/高二年級第二學期期末考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知隨機變量，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根據正態分布的對稱性即可得到答案.【詳解】由題意得，所以.故選：C.2.已知，，且，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標運算公式求解即可.【詳解】因為，，且，所以，解得.故選：D3.過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據斜率公式計算可得.【詳解】因為過兩點、的直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：D4.已知二項式中第項與第項的二項式系數相等（），則n的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，進而根據組合數性質可得答案.【詳解】解：由題知，所以或，又因為，所以故選：A5.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率公式計算可得結果.【詳解】由條件概率公式得.故選：B.【點睛】本題考查利用條件概率公式計算概率值，考查計算能力，屬于基礎題.6.某班聯歡會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了個新節目，如果將這個新節目插入節目單中，那么不同的插法種數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】每次插入一個節目，利用分步乘法計數原理可求得結果.【詳解】利用分步計數原理，第一步先插入第一個節目，有種方法，第二步插入第二個節目，此時有個空，故有種方法.因此不同的插法共有種.故選：B.【點睛】本題考查分步乘法計數原理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7.定義在上的可導函數滿足，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，并求出函數的導數，結合函數的單調性得到關于的不等式，解出即可.【詳解】令，則，故單調遞減，即，得，解得：.故選：B.8.已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.二、多選題（每題6分，共18分.全對6分、部分選對得部分分、錯選不得分）9.設數列滿足：，且對任意的，都有，為數列的前n項和，則（）A.為等比數列 B.C.為等比數列 D.【答案】BC【解析】【分析】利用湊配法化簡，結合等比數列的有關知識確定正確選項.【詳解】依題意，則，因為，故，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以是首項為，公比為的等比數列.，，所以不是等比數列..所以AD選項錯誤、BC選項正確.故選：BC10.有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的有（）A.如果四名男生必須連排在一起，那么有種不同排法B.如果三名女生必須連排在一起，那么有種不同排法C.如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法D.如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有種不同排法【答案】CD【解析】【分析】利用捆綁法可計算出A、B選項中的排法種數，利用特殊位置法可計算出C選項中的排法種數，利用插空法可計算出D選項中的排法種數，綜合可得出結果.【詳解】A中，如果四名男生必須連排在一起，將這四名男生捆綁，形成一個“大元素”，此時，共有種不同的排法，A選項錯誤；B中，如果三名女生必須連排在一起，將這三名女生捆綁，形成一個“大元素”，此時，共有種不同的排法種數，B選項錯誤；C中，如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒有限制，此時，共有種不同的排法種數，C選項正確；D中，如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的個空中，此時，共有種不同的排法種數，D選項正確.故選：CD.【點睛】本題考查排列組合問題，考查了捆綁法、插空法以及特殊位置法，考查計算能力，屬于中等題.11.已知正方體棱長為1，點，分別為，的中點，則下列說法正確的是（）A.平面B.與平面所成角的余弦值為C.二面角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用數量積為0得線線垂直，根據線面垂直的判定定理證明，判斷A正確；求出平面的法向量，利用線面角的向量公式求解，判斷B正確；利用二面角的定義作出二面角的平面角，利用余弦定理及同角三角函數關系求解，判斷C錯誤；利用等體積法求點面距離，判斷D正確.【詳解】對于AB，以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖：正方體的邊長為1，，，，，，，，所以，，因為，所以，即，因為，所以，即，又，平面，所以平面，故A正確；設平面的一個法向量為，，則，即，不妨令，得，故，又因為，設直線與平面所成角為，則，所以與平面所成角的余弦值為，故B正確；對于C，如圖：連接交于，連接，因為，O為BD的中點，所以，，平面，平面，所以是二面角的平面角，又，故，所以二面角的正弦值為，故C錯誤；對于D，如圖：設點到平面的距離為，因為，所以，，因為，所以，所以，即點到平面的距離為，D正確.故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知ξ服從正態分布，且，則___________.【答案】0.2【解析】【分析】利用正態分布的對稱性，求概率.【詳解】ξ服從正態分布，正態密度曲線關于對稱，.故答案為：13.高二（1）班準備組織一場辯論賽，共有六名同學報名參加.將他們隨機平均分為兩組，其中甲?乙兩名同學不在同一組的概率為___________.【答案】【解析】【分析】利用排列，組合分別寫出分組情況，再按照古典概型求概率.【詳解】六名同學隨機平均分為兩組，共有種方法，其中甲、乙兩名同學不在同一組包含種方法，所以甲、乙兩名同學不在同一組的概率.故答案為：14.已知，若函數，對于任意，總存在，使得則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】雙變量問題根據題干轉化為，對于，通過求導判斷單調性得到，對于根據的正負得到，通過解關于的不等式得到的取值范圍.【詳解】因為任意的，總存在，使得，所以，，令得，所以當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增，所以，當時，，所以，解得；當時，不合題意；當時，，所以，解得；綜上，的取值范圍是，故答案為：.四、解答題（本大題共5個小題，共77分）15.如圖，正方體的棱長為2，為的中點，點在上，.（1）求證：為的中點；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）30°【解析】【分析】（1）根據線面垂直的性質得，再證明，最后得到，即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出相關向量和法向量，根據線面角的空間向量求法即可得到答案.【小問1詳解】連接，在正方體中，因為平面，平面，所以.因為，，所以，且均在同一平面內，所以，因為為的中點，所以為的中點.【小問2詳解】在正方體中，，，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標系.則，，，.所以，，.設平面的法向量為，則，即令，則.于是.設直線與平面所成的角為，則因為，所以直線與平面所成角的大小為30°.16.已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標準方程；（2）過點的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)首先由條件設圓的標準方程，再將圓上兩點代入，即可求得圓的標準方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據弦長公式，求得直線方程.【小問1詳解】圓心在直線上，設圓的標準方程為：，圓過點，，，解得圓的標準方程為小問2詳解】①當斜率不存在時，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意②當斜率存在時，設直線m：，圓心M到直線m的距離為根據垂徑定理可得，，，解得直線m的方程為或.17.為提高學生學習的數學的興趣，南京港師范大學附屬中學擬開設《數學史》《微積分先修課程》《數學探究》《數學建模》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的.（1）求三位同學選擇的課程互不相同的概率：（2）求甲、乙兩位同學不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數；（3）若至少有兩位同學選擇《數學史》，求三人共有多少種不同的選課種數.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先計算出三位同學選擇課程的選法種數以及三位同學選擇的課程互不相同的選法種數，利用古典概型的概率公式可求得結果；（2）考慮甲、乙兩位同學不選同一門課程的選法種數，并求出丙選課程的選法種數，利用分步乘法計數原理可求得結果；（3）分兩種情況討論：①有兩位同學選擇《數學史》；②三位同學都選擇《數學史》.分別計算出兩種情況下不同選課種數，利用分類加法計數原理可得結果.【詳解】（1）三位同學選擇課程共有種情況；三位同學選擇的課程互不相同共有種情況，所求概率為；（2）甲、乙兩位同學不選擇同一門課程共有種情況，丙有種不同的選擇，所以甲、乙兩位同學不能選擇同一門課程共有種情況；（3）分兩種情況討論：①有兩位同學選擇《數學史》,共有種不同的情況；②有三位同學選擇《數學史》共有種情況.綜上所述，總共有種不同選課種數.【點睛】本題主要考查了等可能事件的概率，分步計數原理分類計數原理，排列組合的基本應用，屬于中等題.18.已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1）由可證得結論成立；（2）①設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內部時，，可得.設點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯立，消去可得.，由韋達定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.19.數列中，，，設.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前項和；（3）若，為數列的前項和，求不超過的最