第1課時橢圓的概念及基本性質研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法橢圓的定義及應用例1(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y＞0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為(A)A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(y＞0)C.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1(y＞0)D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1(y＞0)【解析】設點M(x，y)，P(x，y0)，P′(x，0)，因為M為PP′的中點，所以y0＝2y，即P(x，2y).又P在圓x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)，即點M的軌跡方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0).(2)(2019·全國乙卷)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(B)A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】如圖，設|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.(例1(2)答)方法一：在△AF1B中，由余弦定理推論得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq\f(1,3).在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq\f(1,3)＝4，解得n＝eq\f(\r(3),2).從而2a＝4n＝2eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2.故橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.方法二：在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n2＋4－2·2n·2·cos∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n·2·cos∠BF2F1＝9n2，))又∠AF2F1，∠BF2F1互補，所以cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，兩式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq\f(\r(3),2).從而2a＝4n＝2eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2，故橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點P的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和必為2a.(2)橢圓的定義能夠對一些距離進行相互轉化，簡化解題過程．因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解．變式1(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為(C)A.13 B.12C.9 D.6【解析】由橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，則|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq\s\up12(2)＝32＝9，當且僅當|MF1|＝|MF2|＝3時等號成立．橢圓的標準方程例2(1)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，過點A(3，0)，且以坐標軸為對稱軸，則橢圓的標準方程為_eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1_．【解析】方法一：若橢圓的焦點在x軸上，設方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.若橢圓的焦點在y軸上，設方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3，))所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上所述，橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.方法二：設橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81，))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在橢圓上，|BP|＝eq\f(16,5)，則橢圓C的標準方程為_eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1_．【解析】由B(0，b)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))，|BP|＝eq\f(16,5)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3\r(3),5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)，解得b＝eq\r(3).又點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在橢圓上，則eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))\s\up12(2),a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),5)))\s\up12(2),b2)＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.求橢圓方程的兩個基本方法(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置求出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．橢圓的簡單幾何性質視角1離心率例3-1(1)(2024·蘇錫常鎮(zhèn)二調)已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過E的右焦點且斜率為1的直線l交E于A，B兩點，且原點O到直線l的距離等于E的短軸長，則E的離心率為(A)A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)【解析】設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦點為F(c，0)，所以直線l的方程為y＝x－c.因為原點O到直線l的距離等于E的短軸長，所以eq\f(c,\r(2))＝2b，得c2＝8b2.又a2＝b2＋c2，所以c2＝8(a2－c2)，即8a2＝9c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(2),3).(2)(2024·湛江二模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，若C上存在一點P滿足|PF1|2＝19|PF2|2，則C的離心率的取值范圍是_eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－\r(19),9)，1))_．【解析】因為|PF1|2＝19|PF2|2，所以|PF1|＝eq\r(19)|PF2|，則2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(19)＋1)|PF2|，所以|PF2|＝eq\f((\r(19)－1)a,9)∈[a－c，a＋c]，則e＝eq\f(c,a)≥eq\f(10－\r(19),9)，又0＜e＜1，所以C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－\r(19),9)，1)).(1)求橢圓的離心率的方法：①求出a，c，直接求出e；②借助a，b，c之間的關系，構造出a，c的齊次式，通過兩邊除以a2，進而得到關于e的方程，通過解方程得出離心率e的值．(2)求橢圓離心率的取值范圍：關鍵在于找到含有a與c的不等關系，得出不等式常見的途徑有：①橢圓的幾何性質，設P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一點，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關系式．變式3-1(2025·湖州、衢州、麗水期中)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，過左焦點F作直線l與圓M：x2＋y2＝eq\f(c2,4)相切于點E，與橢圓C在第一象限的交點為P，且|PE|＝3|EF|，則橢圓C的離心率為_eq\f(\r(3)－1,2)_．【解析】如圖，設橢圓C的右焦點為F1，連接PF1，ME，由圓M：x2＋y2＝eq\f(c2,4)可知圓心M(0，0)，半徑r＝eq\f(c,2).顯然|EM|＝eq\f(c,2)，|MF|＝c，且EM⊥EF，因此可得sin∠EFM＝eq\f(1,2)，所以∠EFM＝30°，可得|EF|＝eq\f(\r(3),2)c，|PE|＝3|EF|＝eq\f(3\r(3),2)c，從而|PF|＝2eq\r(3)c.又易知|FF1|＝2c.由余弦定理可得|PF1|2＝|PF|2＋|FF1|2－2|PF||FF1|cos30°＝12c2＋4c2－2×2eq\r(3)c×2c×eq\f(\r(3),2)＝4c2，解得|PF1|＝2c.由橢圓定義可得|PF1|＋|PF|＝2c＋2eq\r(3)c＝2a，即a＝(eq\r(3)＋1)c，因此離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2).(變式3-1答)視角2橢圓中最值與范圍例3-2(1)若O和F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為(C)A.2 B.3C.6 D.8【解析】由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(－1，0).設P(x，y)(－2≤x≤2)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以當x＝2時，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.(2)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點，M為橢圓上的動點，設點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則|MA|＋|MF2|的最小值為(A)A.4－eq\f(\r(10),2) B.2－eq\f(\r(10),2)C.4＋eq\f(\r(10),2) D.2＋eq\f(\r(10),2)【解析】由題得F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，如圖，連接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF2|＝4－|MF1|，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，因為||MA|－|MF1||≤|AF1|，當且僅當M，A，F(xiàn)1三點共線時等號成立，所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，所以|MA|＋|MF2|≥4－|AF1|＝4－eq\f(\r(10),2).(例3-2(2)答)變式3-2已知點A(1，1)，F(xiàn)1是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點，P是橢圓上任意一點，則|PF1|＋|PA|的取值范圍是(A)A.[3，5] B.[3，＋∞)C.[3，eq\r(5)] D.(eq\r(5)，＋∞)【解析】設F2是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點，則|PF1|＋|PA|＝2a＋|PA|－|PF2|.因為－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|，|AF2|＝eq\r((1－1)2＋(1－0)2)＝1，a＝2，所以3≤2a＋|PA|－|PF2|≤5，則|PA|＋|PF1|∈[3，5].圓錐曲線的第二定義到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡為圓錐曲線．當0＜e＜1時為橢圓，當e＝1為拋物線，當e＞1時為雙曲線．定點為焦點，定直線為對應的準線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．例4已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，則C的離心率為_eq\f(\r(3),3)_．【解析】方法一：不妨設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如圖，過點D作DE⊥y軸，垂足為E.因為△BOF∽△BED，所以eq\f(|OF|,|DE|)＝eq\f(|BF|,|BD|)＝eq\f(2,3)，則|DE|＝eq\f(3,2)c.設D(xD，yD)，則xD＝eq\f(3,2)c.根據(jù)橢圓的第二定義，有|DF|＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－\f(3,2)c))＝a－eq\f(3c2,2a).根據(jù)橢圓性質，有|BF|＝a，|DF|＝eq\f(a,2)，所以a－eq\f(3c2,2a)＝eq\f(a,2)，整理得a2＝3c2，所以離心率e＝eq\f(\r(3),3).方法二：不妨設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則F(c，0)，B(0，b)，設D(xD，yD)，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝(c，－b)，eq\o(FD,\s\up6(→))＝(xD－c，yD).由eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，解得xD＝eq\f(3,2)c，yD＝－eq\f(1,2)b.把點D的坐標代入橢圓方程并化簡得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，所以e＝eq\f(\r(3),3).(例4答)變式4過橢圓的左焦點F作直線交橢圓于A，B兩點，若|AF|∶|BF|＝2∶3，且直線與長軸的夾角為eq\f(π,4)，則橢圓的離心率為(B)A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(2,5)【解析】如圖，設左準線與x軸的交點為M，過點A，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，D，過點A作AH⊥BD，垂足為H，交x軸于點E.設|AB|＝5t，因為|AF|∶|BF|＝2∶3，所以|AF|＝2t，|BF|＝3t.又因為直線與長軸的夾角為eq\f(π,4)，所以∠BAH＝eq\f(π,4)，則|BH|＝eq\f(\r(2),2)|AB|＝eq\f(5\r(2),2)t.由橢圓的第二定義，得|BH|＝|BD|－|AC|＝eq\f(|BF|,e)－eq\f(|AF|,e)＝eq\f(3t,e)－eq\f(2t,e)＝eq\f(t,e)，所以eq\f(t,e)＝eq\f(5\r(2),2)t，解得e＝eq\f(\r(2),5).(變式4答)隨堂內(nèi)化1.(2024·濰坊二模)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為C上一點，則(ABD)A.C的焦距為2eq\r(5)B.C的離心率為eq\f(\r(5),3)C.△F1PF2的周長為3＋eq\r(5)D.△F1PF2面積的最大值為2eq\r(5)【解析】設橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，所以C的焦距為2eq\r(5)，故A正確；C的離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故B正確；△F1PF2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故C錯誤；對于D，當點P位于橢圓的上、下頂點時，△F1PF2的面積最大，最大值為eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5)，故D正確．2.(2025·寧波期中)已知橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過上頂點A作直線AF2交橢圓于另一點B.若|AB|＝|F1B|，則橢圓C的離心率為(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)【解析】如圖，因為△ABF1的周長為4a，|AF1|＝|AF2|＝a，|AB|＝|F1B|，所以|AB|＝|F1B|＝eq\f(3,2)a，|BF2|＝eq\f(a,2).又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，所以eq\f(c,a)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋(2c)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))\s\up12(2),2×\f(a,2)×2c)＝0，化簡得3c2＝a2，則eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)＝e，所以橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),3).(第2題答)3.(2023·全國甲卷)設O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1的兩個焦點，點P在C上，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，則|OP|＝(B)A.eq\f(13,5) B.eq\f(\r(30),2)C.eq\f(14,5) D.eq\f(\r(35),2)【解析】方法一：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②.聯(lián)立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))，所以|OP|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)eq\r(21＋2×\f(15,2)×\f(3,5))＝eq\f(\r(30),2).方法二：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，聯(lián)立①②解得|PF1|2＋|PF2|2＝21.由中線定理可知(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq\r(3)，解得|OP|＝eq\f(\r(30),2).練案?趁熱打鐵，事半功倍．請老師布置同學們及時完成《配套精練》．練案?1.補不足、提能力，老師可增加訓練《抓分題·高考夯基固本天天練》(提高版)對應內(nèi)容，成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買．2.為提高高考答卷速度及綜合應考能力，老師可適時安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天練》(提高版)，成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買．配套精練A組夯基精練一、單項選擇題1.(2024·紹興二模)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為(B)A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)【解析】由eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)可得a2＝4c2＝4(a2－b2)(*)，因2a＝4，即a＝2，代入(*)解得b＝eq\r(3)，故短軸長為2b＝2eq\r(3).2.(2023·全國甲卷)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的兩個焦點，點P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝(B)A.1 B.2C.4 D.5【解析】因為eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，從而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|＝1，所以|PF1|·|PF2|＝2.3.(2024·廣州一模)設B，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點和上焦點，點P在C上，且eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2P,\s\up6(→))，則C的離心率為(A)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(65),13)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【解析】如圖，令橢圓半焦距為c，依題意，B(b，0)，F(xiàn)2(0，c)，由eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2P,\s\up6(→))，得eq\o(F2P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－b，c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，\f(c,2)))，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，\f(3c,2)))，而點P在橢圓上，所以eq\f(1,4)＋eq\f(9,4)·eq\f(c2,a2)＝1，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以C的離心率為eq\f(\r(3),3).(第3題答)4.(2024·南平三檢)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，點A在C上，點B在y軸上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，則C的方程為(D)A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】因為橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1，設B(0，y0)，A(m，n)，則eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(m－1，n)，eq\o(F2B,\s\up6(→))＝(－1，y0)，因為eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－\f(2,3)×(－1)，,n＝－\f(2,3)y0，))所以m＝eq\f(5,3)，n＝－eq\f(2,3)y0，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(2,3)y0)).又因為eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)y0))，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(1，y0)，所以eq\f(8,3)－eq\f(2,3)yeq\o\al(2,0)＝0，所以y0＝±2，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))或Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(4,3))).因為點A在C上，所以eq\f(\f(25,9),a2)＋eq\f(\f(16,9),a2－1)＝1，即9a4－50a2＋25＝0，解得a2＝5或a2＝eq\f(5,9).因為橢圓C的焦點在x軸上，所以a2＝5，故橢圓C的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(第4題答)二、多項選擇題5.(2025·溫州一模)已知點A(－a，0)，B(a，0)，l1：ax－y＝0，l2：ax＋y＝0，其中a＞1.P為平面內(nèi)一點，記點P到l1，l2的距離分別為d1，d2，則下列條件中能使點P的軌跡為橢圓的是(AD)A.|PA|＋|PB|＝4aB.|PA|2＋|PB|2＝4a2C.d1＋d2＝4aD.deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝4a2【解析】對于A，根據(jù)橢圓的定義，|PA|＋|PB|＝4a＞|AB|，所以點P的軌跡為橢圓，故A正確；對于B，設P(x，y)，則有(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2＝4a2?x2＋y2＝a2，所以點P的軌跡為圓，故B錯誤；對于C，由eq\f(|ax－y|,\r(a2＋1))＋eq\f(|ax＋y|,\r(a2＋1))＝4a?|ax－y|＋|ax＋y|＝4aeq\r(a2＋1)，分情況去掉絕對值符號，可知點P的軌跡為4條線段，不是橢圓，故C錯誤；對于D，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|ax－y|,\r(a2＋1))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|ax＋y|,\r(a2＋1))))eq\s\up12(2)＝4a2?a2x2＋y2＝2a2(a2＋1)，因為a＞1，所以點P的軌跡為橢圓，故D正確．6.(2024·阜陽一測)已知O為坐標原點，橢圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若A，B兩點都在C上，A，O，B三點共線，P(不與A，B重合)為上頂點，則(BCD)A.|AB|的最小值為4B.|AF1|＋|BF1|為定值C.存在點A，使得AF1⊥AF2D.kPA·kPB＝－eq\f(1,3)【解析】對于A，由橢圓的方程可知a＝eq\r(6)，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(a2－b2)＝2，所以焦點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，設A(x1，y1)，則B(－x1，－y1)，P(0，eq\r(2)).因為點A(x1，y1)在橢圓上，所以yeq\o\al(2,1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),6)))，|AB|＝2|AO|＝2eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))＝2eq\r(xeq\o\al(2,1)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),6))))＝2eq\r(2＋\f(2xeq\o\al(2,1),3))≥2eq\r(2)，即|AB|≥2eq\r(2)，故A錯誤；對于B，由橢圓的對稱性可知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2eq\r(6)，故B正確；對于C，因為c＞b，所以以F1F2為直徑的圓與橢圓有交點，則存在點A，使得AF1⊥AF2，故C正確；對于D，設A(x1，y1)，則B(－x1，－y1)，P(0，eq\r(2))，則kPA·kPB＝eq\f(y1－\r(2),x1)·eq\f(－y1－\r(2),－x1)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－2,xeq\o\al(2,1))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),6)))－2,xeq\o\al(2,1))＝－eq\f(1,3)，故D正確．(第6題答)三、填空題7.(2024·武漢4月調研)設橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上點P滿足|PF1|∶|PF2|＝2∶3，則△PF1F2的面積為_12_．【解析】由橢圓定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，則有eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|PF1|,10－|PF1|)＝eq\f(2,3)，即|PF1|＝4，|PF2|＝6.由|F1F2|＝2c＝2eq\r(25－12)＝2eq\r(13)，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)×4×6＝12.8.(2024·唐山一模)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交E于A，B兩點，C(0，－1)是線段BF1的中點，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，則E的方程為_eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1_．【解析】由于C(0，－1)是線段BF1的中點，O(0，0)是線段F2F1的中點，所以OC∥F2B，故F2F1⊥AB.設橢圓焦距為2c，則F2(c，0)，F(xiàn)1(－c，0)，將x＝c代入橢圓方程可得eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，故|y|＝eq\f(b2,a)，因此Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，C(0，－1)是線段BF1的中點，所以|BF2|＝2＝eq\f(b2,a)，故b2＝2a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－c，－3)，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2得12＝c2＋9，解得c2＝3.由b2＝2a＝a2－c2，得a2＝9，b2＝6，故橢圓E的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.(第8題答)9.(2024·青島一模)已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，點A，B在C上，AB的中點為F，OA⊥OB，則C的離心率為_eq\f(\r(5)－1,2)_.【解析】由橢圓的對稱性可知，AB垂直于x軸，不妨設A在第一象限，如圖，又OA⊥OB，所以∠AOF＝eq\f(π,4)，所以△AOF為等腰直角三角形，故A(c，c)，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,b2)＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋(a2－c2)c2＝a2(a2－c2)，整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝eq\f(3－\r(5),2)或e2＝eq\f(3＋\r(5),2)(舍去)，故e＝eq\r(\f(3－\r(5),2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5)－1,2).(第9題答)四、解答題10.(2024·開封二模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0.(1)求橢圓C的離心率；【解答】依題意可得上頂點A(0，b)，左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，所以eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－c，－b)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝(c，－b).又eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝－c2＋(－b)2＝0，即b2＝c2，即a2－c2＝c2，所以a2＝2c2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)若射線AF1與C交于點B，且|AB|＝eq\f(8,3)，求△ABF2的周長．【解答】由(1)可得b＝c，a＝eq\r(2)c，則橢圓方程為eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1，射線AF1的方程為y＝eq\f(b,c)x＋b＝x＋c，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,\f(x2,2c2)＋\f(y2,c2)＝1，))整理可得3x2＋4cx＝0，解得x＝0或xB＝－eq\f(4,3)c，則yB＝－eq\f(1,3)c，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c，－\f(1,3)c))，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,3)c))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(2),3)c＝eq\f(8,3)，解得c＝eq\r(2)，則a＝2，所以△ABF2的周長C△ABF2＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.(第10題答)11.已知橢圓的兩焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，直線x＝4是橢圓的一條準線．(1)求橢圓的標準方程；【解答】根據(jù)題意知，橢圓的焦點在x軸上，且c＝1，eq\f(a2,c)＝4，則a2＝4，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標準