高中數學競賽模擬試題二

一、選擇題：

1.設。、b、c為實數，4a-2b+c>0,a+b+c<0f則下列四個結論中正確的是

(D)

(A)h2<>ac(R)h1>ac(C)h~>>0(D)h~><0

提示:若。=0,則人。0,則〃2>。。=0.若則對于二次函數fM=ax2-bx+c,

曰/(2)>0,/(-1)<0可得結論.

2.在AABC中，若NA=45°,A8=2,3C=。，則。=正是4ABC只有一解的

(A)

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條

件

3.已知向量4=(根cos2x+2sinx-l)3=(3-cos2x+4sinx,-l)，定義函數

=.若對任意的工￡。自，不等式/(外>0恒成立，則加的取值范圍是

(A)

(A)(1,+oo)(B)10,1)(C)(1,2)(D)(2,+co)

ooo

4.設E、F、G分別是正四面體ABCD的棱AB、BC、CD的中點，則二面角C—FG—E

的大小是

(D)

/、,屈兀V371r-ZV2

(A)arcsin——(B)一■Farccos——(C)---arctanv2(D)7r-arccot——

32322

5.把數列｛2〃+1｝依次按一項、二項、三項、四項循環分為(3),(5,7),(9,11,13),

(15,17,19,21),(23),(25,27,),(29,31,33),(35,37,39,41),…,在第100

個括號內各數之和為

(A)

(A)1992(B)1990(C)1873(D)1891

6.設七e｛1,2,…1,2,…，滿足力為='(?1),馬?工2....xn=n!,使花，

12

%,…，匕一定是12…,〃的一個排列的最大數〃是

(C)

(A)4(B)6(C)8(D)9

二、填空題：

7.若實數工、y滿足條件/一),2=i,則2+包的取值范圍是

XX

【答案】(-2,2).提示:令刃=seca,y=tana.

8.對于給定的正整數4,等式仁=3C：成立，則所有的機一定形如.

(用〃的組合數表示)

【答案】?=C3(九之4).提示：由第=3C：得(2吁1產=(〃2—3)+1>,

從而加=C；T(〃24).

9.一個盒中有9個正品和3個廢品，每次取一個產品，取出后不在放回，在取得正品前

己取出的廢品數4的數學期望E&=.

C13

【答案】0.3提示：4取值為0/23,且有P(g=0)=T=—,

C.24

C'C'9C；C：91

P您=1)=-=—,P(g=2)=-=---,P(百=3)=-=.

2G；44、2。自2202C：220

3991

E￡=0x—+\x——+2x---+3x----=0.3.

444220220

10.設點B、F2分別為橢圓E的左、右焦點，拋物線C以R為頂點、以F2為焦點。設

P點為橢圓與拋物線的一個交點。如果橢圓E的離心率c滿足|PK|=e|尸尸21，則《的值為

【答案】f

3

II.已知，>0,關于X的方程|乂+4-x?=V2,則這個方程有相異實根的個數情況是

【答案】0或2或3或4.提示：令G=：y=_J12,利用數形結合

知：當Ov/vl或/>2時，方程無實數根；

當，=1時，方程有2個實數根；

當1=2時，方程有3個實數根；

當1VIV2時，方程有4個實數根。

Y2

12.函數/（?=——（工￡凡自/工1）的單調遞增區間是_____________________.

X-1

【答案】（-8,0]42,+8）.提示：），=2+（工-1）+」一（XH1）,利用典型函數來分

x-1

析；

本題也可直接依函數的單調性定義來分析。

三、解答題：

13.向量函、OP2.函滿足條件函+函+函=6,|函卜口曰|=口冏=1,

試判斷4PF2P3的形狀，并加以證明。

解：v礪+說+西=6,:.麗=一麗一兩，

*2

：.OP.=OP^+2OP2-OPy.

又??［西卜I.I=I函卜1,???礪”=誣，=而，=1,???砒.而=-g,

???cosNP20P3=~,在AP20P3中，由余弦定理可求得|月及卜V3.

同理可求得|質卜V3,|耳劇=/^.???△PRP3為正三角形.

14.設數列｛%｝滿足q=L。〃+|?〃“=〃+1(〃￡N"),求證：V—2(V?+1-1).

證明：由題意知d=2M〃>0,〃eN*.當〃=1時，-!-=1>2(V2-1),命題成立；

%

當〃22時，由。〃+1-an=n+\,得an-ar_x=n，：.an(an+1-an_1)=1,

=〃〃+］-，從而有

a”

i—=~+i(%+i-+〃〃-2N2M應一2N2(V^+T-1).

15.設函數/(x)=+x—疝,其中4>。

(1)求4的取值范圍，使得函數/(?在［0,+8)上是單調遞減函數；

(2)此單調性能否擴展到整個定義域(-8,+8)上？

(3)求解不等式2x-Vm<12.

解：（1）設0Wx]<x2<4-00,

1

則f(xl)-f(x2)=(2—x2)[一團.

y（i+巧尸+M+%?M+々+y（i+*2）2

設加=取1+八)2+]+刈聞]+%+#(1+%2)2，則顯然”>3.

f(x])~f(%?)>0,>—,,/—v—,?,?只需要2之一，就能使f(x)在[