/2023-2024學年福建省德化第二中學高二下學期7月期末考試數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【點評】求得集合，再根據集合的運算以及包含關系，即可判斷和選擇.【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項錯誤.故選：A.2．若，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【點評】利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.【解析】解：∵，，，，當且僅當時取等號.∴的最小值是.故選：C.【小結點評】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.3．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【點評】根據函數的奇偶性和初等函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【解析】對于A，函數的定義域為R，且滿足，所以其為偶函數，在上單調遞減，在上單調遞減，故A不符合題意；對于B，設，函數的定義域為R，且滿足，所以函數為偶函數，當時，為單調遞增函數，故B符合題意；對于C，函數的定義域為，不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，故C不符合題意；對于D，設，函數的定義域為，關于原點對稱，且滿足，所以函數為奇函數，又函數在上單調遞減，故D不符合題意.故選：B.4．復數的共軛復數是（

）A． B．C． D．【答案】B【點評】先將復數的分母化成實數，再求其共軛復數即可.【解析】而的共軛復數是故選：B.5．已知平面向量，滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【點評】借助向量的數量積公式及夾角公式計算即可得.【解析】，則，即，又，故與的夾角為.故選：B.6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【點評】先判斷出的范圍，再比較大小即可.【解析】因為，所以；，；，；所以.故選：D7．三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A．－2 B．2 C． D．【答案】A【解析】試題分析：【解析】平面向量數量積的運算8．當時，曲線與的交點個數為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【點評】畫出兩函數在上的圖象，根據圖象即可求解【解析】因為函數的的最小正周期為，函數的最小正周期為，所以在上函數有三個周期的圖象，在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數圖象有6個交點.故選：C二、多選題9．下列“若，則”形式的命題中，是的必要條件的是（

）A．若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】根據必要不充分條件的概念逐個分析可得答案.【解析】A選項，若兩個三角形全等，則這兩個三角形一定相似，但兩個三角形相似未必全等，故不是的必要條件B選項，由，無法推出，如，但是.反之成立，即滿足是的必要條件；C選項，由，無法得到，如，，時有，但是，反之成立；D選項，若，則，即，反之則，滿足是的必要條件．故選：BCD．【小結點評】關鍵點小結點評：本題考查必要條件的判斷，關鍵是看由能不能推出，若能，則是的必要條件，若不能，則不是的必要條件.10．若，，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若且，則C．若，則 D．【答案】BD【點評】利用特殊值判斷A，利用作差法判斷B、C、D.【解析】對于A：當，時，滿足且，但，故A錯誤；對于B：因為且，所以，故，故B正確；對于C：因為，所以，即，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確．故選：BD．11．已知函數對任意實數，都滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數B．C．D．【答案】ACD【點評】根據，結合函數的性質，利用賦值法逐項計算判斷即可得.【解析】因為，令，得，因為，所以，故B錯誤；令，則，即，所以，且定義域為，故是偶函數，故A正確；令，則，所以，令，則，故C正確；有，則，所以函數周期，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．函數的零點個數為.【答案】1【點評】令，直接求解，結合函數定義域，即可得出函數零點，確定結果.【解析】的定義域為，令，則或，解得或（舍）.故答案為：113．函數的最大值為.【答案】【解析】根據題意，將函數化簡為，即可得到最大值.【解析】由題意，，所以，最大值為：.故答案為：.【小結點評】本題考查三角恒等變換，輔助角公式，三角函數的圖像和性質，屬于基礎題.14．設函數，，則函數的值域是．【答案】【點評】首先化解函數的解析式，再判斷函數的單調性，再求函數的值域.【解析】，，令，設，設，，因為，則，，，即，，所以函數在上單調遞增，又也為增函數，所以函數在單調遞增，，所以函數的值域為.四、解答題15．已知向量，.（1）求的值；（2）若與共線，求實數k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據向量減法得，再根據向量模的坐標表示得結果；（2）先用坐標化簡與，再根據共線關系列方程解得結果.【解析】（1），.（2），，與共線，，解得.【小結點評】本題考查向量模的坐標表示以及根據共線關系求參數，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16．在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F分別是AB，BD的中點，求證：（I）直線；（II）．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．【解析】證明：（I）E，F分別為AB，BD的中點．（II），又，所以．17．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【點評】（1）根據輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規方法還可利用同角三角函數的關系解方程組，亦可利用導數，向量數量積公式，萬能公式解決；（2）先根據正弦定理邊角互化算出，然后根據正弦定理算出即可得出周長.【解析】（1）方法一：常規方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設，則，顯然時，，注意到，，在開區間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）設，由題意，，根據向量的數量積公式，，則，此時，即同向共線，根據向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設，根據萬能公式，，整理可得，，解得，根據二倍角公式，，又，故（2）由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為18．已知集合，．(1)求和；(2)若集合，且，求實數的取值范圍．【答案】(1)，(2)【點評】（1）根據不等式的解法和指數函數的性質，求得集合，結合集合的運算，即可求解；（2）根據題意，轉化為，列出不等式組，即可求解.【解析】（1）解：由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，則.（2）解：由集合，且，可得，則滿足，解得，所以實數的取值范圍．19．已知函數的定義域為，若存在常數，使得對內的任意，，都有，則稱是“利普希茲條件函數”.(1)判斷函數是否為“利普希茲條件函數”，并說明理由；(2)若函數是周期為2的“利普希茲條件函數”，證明：對定義域內任意的，均有.【答案】(1)與是“利普希茲條件函數”，理由見解析(2)證明見解析【點評】（1）根據所給定義推導的正負，即可判斷；（2）首先證明對任意的，都有，再由周期性，即可證明對定義域內任意的，均有.【解析】（1）由題知，函數的定義域為，所以，即，所以函數是“利普希茲條件函數”；函