的錯誤。（四）課堂小結(jié)（8分鐘）與學生一起回顧因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。強調(diào)因式分解的注意事項：分解要徹底，直到不能再分解為止。公因式要提盡。注意公式的結(jié)構特征，正確運用公式。（五）作業(yè)布置（2分鐘）課本課后習題。拓展作業(yè)：嘗試分解因式x3-4x。五、教學反思在教學過程中，應注重引導學生理解因式分解的概念和方法，通過大量實例和練習讓學生熟練掌握提公因式法和公式法。同時，要關注學生在找公因式、運用公式時容易出現(xiàn)的錯誤，及時給予指導和糾正。對于學有余力的學生，可提供一些拓展性的題目，進一步提高他們的思維能力。學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理1.什么叫把多項式分解因式?把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解，也叫作將多項式分解因式.2.已學過哪一種分解因式的方法?提公因式法

填空:(1)(x＋5)(x－5)=

;

(2)(3x＋y)(3x－y)=

;

(3)(3m＋2n)(3m－2n)=

.

嘗試將它們的結(jié)果分別寫成兩個因式的乘積:(1)x2－25=

;

(2)9x2－y2=

;

(3)9m2－4n2=

.

x2－259x2－y29m2－4n2(x＋5)(x－5)(3x＋y)(3x－y)(3m＋2n)(3m－2n)想一想：多項式a2-b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？是a,b兩數(shù)的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解

兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積.平方差公式：

知識點1平方差公式的結(jié)構特征

平方差公式的特點

公式左邊

公式右邊

共有兩項，

兩項符號相反，

且都是平方形式.兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差.

知識點1平方差公式的結(jié)構特征√√××下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？√√★符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:()2-()2的形式.

兩數(shù)是平方，減號在中央．（1）x2+y2；（2）x2-y2；（3）-x2-y2；-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2；（5）x2-25y2；(x+5y)(x-5y)（6）m2-1.(m+1)(m-1)

知識點1平方差公式的結(jié)構特征試一試：試著將下面的多項式分解因式.(1)p2－16=

;

(2)y2－4=

;

(3)x2－=

;

(4)4a2－b2=

.

(p＋4)(p－4)(y＋2)(y－2)(2a＋b)(2a－b)

知識點2用平方差公式進行因式分解例1

把下列各式分解因式:(1)4x2-9y2

；

(2)(3m-1)2-9(1)4x2-9y2=解：(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3）(3m-1-3)=（3m+2)(3m-4)

知識點2用平方差公式進行因式分解跟蹤訓練

分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；若用平方差公式分解后的結(jié)果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續(xù)分解.

知識點2用平方差公式進行因式分解(2)9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n).例2

已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x－y＝－2②.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，聯(lián)立①②組成二元一次方程組，解得方法總結(jié)：在與x2－y2，x±y有關的求代數(shù)式或未知數(shù)的值的問題中，通常需先因式分解，然后整體代入或聯(lián)立方程組求值.

知識點2用平方差公式進行因式分解

例3

把下列各式分解因式.(1)a3－16a; (2)2ab3－2ab.(2)2ab3－2ab=2ab(b2－1)=2ab(b＋1)(b－1).解:(1)a3－16a=a(a2－16)=a(a－4)(a＋4).當多項式的各項含有公因式時，通常先提出這個公因式，再進一步因式分解.

知識點2用平方差公式進行因式分解跟蹤訓練

把x3－9x分解因式，結(jié)果正確的是()A.x(x2－9)B.x(x－3)2C.x(x＋3)2D.x(x＋3)(x－3)D

注意：因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

知識點2用平方差公式進行因式分解（1）公式中的a、b無論表示數(shù)、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.（2）分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．

知識點2用平方差公式進行因式分解例4

計算下列各題：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.方法總結(jié)：較為復雜的有理數(shù)運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.

知識點2用平方差公式進行因式分解1.

課堂上老師在黑板上布置了以下的題目：用平方差公式分解因式：

BA.

（1）

B.

（2）

C.

（3）

D.

（4）返回

C

4返回6.

教材P117例1

分解因式：