復(fù)變函數(shù)與積分變換2學(xué)習(xí)方法：注意參照與對(duì)比高等數(shù)學(xué)有關(guān)的概念與方法來理解復(fù)變函數(shù)，但注意復(fù)變函數(shù)又有哪些地方不同于實(shí)變函數(shù)的。要求：1.認(rèn)真聽課，不能無故缺課(隨機(jī)點(diǎn)名3次未到取消考試資格)2.按時(shí)認(rèn)真完成作業(yè)（不能抄襲,缺交1/3以上的取消考試資格）3.及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容3參考書目1、高教出版社《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》蘇變萍王一平等編2、浙江大學(xué)出版社《復(fù)變函數(shù)與拉普拉斯變換》金憶丹編3、高等教育出版社《西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編》，復(fù)變函數(shù)（第四版）4、蓋云英、包革軍編：復(fù)變函數(shù)與積分變換。科學(xué)出版社

5.華中科大：復(fù)變函數(shù)與積分變換，高等教育出版社。4

在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次引言包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及方程時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為。在當(dāng)時(shí)，Euler公式揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之5

定義復(fù)數(shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。

復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)

的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)

的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。6第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù),它是本課程的研究對(duì)象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充;然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).7§1.1復(fù)數(shù)及其表示法

一對(duì)有序?qū)崝?shù)（）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為

.x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部,x=Re(z)，y=Im(z),

稱為z的共軛復(fù)數(shù)。與實(shí)數(shù)不同,一般來說,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等它們的實(shí)部和虛部都相等特別地，81.代數(shù)形式

:復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實(shí)軸虛軸92)向量表示0xyxyqz=x+iy|z|=r10----復(fù)數(shù)z的輻角(argument)

記作Argz=q.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無窮多個(gè)幅角,將滿足-p<q0

p的q0稱為Argz的主值,記作q0=argz，則Argz=q0+2kp=argz+2kp(k為任意整數(shù))----復(fù)數(shù)z的模11當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而輻角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:122.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=rcosq,y=rsinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:13例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.解：1)z在第三象限,所以因此142)顯然,r=|z|=1,又因此15練習(xí)：解：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。16§1.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)1.

四則運(yùn)算17z1+z2=z2+z1;復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3;z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.18加減法與平行四邊形法則的幾何意義:19乘、除法的幾何意義:,,,定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們輻角的和.20幾何上z1z2相當(dāng)于將z2的模擴(kuò)大|z1|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz1.0121例2：設(shè)求：解：若取則若取則22;當(dāng)z10時(shí),有定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.232.

乘方與開方運(yùn)算1）乘方DeMoivre公式：242）開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，記為

于是推得25從而z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為圓心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。幾何解釋：26例2求解：因?yàn)樗?7即四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).1+iw0w1w2w3Oxy28§1.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形

很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.求下列方程所表示的曲線:29解：設(shè)z=x+iy

,

方程變?yōu)?-iOxy30

幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x31設(shè)z=x+iy

,那么可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-332§1.4區(qū)域1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.z0d|z-z0|<d33

設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集.

平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;2)D是連通的.就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.

設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.34

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的.0M|z|<M35平面曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.2.單連通域與多連通域如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個(gè)方程z=z(t)(a

t

b)來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.36

設(shè)C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn).如果簡(jiǎn)單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡(jiǎn)單閉曲線.對(duì)于滿足a<t1<b,a

t2

b的t1與t2,當(dāng)t1

t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱為曲線C的重點(diǎn).沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.37z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b)38

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個(gè)是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個(gè)是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界.內(nèi)部外部C39定義復(fù)平面上的一個(gè)連通區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域40

NSOxyPz3.復(fù)球面41

除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)z=0的球面,球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合.通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N.稱N為北極,S為南極.

對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),而N點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.這樣的球面稱作復(fù)球面.42§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)D是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集,稱為復(fù)變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u,v.43例如,考察函數(shù)w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

在以后的討論中,D常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).因而函數(shù)w=z2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy442.映射的概念

函數(shù)w=f(z)在幾何上可以看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(函數(shù)值集合)的映射(或變換).如果D中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW45設(shè)函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w246

如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時(shí),我們也稱集合D與集合G是一一對(duì)應(yīng)的.47§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時(shí)有|f(z)-A|<e,則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作或記作當(dāng)z

z0時(shí),f(z)A.48幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)49等價(jià)定義：

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則50運(yùn)算性質(zhì)：51當(dāng)z0時(shí)的極限不存在例1證明函數(shù)證:令z=x+iy,則由此得52讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.532.函數(shù)的連續(xù)性

則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).54連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)；(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)；(3)連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)；(4)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必有界，且其模在D上取到最大值與最小值;(5)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù).55例1

討論的連續(xù)性。x0056例2

討論

解：的連續(xù)性。57第二章解析函數(shù)

58§2.1解析函數(shù)的概念

1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義2.1.1：存在,則就說f(z)在z0可導(dǎo),此極限值就稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作應(yīng)該注意：上述定義中的方式是任意的。59容易證明：可導(dǎo)可微；可導(dǎo)連續(xù)。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導(dǎo).

例1

求f(z)=z2

的導(dǎo)數(shù)。解:因?yàn)樗?/p>

f'(z)=2z.（即f(z)=z2

在復(fù)平面處處可導(dǎo)。）60求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)同樣的辦法可得:

1)(c)'=0,其中c為復(fù)常數(shù).

2)(zn)'=nzn-1,其中n為正整數(shù).

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).61例2問f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)?解：這里62所以f(z)=x+2yi

的導(dǎo)數(shù)不存在.（即f(z)=x+2yi

在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo).）63例3討論的可導(dǎo)性。解：64所以在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。65

定義2.1.2

如果函數(shù)f（z）在點(diǎn)及的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo),那么稱f（z）在點(diǎn)解析（Analytic）。如果f（z）在區(qū)域D每一點(diǎn)解析，那么稱f（z）在D內(nèi)解析，或稱f（z）是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)(Analyticfunction),并把D叫做f（z）的解析區(qū)域（Analyticdomain）。如果函數(shù)f（z）在點(diǎn)處不解析，但在點(diǎn)的每一鄰域內(nèi)，總有若干個(gè)點(diǎn)使f（z）解析，則叫做的奇點(diǎn)（Singularpoint）。662.解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：否則稱為奇點(diǎn)。67例如f(z)=z2

在整個(gè)復(fù)平面上解析；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，f(z)=x+2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；68例4討論函數(shù)f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外處處解析；z=0是它的一個(gè)奇點(diǎn)。解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)

兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)

兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)

一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析；所有解析點(diǎn)的集合必為開集。69問題：對(duì)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判別其解析（可導(dǎo)）性？我們也可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù),則對(duì)x求偏導(dǎo)和對(duì)y求偏導(dǎo).707172稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程簡(jiǎn)稱C-R方程73

定理2.1設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,并且在該點(diǎn)滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

74

定理2.2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)處處可微,并滿足柯西-黎曼方程(2.3).推論：

設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)有定義，如果在D內(nèi)u(x,y)和v(x,y)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)ux,uy,vx,vy存在且連續(xù)，并且滿足C-R方程，則

f(z)在D內(nèi)解析.75

例5（1）如果f'(z)在區(qū)域D處處為零,則f(z)在D內(nèi)為一常數(shù).所以u(píng)=常數(shù),v=常數(shù),因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù).證：因?yàn)?6并且滿足常數(shù),則函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)必為常數(shù).

證明：（2）證明:若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,為常數(shù)，即|f(z)|2=u2+v2=常數(shù)，分別兩邊求導(dǎo)，得77則函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)必為常數(shù).

78例6解:

因?yàn)閡=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不滿足,所以函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo),處處不解析.判斷函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析?79判斷函數(shù)解:在何處解析?例7

在何處可導(dǎo),因?yàn)閡=excosy,v=exsiny,由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且根據(jù)(2.4)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今后將知道這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.80判斷函數(shù)解:在何處解析。例8

在何處可導(dǎo),由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當(dāng)x=y=0時(shí),它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.81根據(jù)求導(dǎo)法則可知定理

1）在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(除去分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析.2)設(shè)函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析.如果對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z,函數(shù)g(z)的對(duì)應(yīng)值h都屬于G,則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)解析.1.所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的；2.任何一個(gè)有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母的零點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn).82作業(yè)：P521(1,3,4);2（3，4）；3(3);

4；

5（1，2）。83

定義2.3如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域D有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足

或稱函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)調(diào)和.則稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)§2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系§2.2.1調(diào)和函數(shù)的概念

二維拉普拉斯(Laplace)方程:84當(dāng)f(z)

解析時(shí)μ,υ有任意的偏導(dǎo)數(shù)

則f(z)的實(shí)部μ(x,y)和虛部υ(x,y)都是區(qū)域

D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).定理2.3設(shè)函數(shù)f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,證:因f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,所以μ,υ在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R方程:85在上述二式分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得則說u(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).且u,v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

v(x,y)也是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).同樣可得

86注：逆定理顯然不成立，即

對(duì)區(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u,v,不一定是解析函數(shù)

.例如：是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。87§2.2.2共軛調(diào)和函數(shù)

在區(qū)域D內(nèi),f(z)的虛部υ(x,y)是實(shí)部μ(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用C-R方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。

定義2.4設(shè)函數(shù)及ψ(x,y)均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且滿足C-R方程:定理2.4復(fù)變函數(shù)f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析充分必要條件是:則稱ψ(x,y)

是的共軛調(diào)和函數(shù)88方法1:偏積分法例1:驗(yàn)證μ(x,y)=x3-3xy2是調(diào)和函數(shù),并求以μ(x,y)為實(shí)部的解析函數(shù)f(z),使之適合f(0)=i。解：由所以μ的二階偏導(dǎo)數(shù)顯然是連續(xù)的，故μ(x,y)為調(diào)和函數(shù).求共軛調(diào)和函數(shù)方法§2.2.3解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系89

由于90方法2:曲線積分法由C-R條件知道，函數(shù)μ決定了函數(shù)ν的微分，即

當(dāng)D為單連通區(qū)域時(shí)，上式右端的積分與路徑無關(guān)，而ν可以表示為：其中（x0,y0）為D內(nèi)一定點(diǎn)，C為任意實(shí)常數(shù)類似地，可以從ν(x,y)求出μ(x,y).91

例2:求解析函數(shù)f(z)=μ+iv,已知μ=x2-y2+xy,

f(i)=-1+i.解：容易驗(yàn)證μ

是全平面上的調(diào)和函數(shù).利用

C-R條件,先求v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).92結(jié)果得到則93作業(yè)：52頁：7（1，3），894§2.3初等函數(shù)§2.3.1指數(shù)函數(shù)

定義：

性質(zhì)：

9596例1解下列方程：解:97例2

解:

因?yàn)槔弥笖?shù)表示計(jì)算9899定義：§2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)100相應(yīng)于輻角函數(shù)的主值，我們定義對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值lnz為：則這時(shí)，有101三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：102例4

103例5

104