第二十五章

圖形的相似相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)（1）什么叫相似三角形？對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形,叫做相似三角形.（2）如何判定兩個(gè)三角形相似？①兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等；③三邊對(duì)應(yīng)成比例;④直角三角形中，斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)回顧ABCA'B'C'

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角_________②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊__________想一想:它們還有哪些性質(zhì)呢?（3）相似三角形有何性質(zhì)？（4）什么是相似三角形的相似比？相似比=對(duì)應(yīng)邊的比=相等成比例D'C'B'A'小明買了一個(gè)按1:100的比例縮小的宮殿模型,宮殿的屋頂形成如圖所示的三角形.其中△ABC是模型的屋頂，△A'B'C'是宮殿的屋頂.小明認(rèn)為△ABC與△A'B'C'是相似的，測(cè)得BC邊上的高為2cm，就推測(cè)宮殿的屋頂?shù)母邽?米.你同意小明的說(shuō)法嗎？ADCB情景導(dǎo)入思考：三角形中，除了角度和邊長(zhǎng)外，還有哪些幾何量？高、角平分線、中線的長(zhǎng)度，周長(zhǎng)、面積等高角平分線中線獲取新知如果兩個(gè)三角形相似，那么，對(duì)應(yīng)的這些要素有什么關(guān)系呢？

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高的比各是多少？ABCA'B'C'探究活動(dòng)一DD'解：如圖，分別作出△ABC

和△A'B'C'的高AD和A'D'．則∠ADB=∠A'D'B'=90°.

∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'，∴△ABD∽△A'B'D'.表示k的比例式是什么？只需證明△ABD和△A'B'D'相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．問(wèn)題：

把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比等于多少？

圖中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊上的中線，BE、B′E′分別為對(duì)應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？ABCDEA'B'D'C'E'已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，

AD、A′D'分別是邊BC和B'C'上的中線.求證：A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想1證明：∵△ABC∽△A'B'C'

∴∠B=∠B'，

∵AD、A'D'分別為△ABC和△A'B'C'的中線∴△ABD∽△A'B'D'結(jié)論：相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想2已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，

AE、A′E'分別是邊∠ABC和∠A′B'C'的角平分線.求證：證明：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠BAC=∠B'A'C'.又∵AE、A′E'分別是邊∠ABC和∠A′B'C'的角平分線，結(jié)論：相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比∴△ABE∽△A′B′E′.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比．歸納總結(jié)相似三角形性質(zhì)定理：∵△ABC∽△A′B′C′∴ABCDEA'B'C'D'E'FF'一般地，我們有：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.例1

如圖，在△ABC中，AD⊥BC,垂足為D，EF//BC,分別交AB,AC,AD于點(diǎn)E,F,G，

,AD=15.求AG的長(zhǎng).①②③④①三角形的高出現(xiàn)②相似三角形③相似比④ABCEFDG△ABC的高所求AG△AEF的高解題思路：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.例題講解ABCEFDG解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴AD⊥BC∴AG⊥EF解得，AG=9（相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）例1.（拓展）如圖，一塊材料的形狀是銳角△ABC，邊BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng).ABCNMQPD分析：1.從圖形中提取與例1相同的圖形2.思路：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.解:設(shè)PQ與AD交于點(diǎn)E∵四邊形PQMN是正方形∴PQ//BC∴△APQ∽△ABC設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則PQ=x,AE=8-x解得，x=4.8∴這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是4.8cm.(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）EΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它們的中線，已知,B1D1=4cm，則BD=

cm.62.ΔABC∽ΔA1B1C1,

AD和A1D1是對(duì)應(yīng)角平分線，已知AD=8cm，A1D1=3cm,則ΔABC與ΔA1B1C1的對(duì)應(yīng)高之比為

.8:3隨堂演練3.如圖、電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB//CD，AB=2m，CD=4m，點(diǎn)P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是

m.PADBC241.5解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的長(zhǎng)為3.2cm.AGBCDEFH（相似三角形對(duì)應(yīng)角平線的比等于相似比），4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長(zhǎng).5.如圖，在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，AG⊥BC于G,AF⊥DE于點(diǎn)F,∠EAF=∠GAC,若AD=3，AB=5，求AF:AG.ABCDEFG解：∵∠EAF=∠GAC,∠AFE=∠AGC