8.6.3平面與平面垂直的性質

導學案

編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波

【學習目標】

1.記住平面與平面垂直的性質定理,并能應用定理解決有關問題

2.能綜合運用直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定和性質解決有關問題

【自主學習】

知識點1平面與平面垂直的性質定理

I.文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線,

那么這條直線與另一個平面垂直.

alp、

dC?

2.符號語言：，0

ccA/?=/

a_L/,

3.圖形語言：

【合作探究】

探究一面面垂直性質定理的應用

【例1】如圖所示，P是四邊形ABC。所在平面外的一點，四邊形ABCZ）是ND4B=60。的

菱形，側面以D為正三憑形，其所在平面垂直于底面ABCD若G為A。邊的中點，求證：

BGJ■平面PAD.

殖

［分析］解答本題可先由面面垂直依據面面垂直的性質定理得線面垂直.

［證明］連接

???四邊形ABCD是菱形且ND4B=60。，

???△ABO是正三角形.

?:G是AQ的中點，：,BGLAD.

又平面肉。_L平面AI3CD,平面附平面ABCD=ADt

???4G_L平面PAD.

歸納總結：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂

直的性質定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用面面垂直的性質定

理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平面垂直；（2）直線必須在其中一個

平面內；（3）直線必須垂直于它們的交線

【練習1】如圖，在四棱桂A48CQ中，平面以8_L平面ABCD,平面布。，ZPBC=

90°,NPBAW90。.求證：

⑴4。〃平面P8C；

(2)平面P8C_L平面附及

證明：(1)因為8c〃平面以。，而8Cu平面A8C。，平面ABC。。平面秒1Q=AO,所

以8C〃A。.因為4DC平面P8C,8Cu平面P8C,所以A?！ㄆ矫鍼BC.

(2)如圖，自P點作于，，因為平面R18_L平面/TBCD,且平面八平面/1BC。

=A4,所以P〃_L平面ABCD.

因為BCu平面ABCD,

所以BC工PH.

因為NPBC=90。，所以8CJ_P&

而/尸84*90。，于是點”與8不重合,

即PBCPH=P.

因為PHu平面以從

所以/3CL平面PAB.

因為BCu平面PBC,

故平面PBCL平面PAB.

探究二垂直關系的綜合應用

【例2】如圖，在四棱錐P-ABC。中，4B〃C。,A8_LA。，CD=2AB,平面附。平面ABCD,

PALAD,石和尸分別為CO和PC的中點，求證：

殖

(1)雨_1平面人8。。；

(2)BE〃平面PAD,

⑶平面平面尸CD

［證明］(1)因為平面力。_L平面A8CQ,且B4垂直于這兩個平面的交線A。,所以必_L

平面ABCD.

(2)因為A8〃CO,CD=2AB,E為。。的中點，

所以人“〃￡)￡：,且4B=A)E

所以四邊形A6￡。為平行四邊形.所以8￡〃4。.

又因為8EU平面PAD,人Ou平面PAD,

所以8E〃平面PAD.

(3)因為4B_L4O,而且四邊形4BED為平行四邊形.

所以BE_LCD,ADLCD,

由⑴知必_L平面ABCD.

所以%J_CD又

所以CD_￡平面以/).所以CDLPD.

因為E和產分別是CZ)和PC的中點，

所以PD//EF.

所以CD_LEE又EFC\BE=E,

所以CO_L平面BEF.又CQu平面PCD,

所以平面8E凡L平面PCD.

歸納總結：掌握線線、線面、面面垂直的性質和判定是三種垂直相互轉化的關鍵.由線面垂

直可知線與面內任何一條直線都垂直；由線面垂直亦可得到面面垂直（面面垂直的判定）.因此

說線面垂直是線線垂直和面面垂直的樞紐

【練習2】如圖所示，四棱錐P-A8CO的底面是一個直角梯形，AB//CD,BAA.AD,CD=

2AB,B4_L平面ABCD,E是PC的中點，則平面EBD能垂直于平面ABC。嗎？請說明理由.

解：平面E3。不能垂直于平面A3CD理由如下：

假設平面EBD垂直于平面ABCD,

過E作于0,連接40、CO.

???石0（=平面七8。，E0LBD,平面EBQCI平面ABCO=B。，

?"0_L平面ABCD

又???必_L平面A8CD,：.EO//PA.

YA、。、C是PC上三點戶、E、C在平面A8CD上的投影,

:.P、E、C三點的投影均在直線4C上，

???4、。、C三點共設.

又???￡：是PC的中點，???。是4c的中點.

又???A8〃CO,:?AAB0s叢CD0.

又???AO=OC,：.AB=CD,

這與CD=2AB矛盾，

；?假設不成立.故平面￡4。不能垂直于平面A8CD

課后作業

A組基礎題

一、選擇題

1.已知直線小，〃和平面a,B，若a"，aC尸m,nUa,要使〃_L￡,則應增加的條件是

（）

A.m//nB.nA-tn

C.n//aD.〃_La

【答案】B

解析：由面面垂直的性質定理知，要使n邛,應有〃與交線〃?垂直，，應增加條件

2.下列命題中錯誤的是（）

A.如果平面a_L平面.，那么平面a內一定存在直線平行于平面夕

B.如果平面。不垂直于平面夕，那么平面Q內一定不存在直線垂直于平面尸

C.如果平面a_L平面y,平面夕_L平面y,（/邛=1,那么/_L平面y

D.如果平面〃_L平面從那么平面a內所有直線都垂直于平面夕

【答案】D

解析：由平面與平面里直的有關性質可以判斷出D項錯誤.

3.如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面48C_L平面附8,PA=PB,AD=DB,則（）

A.POU平面ABC

B.PD_L平面ABC

C.PO與平面ABC相交但不垂直

D.P。〃平面ABC

【答案】B

解析：???陶=PB,A￡>=QB,???PO_LA8.又:平面46C_L平面布B,平面A8CCI平面以B

=AB,???POJ_平面ABC.

4.如圖，在斜三棱柱ABC-AliG中，NB4C=90。，BG_LAC,則點G在平面ABC上的射

影H必在（）

A.直線A8上

B.直線8C上

C.直線AC上

D.△人8c內部

【答案】A

解析：連接AG,如圖所示,

VZ^C=90°,：,ABLAC.

V^CilAGABCBG=B,

.\4C_L平面A8G.

又???4Cu平面ABC,

平面ABC_L平面ABC,

又???平面ABCm平面ABC=AB,

???點G在底面ABC上的射影點〃必在48上.故選A.

5.如圖，平面a_L平面/B?}A8與兩平面a、6所成的角分別為垂嗓過A、B

分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、"，則B'等于（）

A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3

【答案】A

解析：由已知條件可知N84/M=?

NA8A，=*,設AB=2at

,=

則BB2asir^=y[2at/V5=2acos*=，5”，

；?在RSaTA中，得A7T=a,：,AB：/VZT=2：1.

6.（多選）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AD：BC\AB=2：3：4,E,F

分別是A8,CQ的中點，將四邊形AOFE沿直線"進行翻折，給出四個結論，在翻折過程

中，可能成立的結論的為[）

A.DFVBC

B.BDVFC

C.平面。4尺L平面8PC

D.平面。CF_L平面8FC

【答案】BC

解析：如圖，因為8C〃A。，4D與。尸相交不垂直,

所以4c與/"■不垂直，則A錯誤；

設點D在平面4CF上的射影為點P,

當BPLCE時，有BO_LrC,而AOBCAB=234,可使條件滿足，所以B正確;

當點P落在8/上時，OPu平面8OF,

從而平面平面8FC,所以C正確；

因為點。的投影不可能在尸。上，

所以平面。CF_L平面8PC不成立，即D錯誤.

二、填空題

7.如圖，把RIZXAHC沿斜邊上的高C。折起，使平面AQC_L平面BOC,如圖所示，互相

垂直的平面有對，其中］對是_______________-

［答案］3平面4DC與平面8￡>C（【答案】不唯一）

解析：由已知得CO_LA8,所以平面AOC_L平面AB。，平面AO8_L平面8OC,又因為

平面AOC_L平面BOC,綜上可知，互相垂直的平面有3對.

8.已知直二面角a-//,點A￡a,ACLI,。為垂足，B/BDL,。為垂足，若AB=2,

AC=BD=1,則CD的長為.

【答案】＜2

解析：如圖，連接8C,???二面角a-//為直二面角，ACua,且AC_L/,??.AC_L￡,又

BCu}：,AC±BC,：.BC2=AB2~AC2=3,又BD工CD,ACD=yjBC2-BD2=y[2.

9.如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cosa：cos/7

【答案】?。?

55八

解析：由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2小，所以2存幣=而儂片

2小

所以COSQ：COS夕2.

^295

三、解答題

10.把一副三角板如圖拼接，設BC=6,N84C=90。，AB=AC,ZBCD=90°,ZD=60°,

使兩塊三角板所在的平面互相垂直.求證：平面ABOJJI”面4CD

A

證明：???平面人BC_L平面8cO,CDLBC,ABC.

又ABu平面ABC,：，CDl.ABt

又AB_LAC,CDQAC=C,

???A8_L平面ACD.又ABu平面ABD,

平面ABDI.平面ACD.

11.如圖，在三棱錐？43。中，E,尸分別為AC,6C的中點.

⑴求證：￡/〃平面用3；

(2)若平面以CJ_平面A8C,且辦=PC,Z/WC=90°.

求證：平面PEF_L平面P8C.

證明：⑴;石，尸分別為AC,BC的中點，???E/〃AB.又所《平面PAB,ABu平面PAB,

???EF〃平面PAB.

(2)VM=PGE為力C的中點，：.PE1AC.

又???平面以C_L平面A8C,

???PEJ_平面ABC,:,PE工BC.

又???尸為BC的中點，，石尸〃AE.

VZABC=90°,：,BCLEF.

?:EFCPE=E,.??BC_L平面PEE

又,?BCu平面PBC,：.平面PBC1.平面PEE.

B組能力提升

一、選擇題

1.如圖，在四邊形4BCD中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45。,ZBAD=90°,將△48。

沿8。折起，使平面平面8CO,構成三棱錐A—ACQ,則在三楂錐4—8CQ中，下

列命題正確的是（）

A.平面A3。J_平面A3c

B.平面ADC_L平面8DC

C.平面48CJ_平面BOC

D.平面AQC_L平面ABC

【答案】D

解析如圖，在平面圖形中CO_L4Q,折起后仍然滿足CO_L4D由于平面A4Q_L平面BCD,

平面/WOA平面BC7）=BD,故CQ_L平面人8。，C7）_LAB.又48_1_4。，故/1B_L平面人。C,

所以平面ADC1.平面ABC.

2.如圖所示，三棱錐PM4c的底面在平面a內，P8_L平面a,且AC_LPC,平面以C_L平

面P8C,點P,A,8是定點，則動點C的軌跡是（）

Ayt/B

aC

A.一條線段

B.一條直線

C.一個圓

D.一個圓，但要去掉兩個點

【答案】D

解析：???平面%CL平面PNC,ACLPC,平面附CA平面PBC=PC,ACu平面R4C,

?平面PBC.

又..選。：：平面PBC,，AC_L8c.??NAC8=90°.

???動點C的軌跡是以A8為直徑的圓，除去A和8兩點.

3.如圖，在四邊形A8CZ）中，AB=AD=CD=\,BD=\[2,8O_LCD將四邊形ABC。沿對

角線6。折成四面體A'-BCD,使平面A'6。_L平面5CD,則下列結論正確的是（）

A.A'CA.BD

B.4BA'（7=90。

C.CA1與平面A'B。所成的角為30。

D.四面體A'ICO的體積為g

【答案】B

解析：取的中點O,連接A'O,OC,?.?4歸=4。又平面48。J_平面BCD,

平面A歸。Cl平面BCQ=4D,，人。，平面8CD,???CO_L3D,，OC不垂直于80.假設/VC15O,

又4CrVT0=/V,???8D_L平面A0C,與OC不垂直于8。矛盾，不垂直

于BD,A錯誤.???CO_L8D,平面4BQ_L平面BCD,???CO_L平面48。，???CQJ_A7）,??.A，C

=小,???48=1,BCKBA+CD』4???4歸2+4。2=8。2,48_LA'C,B正確.NOV。

為直線C4與平面A6D明成的角，NC4￡>=45。，C錯誤.VA.BCD=^ABDCD=^D錯誤，

故選B.

二、填空題

4.如圖所示，為圓O的宜徑，點C在圓周上（異于點A,B）,直線陽垂直于圓。所在

的平面，點M為線段尸8的中點.有以下四個命題：①兩〃平面MOB；②MO〃平面朋C；

③OC_L平面PAC；④平面以C_L平面P8C其中正確的命題是.（填上所有正確命

題的序號）

【答案】②④

解析因為限u平面MOB,所以①不正確；因為而且MOQ平面以C,所以②正

確；OC不垂直于AC,所以③不正確；因為8C_LAC,^C±/J4,ACG/%=A,所以3C_L平

面以C,所以平面以C_L平面PBC,所以④正確.

5.〃?、〃是兩條不同的直淺，a、夕、y是三個不同的平面，給出如下命題：

①若a_L/?,nUa,八上〃1,則〃_1_6：

②若a_Ly,/?±y?則a〃”；

③若aJ-fit且nJ-tUf則m±a：

?a±/?,mLpy則"?〃a；

⑤若aX-firm//a,則機_LR

其中正確命題的序號為.

【答案】①?

解析：根據平面與平面垂直的性質定理知①正確：②中.a、￡可能平行，也可能相交，不

正確；③中，機還可能在a內或機〃a,或加與a斜交，不正確；④中，a邛，m邛,m（ta

時，有in//a,正確；⑤中，m與p的位置關系可能是m//fi或mufi或,〃與夕相交，不正確.

三、解答題

6.如圖，已知以_L平面ABC,AD1PB,垂足為。，AE1PC,垂足為E,ZABC=90°.

(1)證明：平面AOE_L平面辦C.

(2)作出平面4Q￡與平面ABC的交線/,并證明N￡AC是二面角E-/-C的平面角.(在圖中體

現作圖過程不必寫出畫法)

解：(1)證明：在三棱錐P-/WC中，BCA.AB,

ABC\PA=A,所以8cl.平面2W,

又4Qu平面%B,所以8C_L4D,

又PBCBC=B,所以AO_L平面P8C,

又PCu