第十三章三角形13.2與三角形有關的線段13.2.2三角形的中線、角平分線、高目錄1.學習目標4.知識點1 三角形的中線7.課堂小結3.新課導入5.知識點2 三角形的角平分線8.當堂小練CONTENTS2.知識回顧9.對接中考10.拓展與延伸6.知識點3 三角形的高1.理解三角形的中線、角平分線、高線等概念.2.掌握三角形的中線、角平分線、高線的畫法.3.能夠利用三角形三邊關系、三種重要線段的概念，解決一些與線段或角度有關的計算或證明問題，逐步提高推理能力.學習目標知識回顧定義圖示垂線

線段中點

角平分線當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線

把一條線段分成兩條相等的線段的點AB一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線OBA新課導入在這些三角形中，除了邊之外，還有一些特殊的線段，它們有著獨特的性質和作用，大家想不想知道是什么呢？新課講解知識點1三角形的中線連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點，所得線段叫作三角形的這條邊上的中線.三角形的中線的定義

DCBA中點中線新課講解中線的畫法：連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.DCBAEF用同樣的方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的中線嗎？新課講解你能分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線嗎？觀察它們中線的交點你會發現什么規律？三角形的三條中線交于三角形內部一點.這一點我們稱為三角形的重心.探究新課講解DCBA【思考】被三角形的中線分成的兩個小三角形的面積大小有什么關系？相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個小三角形.新課講解例1.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，下列結論一定正確的是（

）B新課講解例2.如圖，在△ABC中，AD，BE分別是△ABC，△ABD的中線.(1)若△

ABD與△ADC

的周長之差為3，AB=8，求AC的長；(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.方法點撥：利用中線將三角形分成的兩個三角形的周長之間的關系和面積之間的關系解題.解：(1)∵AD

為BC

邊上的中線，∴BD=CD.∴△ABD與△ADC

的周長之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC.∵△ABD

與△ADC

的周長之差為3，AB=8，∴8－AC=3，解得AC=5.

新課講解練一練1.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.7cm解析：因為△ABD的周長＝AB+BD+AD，△ADC的周長＝AC+DC+AD，所以△ABD的周長-△ADC的周長＝（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）＝AB-AC=2cm.又因為AC＝5cm，所以AB＝7cm.新課講解練一練2.如圖，有一塊三角形菜地，現要將其分成面積比為1∶1∶2的三塊，已知點A處是三塊菜地的共同水源處，則三塊菜地應該怎么分？解：根據面積比為1∶1∶2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.如圖，作△ABC的中線AD，△ABD的中線AE，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積比就是1∶1∶2.ABCED三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個小三角形新課講解1.三角形的中線把三角形分成的兩個三角形的面積之間的關系和周長之間的關系：(1)兩個三角形的面積相等；(2)兩個三角形的周長的差等于原三角形另兩邊的差.2.中線是一條線段，一個端點是頂點，另一個端點是中點.總結新課講解知識點2三角形的角平分線符號語言：如圖，畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫作△ABC的角平分線.在三角形中，一個內角的平分線與這個角所對的邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫作三角形的角平分線.12ABCD①AD是△ABC的角平分線，②AD平分∠BAC，交BC于點D，

三角形的角平分線的定義新課講解角平分畫法：畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線.用同樣的方法，你能畫出△ABC的另外兩條角平分線嗎？DBCAEF1.角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.2.三角形的角平分線是其內角的平分線的一部分，故角的平分線的性質三角形的角平分線都具有.注意新課講解三角形的三條角平分線交于三角形內部一點，這一點我們稱為三角形的內心.分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，觀察它們是否也有這樣的發現？探究新課講解在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設法畫出它的一個內角的平分線嗎?

BCA方法一：探究折紙：在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕即為三角形的∠A的平分線.BCA方法二：新課講解例3.如圖，D

是△

ABC的邊AC

上一點，DE∥BC交AB

于點E，若∠EDB=∠EBD，求證：BD是△ABC

的角平分線.思路導引：證明：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC.又∵∠EDB=∠EBD，∴∠DBC=∠EBD.∴BD是△ABC

的角平分線.新課講解例

D新課講解練一練1.如圖，AD，BE，CF分別是△ABC的三條角平分線，請根據圖中各角之間的關系填空：DABCEF1234

2∠ABC2新課講解練一練2.在△ABC中，已知∠A

=50°，BE，CF分別是∠ABC，∠ACB的平分線，相交于點P.∠ABP=21°，求∠BCP的度數.

新課講解知識點3三角形的高符號語言：從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，連接頂點和垂足的線段叫作三角形的這條邊上的高.①AD是△ABC的邊BC上的高，②AD⊥BC于點D，

三角形的高的定義高底ABCD如圖，從△ABC的頂點A向它的對邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.記作AD⊥BC于點D.新課講解探究

分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，你有什么發現？ABCDEFBACFABCDEF三角形的三條高交于一點，這一點我們稱為三角形的垂心.新課講解三角形三條高的位置三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內部有兩條高恰好是它的兩條直角邊，另一條高在三角形內部有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內部三條高的交點三條高交于三角形內部一點三條高交于三角形的直角頂點三條高沒有交點，但三條高所在的直線交于三角形外一點新課講解1.三角形的高是一條垂線段，一個端點是頂點，另一個端點是垂足.2.畫三角形高的關鍵：找準頂點和對邊；3.畫三角形高的步驟：過直線外一點作該直線的垂線段.注意三角形高的畫法：用三角板過三角形的某一頂點向其對邊或對邊所在直線畫垂線，交對邊或對邊延長線于一點，所得的垂線段就是這條邊上的高.新課講解例5.作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)D三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．方法總結新課講解例6.下列圖形中，AD是△ABC的高的是（）BABCDABCDABCDABCDABCD判斷一條線段是否為三角形的高的方法：一看頂點：三角形的高一定過頂點.二看垂足：三角形的高的垂足在頂點的對邊或對邊延長線上.方法總結新課講解練一練

D

新課講解練一練2.如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不能確定B三角形的內部三角形的直角頂點三角形的外部新課講解三角形三種重要線段的區別與聯系三角形的中線三角形的角平分線三角形的高用途舉例(1)證線段相等；(2)證面積相等證角相等(1)證線段垂直；(2)證角相等在圖中的位置三條中線全在三角形內三條角平分線全在三角形內銳角三角形三條高全在三角形內直角三角形一條高位于三角形內，另兩條高與兩直角邊重合鈍角三角形一條高位于三角形內，另兩條高位于三角形外條數三條三條三條交點位置在三角形內在三角形內銳角三角形在三角形內直角三角形在直角頂點處鈍角三角形沒有交點課堂小結三角形中線連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點的線段.角平分線高一個內角的平分線與這個角所對的邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段.從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段.當堂小練1.如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD中點，延長BG交AC于E，F為AB上一點，CF交AD于H，判斷下列說法的正誤.（1）AD是△ABE的角平分線()（2）BE是△ABD邊AD上的中線()（3）BE是△ABC邊AC上的中線()⌒⌒ABCDE12FGH××分析：（1）AD線段不在△ABE內部，所以不是其角平分線（2）BE線段不在△ABD內部，所以不是其角平分線（3）AE不等于CE,所以BE不是△ABC邊AC上的中線×當堂小練2.如圖，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，則下列說法中，正確的是（

）A．AD是△ABE的中線B．AE是△ABC的角平分線C．AF是△ACE的高線D．AE是△ABC的中線BABCDEF1234∠1+∠2=∠3+∠4當堂小練3.下列說法正確的是()C①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且相交于一點；③三角形的三條高都在三角形的內部；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分A.①②④

B.②③④

C.②④

D.①②③④當堂小練

CEBC∠CAD∠BAC∠CFABCDEAF

當堂小練思路引導：5.如圖所示，已知△ABC的周長為27cm，AC=9cm，BC邊上的中線AD為6cm，△ABD的周長為19cm，AB=

.8cmCADBAB+BC+AC=27cm，AC=9cmAB+BD+AD=19cm，AD=6cmAB+BC=18cmAB+BD=13cmAB=8cmBC=2BD當堂小練6.如圖，在△ABC中，CD是中線,已知BC-AC=5

cm，△DBC的周長