第二章小結一.導學解析函數(shù)是復變函數(shù)的主要研究對象。一個復變量函數(shù)的極限、連續(xù)性和導數(shù)的定義與高等數(shù)學中相應的定義表面上看是一樣的，但是由于z是二維的，所以實際上定義中的條件得到了加強。特別當Δz→0時，極限的存在蘊涵著函數(shù)之間一個很重要的關系，即柯西一黎曼方程。若函數(shù)在一個區(qū)域D內可微，則稱它在區(qū)域D內解析。一個解析函數(shù)的實部與虛部都是調和函數(shù)，即它們滿足拉普拉斯方程，并且它們的二階偏導數(shù)都是連續(xù)的。在一個區(qū)域D內給定一個調和函數(shù),可以構造另一個調和函數(shù),使得在這區(qū)域D內解析；這樣的函數(shù)稱為的共軛調和函數(shù)。學習本章的基本要求如下（1）正確理解復變函數(shù)的導數(shù)與解析函數(shù)等基本概念、熟練掌握判斷復變函數(shù)可導與解析的方法，掌握解析函數(shù)的和、差、積、商、復合函數(shù)以及反函數(shù)的求導公式；（2）了解調和（共軛調和）函數(shù)的性質，掌握利用共軛調和函數(shù)構造解析函數(shù)的方法；（3）熟悉復變量初等函數(shù)的定義和主要性質，特別要注意那些實初等函數(shù)所不具有的性質，掌握復初等函數(shù)的運算。二.內容提要1．基本概念（1）（可導性）設為定義在區(qū)域D內的復變函數(shù)，如果極限存在有限的極限值，就說在點處可導，并稱此極限為在點處的導數(shù)。（2）（解析性）如果函數(shù)f（z）在點及的某個領域內處處可導.那么稱f（z）在點解析。如果f（z）在區(qū)域D每一點解析，那么稱f（z）在D內解析，或稱f（z）是D內的一個解析函數(shù)。如果函數(shù)f（z）在點處不解析，則叫做f（z）的奇點。（3）（調和函數(shù)）凡具有連續(xù)二階偏導數(shù)而且滿足拉普拉斯方程的二元實函數(shù)，稱為調和函數(shù)；在區(qū)域D內滿足C-R方程的兩個調和函數(shù)，中，稱為的共軛調和函數(shù)。2．基本定理（1）（可導性與解析性判定）設f（z）=+是區(qū)域D內的復變函數(shù)，則在D內一點z=x+iy上f(z)可導的充分必要條件是：和在此點z=x+iy可微，而且滿足C-R方程：；且有。此時，函數(shù)f（z）在其定義的區(qū)域D內解析的充要條件是：和在D內任一點可微，而且滿足C-R方程。（2）（解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系）設函數(shù)f（z）=+i在區(qū)域D內解析，則f（z）的實部和虛部都是區(qū)域D內的調和函數(shù)；且f（z）在區(qū)域D內解析的充要條件是：在D內，f（z）的虛部是實部的共軛調和函數(shù)。（3）（初等函數(shù)的解析性）=1\*GB3①指數(shù)函數(shù)是復平面內的解析函數(shù)，且；=2\*GB3②對數(shù)函數(shù)Lnz的各個分支在復平面上除去z=0和負半實軸的單連通區(qū)域內解析，且有相同的導數(shù)值；=3\*GB3③冪函數(shù)的各個分支在除去原點與負實軸的復平面內解析；=4\*GB3④sinz、cosz在復平面內處處解析。3.一些常用公式（1），；（2），；（3）sinz=，cosz=；（4）shz=chz=。三.疑難解析1.利用定理2.2.2判斷一個復變量函數(shù)在一點可導或解析時一定要注意定理中的兩個條件缺一不可,僅有可微或僅有柯西-黎曼方程成立都不能推出函數(shù)解析的結論。例如，函數(shù)，其實部與虛部均可微，但它在整個復平面上不滿足柯西-黎曼方程，所以它在整個復平面上處處不可導，處處不解析。又如，函數(shù)，在原點滿足柯西-黎曼方程，事實上，由二元函數(shù)導數(shù)的定義，有，，，但是，故在原點不可導，不解析。2.復變量函數(shù)在一個點解析，不僅要求函數(shù)在該點可導，而且要求函數(shù)在該點的某一個鄰域內處處可導。有時，一個復變量函數(shù)即使在一條曲線（直線）上可導，也不能判定該函數(shù)是否解析。例如，函數(shù)，其四個偏導數(shù)在復平面上處處存在且連續(xù)，但僅當時柯西-黎曼方程成立。故在直線上可導，但由于它在復平面上其它點處不可導，所以它在復平面上處處不解析（即使在直線上也是處處不解析）。3.復指數(shù)函數(shù)何時為實數(shù)？答由于，所以要為實數(shù)，只要其虛部，也即只要。也就是當點在實軸上或在實軸上下每相距為的直線上時，為實數(shù)。4.復指數(shù)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。這一性質是實指數(shù)函數(shù)所沒有的。5.復三角函數(shù)的模可能大于1，甚至是無界的。6.能否用函數(shù)作為實部做一個解析函數(shù)？解不能。因為。故當時，不是一個調和函數(shù)。雖然其在直線上滿足拉普拉斯方程，但直線不是區(qū)域。因此，在復平面的任何區(qū)域內，函數(shù)都不能成為一個解析函數(shù)的實部。7.在復數(shù)運算中，一定要注意一些在實數(shù)范圍內的運算公式不一定成立。例如，等。事實上，對任何非零復數(shù)因為：當時，的輻角都在之間，從而；當時，，從而，；四.雜例例2.1判斷下列命題的真假，并說明理由。（1）若存在，則函數(shù)在點解析；（2）若是函數(shù)的奇點，則在點不可導；（3）若和的偏導數(shù)存在，則函數(shù)f（z）=+i可導。解都是假命題。（1）例如函數(shù)在處可導，但不解析。（2）為函數(shù)的奇點，但它在該點可導。（3）例如，，的偏導數(shù)存在且連續(xù)，但在整個復平面上除去原點外不可導。例2.2證明：。證，所以，。例2.3（1）討論函數(shù)的解析性；（2）設為解析函數(shù)，確定的值。解（1），所以，這四個偏導數(shù)連續(xù)（即可微）C—R方程在時成立。即在處可導，在全平面上不解析。（2），因為為解析函數(shù)，所以，，解得。例2.4計算（1）；（2）。解（1）=；（2）。例2.5證明洛比達法則：若函數(shù)與在點解析，且，，則。證，結論成立。例2.6證明極坐標形式的柯西——黎曼方程為證設，則，利用C—R公式，比較這4個式子，可得上面的極坐標形式的柯西——黎曼方程。例2.7證明，若是在D內的共軛調和函數(shù)，則在D內的共軛調和函數(shù)是。證因是在D內的共軛調和函數(shù)，則，所以，即是在D內的共軛