弧長和扇形的面積的計算第二十八章

圓情景導入問題1

如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.問題2

怎樣來計算彎道的“展直長度”？獲取新知知識點一：弧長和扇形面積的計算一條弧和經過這條弧端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

ABOC在同圓或等圓中，由于相等的圓心角所對的弧相等，所以具有相等圓心角的扇形，其面積也相等.

在⊙O中，由半徑OA,OB和AB所構成的圖形是扇形.⌒

在⊙O中，由半徑OA,OB和ACB所構成的圖形是扇形.⌒弧是圓的一部分，弧長就是圓周長的一部分.在半徑為R的圓中，360o的圓心角所對的弧長就是____________.圓周長（1）1o的圓心角所對的弧長l是：（2）no的圓心角所對的弧長l是：扇形是圓周的一部分，扇形面積就是圓面積的一部分.在半徑為R的圓中，360o的圓心角所對的扇形的面積就是____________.圓面積（1）1o的圓心角所對的扇形面積S是：（2）no的圓心角所對的弧長S

是：弧長公式扇形面積公式①②注意：公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；公式②也揭示弧長和扇形面積之間的關系例題講解例1如圖，⊙O的半徑為10cm.(1)如果∠AOB=100°，求AB的長及扇形AOB的面積.(結果保留一位小數)(2)已知BC=25cm，求∠BOC的度數.(結果精確到1°)⌒⌒解：(1)r=10cm，∠AOB=100°，由弧長和扇形面積公式，得

所以AB的長約為17.4cm，扇形AOB的面積約為87.2cm2.(2)r=10cm，=25cm，由弧長公式，得

所以∠BOC約為143°.⌒獲取新知知識點二：圓錐的有關計算圓錐是由一個底面和一個側面圍成的,它的底面是一個圓，側面是一個曲面.2.圓錐的母線(如圖l)把連接圓錐頂點和底面圓周上的任意一點的線段叫做圓錐的母線。1.圓錐的高(如圖h)連接頂點與底面圓心的線段.O●rhl在△AOB中，有：__________.l2＝r2+h2頂點母線底面半徑側面高圓錐的形成把準備好的圓錐模型沿著母線剪開，觀察圓錐的側面展開圖．hrO問題1:這個扇形的弧長與底面圓的周長有什么關系？問題2:這個扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等?ABOC1.圓錐的側面展開圖是扇形2.其側面展開圖扇形的半徑R=母線的長lrhl3.側面展開圖扇形的弧長=底面周長S側=πrl(r表示圓錐底面的半徑,l表示圓錐的母線長)圓錐的側面積與底面積的和叫做圓錐的全面積(或表面積).S全=S側+S底=πrl+πr2L例題講解例2

已知扇形的圓心角為120°,弧長為20πcm.如果用這個扇形圍成一個圓錐,那么這個圓錐的側面積是多少?∴圓錐的側面積S=×20π×30=300π(cm2).解:設圓錐的母線長為lcm,由弧長公式可得:，解得l=30.隨堂演練1.在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是(

)A．πB．2πC．4πD．6πB2.如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是(

)A．π－2

B．π－4C．4π－2

D．4π－4A3.圓錐的側面展開圖是一個弧長為12π的扇形，則這個圓錐底面圓的半徑是(

)A．24B．12C．6D．3C4.(1)在半徑為6cm的圓中，圓心角為60°的扇形的面積是_______；(2)已知扇形的半徑為2cm，面積為2πcm2，則扇形的圓心角是_____；(3)若扇形的弧長為10πcm，面積為20πcm2，則扇形的半徑為_____；(4)已知一個圓錐的底面半徑為12cm，母線長為20cm，則這個圓錐的側面積為______，全面積為_____.(5)已知一個圓錐的高為6cm，半徑為8cm，則這個圓錐的母長為____.180o4cm5.如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，連接BC，OC.(1)求證：∠BCD＝∠COB；(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求陰影部分的面積．解：(1)證明：∵AB⊥CD，∴BC＝BD.如圖，連接BD，則∠BCD＝∠BDC.∵∠COB＝2∠BDC(圓周角定理)，∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝∠COB.(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，∴∠AOC＝150°.又∵OC＝10，6.如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，求該圓錐的高h.解：由題意，得，而r＝2cm，∴l＝6cm，∴由勾股定理，得即該圓錐的高h為課堂小結弧長計算公式：扇形定義公式陰影部分面積求法：整體思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形割補法重要圖形重要結論r2+h2