浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，且與共線，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．8 D．3．已知且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．某街區(qū)的交通道路如圖1實(shí)線所示，從處出發(fā)，沿道路以最短路徑到達(dá)處，則選擇如圖2實(shí)線所示的道路到達(dá)處的概率是（

）A． B． C． D．6．已知對(duì)于恒成立，則（

）A． B． C． D．7．已知四棱錐的底面是矩形，平面，若直線與平面，平面和平面所成的角分別為，，，則（

）A． B．C． D．8．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，記，.當(dāng)時(shí)，.記關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，且，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C． D．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．在上是減函數(shù)11．棱長為1的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（

）A．三棱錐的體積為定值B．點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四面體的外接球的表面積為D．的正切值的取值范圍是三、填空題12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.13．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.14．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則原方程可以變形為，展開得，由此，我們可以得到，.類比上述方法，如果實(shí)系數(shù)一元三次方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，我們也可以得到類似的結(jié)論.已知關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，且，則的取值范圍為.四、解答題15．某中學(xué)高一年級(jí)1000名學(xué)生中，男生有600名，女生有400名.為調(diào)查該校高一年級(jí)學(xué)生每天的課后學(xué)習(xí)時(shí)間，按照性別進(jìn)行分層，并通過比例分配的分層隨機(jī)抽樣從中抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，得到如圖1（男生）、圖2（女生）所示的頻率分布直方圖.(1)求抽取的200名學(xué)生中每天的課后學(xué)習(xí)時(shí)間落在區(qū)間的男生人數(shù)；(2)估計(jì)該中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間（注：同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.16．已知單位向量，的夾角為.(1)若，求在上的投影向量（結(jié)果用表示）；(2)若對(duì)恒成立，求的取值范圍.17．如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于，的任意一點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.18．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，.請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件中任選一個(gè)進(jìn)行解答（若選多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答過程給分）：①；②；③.(1)求；(2)若，，（ⅰ）求的面積；（ⅱ）若，為邊上的兩點(diǎn)，且為的角平分線，為邊上的中線，求的值.19．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，不等式對(duì)恒成立，求的最大值；(3)若，存在，，使得在上單調(diào)遞增且在上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?

浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)12345678910答案DBACCBDDADBCD題號(hào)11答案ABD1．D【詳解】因?yàn)椋獾茫夯颍裕驗(yàn)椋?故選：D2．B【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得，故選：B3．A【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，所以，滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是，因?yàn)槭堑恼孀蛹省啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選：A.4．C【詳解】根據(jù)圖象，，，所以，則，則將該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為.故選：C5．C【詳解】根據(jù)題意，圖中從處出發(fā)到達(dá)處的最短路徑需要經(jīng)過兩橫兩縱四段短路，所以最短路徑數(shù)為種路徑，圖中從處出發(fā)到達(dá)處的最短路徑有兩種情況：第一步走縱，只有縱縱橫橫一種路徑；第一步走橫，到達(dá)如圖所示的處，從處到達(dá)處的最短路徑需要經(jīng)過一橫兩縱三段短路，所以最短路徑有種路徑，以上兩種情況相加共種路徑，所以選擇如圖2實(shí)線所示的道路到達(dá)處的概率是.故選：C6．B【詳解】，其中，，.故選：B.7．D【詳解】如圖所示，設(shè)，，，因?yàn)槠矫妫驗(yàn)槠矫妫裕瑸橹苯侨切危灾本€與平面所成角為，即，因?yàn)闉榫匦危詾橹苯侨切危裕谥校裕驗(yàn)闉榫匦危裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕瑸橹苯侨切危灾本€與平面所成角為，即，因?yàn)槠矫妫矫妫裕谥校裕驗(yàn)闉榫匦危裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕忠驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫詾橹苯侨切危灾本€與平面所成角為，即，因?yàn)槠矫妫矫妫裕谥校裕瑢?duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：D.8．D【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)椋瑢⑻鎿Q則有，即，所以為周期為的周期函數(shù)，根據(jù)題意，即時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)楹瘮?shù)為周期為的周期函數(shù)，所以，，根據(jù)已知條件，，在上有兩解，令，則，方程變?yōu)椋睿鶕?jù)題意兩函數(shù)在有兩個(gè)交點(diǎn)，，，為對(duì)稱軸為，值域?yàn)榈膾佄锞€，，，為對(duì)數(shù)函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，，，此時(shí)，兩函數(shù)在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)，兩圖像最多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)，兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；綜上所述，的取值范圍為，所以.故選：D9．AD【詳解】由題設(shè)，A對(duì)，且，，則兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)；，而，C錯(cuò)；，D對(duì).故選：AD10．BCD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于A，因?yàn)椋圆皇桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒t，所以是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋允侵芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，故C正確；對(duì)于D，求導(dǎo)可得，時(shí)，，則，所以在上是減函數(shù)，故D正確.故選：BCD.11．ABD【詳解】過作交與，對(duì)于A，在正方體中，，又平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，過作交與，則平面，平面，平面，把平面沿展開，所以當(dāng)時(shí)，距離之和取得最小值，又，，，，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四面體的外接球即為正方體的外接球，所以此時(shí)外接球直角為體對(duì)角線，則表面積為；對(duì)于D，在正方體中，平面，又平面，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，，故D正確；故選：ABD.12．1【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：1.13．3【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.故答案為：3.14．【詳解】由題意可以變形為，展開得：，所以，，三次方程的根，所以，，，由，代入得：因此：因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不等實(shí)根，令，令，得.，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以的極大值為，的極小值為，要有三個(gè)不等實(shí)根，則且，即.又是最小根則，且.所以.令，，，因此，的取值范圍為，即的取值范圍為.故答案為：15．(1)72人(2)3.28小時(shí)【詳解】（1）由題意得，抽取的200名學(xué)生中，男生人數(shù)為人，由圖1得，所求男生人數(shù)為人；（2）設(shè)樣本中男生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為，樣本中女生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為，高一年級(jí)全體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為，由圖1得的估計(jì)值為，由圖2得的估計(jì)值為，因此的估計(jì)值為，即該中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間的估計(jì)值為3.28小時(shí).16．(1)(2)【詳解】（1）由，得，所以在上的投影向量為.（2）由得，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.所以，解得.又因?yàn)椋?17．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?因?yàn)辄c(diǎn)是圓周上不同于，的任意一點(diǎn)，是的直徑，所以.又因?yàn)椋矫妫矫妫云矫?又平面，所以平面平面.（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié).由平面平面，平面平面，得平面，所以，又因?yàn)椋矫妫云矫妫剩远娼堑钠矫娼菫?不妨設(shè)，因?yàn)椋裕?在中，，在中，，所以，所以.18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）選①：由，得，所以，因?yàn)椋獾茫忠驗(yàn)椋?選②：由，得.所以，即，解得，又因?yàn)椋?選③：由，得，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫忠驗(yàn)椋?（2）由，得，因?yàn)椋裕鶕?jù)正弦定理，得.（ⅰ）.（ⅱ）由余弦定理得，所以，所以.由，得，所以.因?yàn)椋裕獾茫?19．(1)(2)5(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，其中開口向上，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，開口向上，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題知，，即，，，