第四章解析函數的級數表示2

4.1復數項級數第四章解析函數的冪級數表示

4.2復變函數項級數

4.3泰勒級數

4.4洛朗級數3

1、

復數列的極限§4.1復數項級數復數數列一列無窮多個有序的復數4

定義4.1

不收斂的數列稱為發散數列.5

證明7

該定理說明:可將復數列的斂散性轉化為判別兩個實數列的斂散性.可以證明，兩個收斂復數序列的和、差、積、商

仍收斂，并且其極限是相應極限的和、差積、商。課堂練習:下列數列是否收斂?如果收斂,求出其極限.8

2、復數項級數級數前n項的和

---級數的部分和

---無窮級數

定義4.2

設復數列9

說明:

與實數項級數相同,判別復數項級數斂散性的基本方法是:10

根據實數項級數收斂的有關結論，可以得出判斷復數項級數收斂的簡單方法.事實上，由于判斷級數是否收斂，實際上比較困難.定理4.211

解所以原級數發散.課堂練習所以原級數收斂.12

常見實級數斂散性判別法：1）比較法；2）比值法；3）根值法；4）交錯級數的萊布尼茲判別法.啟示:判別級數的斂散性時,可先考察?級數發散;應進一步判斷.13

證明14

定義4.4思考15

判斷復數項級數收斂的方法：(5)定義及其他方法16

解例217

18

§4.2復變函數項級數1、復變函數項級數定義1

設復變函數列：-----稱為復變函數項級數；

級數前n項的和

-----級數的部分和；

20

21

2、冪級數

的復函數項級數稱為冪級數,其中

c0,c1,c2,…,a都是復常數.

冪級數是最簡單的解析函數項級數,為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.形如若令z←z-a,則以上冪級數還可以寫成如下形式22

定理4.5（阿貝爾定理)：z0收斂點0.xyz0發散點0.yx23

證明24

(2)用反證法，對于冪級數（1），請寫出相應的阿貝爾定理.25

定理4.5（阿貝爾定理)：(1)對所有的復數z都收斂.由阿貝爾定理知:級數在復平面內處處絕對收斂.收斂半徑為

例如,級數對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數對任意的z均收斂.3、冪級數的收斂圓與收斂半徑(2)除

z=0外都發散.級數在復平面內除原點外處處發散.收斂半徑為零。例如,級數故級數發散.通項不趨于零,28

顯然，

<

.

否則，級數將在

處發散.29

使得該級數在圓內絕對收斂，而在圓的外部發散。..收斂圓收斂半徑收斂圓周冪級數的收斂范圍是以a點為中心的圓域.30

在收斂圓周上是收斂還是發散,不能作出一般的結論,要對具體級數進行具體分析.注意問題2:冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?例如,級數:收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.31

如何求冪級數的收斂半徑呢?我們先討論下面的一個定理:xyO32

xyO33

0((達朗貝爾）

柯西定理4.7

合于的系數如果冪級數)()()(比值法)(根值法)34

例1解

所以

35

思考題:提示:本題不能直接利用定理4.7（為什么？）.綜上36

例2求下列冪級數的收斂半徑：

解

(1)也可以利用絕對收斂比值判別法的思想，直接計算。37

38

4、冪級數的性質

---冪級數的逐項求導運算39

---冪級數的逐項積分運算

實際上，冪級數在收斂圓內可以逐項求導至任意階導數.注：定理4.8為今后將函數展開成冪級數提供了極大的方便.40

5、冪級數的運算與實冪級數一樣，復冪級數也可以進行代數運算.

---冪級數的加、減運算則41

---冪級數的乘法運算（即用第一個冪級數的每一項乘第二個級數，然后合并同次冪系數.）對角線法42

對角線法則43

在函數展成冪級數中很有用注：上面的運算在兩個級數中的較小的收斂圓內成立.但這并不意味著運算后級數的收斂半徑就是上面兩個級數中的較小一個收斂半徑.

---冪級數的代換(復合)運算44

例3解：注意到所以代換展開45

還原46

本講小結1、級數收斂的定義和性質2、Abel定理3、冪級數的收斂半徑4、冪級數的性質47

非凡的數學家——阿貝爾Abel,NielsHenrik,1802-1829挪威數學家1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題1825年建議克萊爾創辦了《純粹與應用數學雜志》1823年，發表了關于用積分方程求解古老的“等時線”問題的論文。48

非凡的數學家——阿貝爾阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數學家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現在的奧斯陸）教區窮牧師的六個孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進克里斯蒂安尼亞的一所中學里讀書，15歲時優秀的數學教師洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）發現了阿貝爾的數學天才，對他給予指導。使阿貝爾對數學產生了濃厚的興趣。16歲時阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹麥數學家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看過這篇論文后，為阿貝爾的數學才華而驚嘆，當時數學界正興起對橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：“...與其著手解決被認為非常難解的方程問題，不如把精力和時間投入到對解析學和力學的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會取得成功...”。于是阿貝爾開始轉向對橢圓函數的研究。 阿貝爾18歲時，父親去世了，這使生活變得更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進入克里斯蒂安尼亞大學。1823年，他發表了第一篇論文，是關于用積分方程求解古老的“等時線”問題的。這是對這類方程的第一個解法，開了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開封。

50

1825年，他去柏林，結識了業余數學愛好者克萊爾（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他與斯坦納建議克萊爾創辦了著名數學刊物《純粹與應用數學雜志》。這個雜志頭三卷發表了阿貝爾22篇包括方程論、無窮級數、橢圓函數論等方面的論文。

1826年，阿貝爾來到巴黎，他會見了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會面也是虛應故事，人們并沒有真正認識到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談論他的理論。雖然沒有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅持數學的研究工作。撰寫了“關于一類極廣泛的超越函數的一般性質”的論文，提交給巴黎科學院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說：“...已確定在下個月的科學院例會上宣讀我的論文,由柯西審閱,恐怕還沒有來51得及過目。不過，我認為這是一件非常有價值的工作，我很想能盡快聽到科學院權威人士的意見，現在正昂首以待...。”

可是，負責給阿貝爾審稿的柯西把論文放進抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發現）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于過渡疲勞和營養不良，在旅途上感染了肺結核。這在當時是不治之癥。當阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（ChristineKemp）歡度圣誕節時，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭一邊繼續進行數學研究。他原希望回國后能被聘為大學教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補課謀生，一度52

當過代課教師。阿貝爾和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公認的橢圓函數論的創始人。這是作為橢圓積分的反函數而為他所發現的。這一理論很快就成為十九世紀分析中的重要領域之一，他對數論、數學物理以及代數幾何有許多應用。阿貝爾發現了橢圓函數的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項級數的嚴格理論、級數求和等方面都有巨大的貢獻。這些工作使他成為分析學嚴格化的推動者。在這個時候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發行而傳遍了歐洲的所有數學中心。雅可比看見這篇橢圓函數的論文，而且知道了巴黎科學院所作的蠢事之后，非常吃驚，在1829年3月14日寫信給巴黎科學53

院表示抗議：“...這在我們生活的這個世紀中，恐怕是數學中最重要的發現，雖然向‘老爺們’的研究院提交此論文達兩年之久，但一直沒有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？...”。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發展，甚至連醫生也束手無策了

1829年4月5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于4月6日上午11點去世。作為命運捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾“...我國教育部決定招聘您為柏林大學教授...，一個月之內就能發出招聘書...。”這封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費用支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。

第四章解析函數的冪級數表示§4.3泰勒級數

我們知道一個冪級數的和函數在它的收斂圓內是解析函數，現在我們考慮與此相反的問題：一個解析函數是否能用冪級數來表示？1、泰勒展開定理

對實函數而言，一個關鍵性條件是：應在展開點處具有任意階導數.

對于復變函數來說，由于解析函數具有任意階的導數，所以這一條件是滿足的.56

預備知識2）公式

(<1)(zD)3)(解析函數的無窮可微性)57

定理1（Taylor定理）即58

Dk

證明：由柯西積分公式59

Dk

z把上面的式子代入(*),60

泰勒級數泰勒系數

事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數:由此可見，解析函數展開成冪級數就是它的Taylor級數，因而是唯一的.注(1)

若f(z)有奇點，那么f(z)在解析點

的Taylor展開式的收斂半徑R等于點

到f(z)的最近的一個奇點

之間的距離，即63

(1)直接法----利用公式;(2)間接法----由已知函數的展開式，運用級數的代數運算、代換、逐項求導或逐項積分等方法來展開.函數展開成Taylor級數的方法：例如64

2、幾個初等函數的泰勒展開式例1解:65

66

例2把下列函數展開成

z的冪級數:解:-1OR=1xy68

(2)因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,所以它的展開式的收斂范圍為

z

<1.注：以上幾個展式顯然與相應的實函數展式一致.（逐項積分、求導，收斂半徑不變）69

一些常用展開式70

例3將函數展開為z-i的級數。解:f(z)只有一個奇點,其收斂半徑為

解：例4將函數按z-1的冪展開，并指明其收斂范圍.f(z)有奇點-2，其收斂半徑為74

思考題

解75

泰勒

(1685–1731)英國數學家，早期牛頓派最優秀的代表人物之一。《正的和反的增量方法》(1715)

《線性透視論》(1719)

他在1712年就得到了現代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第四章解析函數的冪級數表示例如，都不解析,但在圓環域及內都是解析的.而所以即內可以展開成級數.§4洛朗(Laurent)級數也可以展開成級數：由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內解析,f(z)可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即79

1、雙邊冪級數---含有正負冪項的級數定義

具有如下形式的級數稱為雙邊冪級數，正冪項(包括常數項)部分：負冪項部分：同時收斂f2(z)f(z)解析部分非負冪項部分f1(z)主要部分負冪項部分收斂收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分H:R1aRrH結論:

.

常見的特殊圓環域:.

.

.

83

現在我們考慮相反的問題：在圓環內解析的函數能否展開成一個雙邊冪級數呢？這也是本節開始提出的問題.關于這個問題的答案是肯定的，這就是下面要討論的洛朗定理.定理

C為圓環域內繞

的任一正向簡單閉曲線.為洛朗系數.2.函數展開成雙邊冪級數85

說明:的推廣，泰勒級數是洛朗級數的特殊情形；

1)洛朗(Laurent)級數是泰勒級數3)一個函數可以在幾個圓環內解析，在不同的圓環內洛朗展開式是不同的，但在