試題試題2024北京理工大附中初三（上）開學考數學2024.9.5一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.方程的二次項系數和一次項系數分別為（）A.2和3 B.1和 C.2和 D.2和3.已知關于的一元二次方程的兩根分別為，則與的值分別為（）A. B. C. D.4.用配方法解方程，配方后可得（）A. B. C. D.5.如果是關于的方程的一個根，那么關于的方程的解是（）A. B. C. D.6.下列所給方程中，沒有實數根的是（）A. B.C. D.7.已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根．若，則的值是（）A.或3 B. C.3 D.或78.下列關于的函數中，是二次函數的是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）9.把一元二次方程化成一般形式為_________10.若關于x的一元二次方程有一個根為0，則m的值為______．11.已知實數，是方程的兩根，則的值為______．12.已知關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是_________13.若a是方程的解，計算：=______.14.定義：是一元二次方程的倒方程．則下列四個結論：①如果是的倒方程的解，則；②如果，那么這兩個方程都有兩個不相等的實數根；③如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解；④如果一元二次方程有兩個不相等的實數根，則它的倒方程也有兩個不相等的實數根。其中正確的有_________（填正確的序號）三、解答題15.用適合的方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）16.已知關于的一元二次方程(為實數且)．(1)求證：此方程總有兩個實數根；(2)如果此方程的兩個實數根都是整數，求正整數的值．17.已知是方程的一個根，求代數式的值．18.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？19.閱讀下列材料：我們知道對于二次三項式可以利用完全平方公式，將它變形為的形式．但是對于一般的二次三項式就不能直接應用完全平方公式了，我們可以在二次三項式中先加上原式中一次項系數的一半的平方即，使其湊成完全平方式，再減去，使整個式子的值不變，這樣就有．例如：．請根據上述材料解決下列問題：（1）將多項式變形為的形式；（2）當分別取何值時有最小值？求出這個最小值；（3）若，則與的大小關系是20.如圖，在?ABCD中，過B點作BM⊥AC于點E，交CD于點M，過D點作DN⊥AC于點F，交AB于點N．（1）求證：四邊形BMDN是平行四邊形；（2）已知AF=12，EM=5，求AN的長．21.在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，D是BC邊上一個動點（不與點B，C重合），連接AD，以AD為邊作正方形ADEF（點E，F都在直線BC的上方），連接BE．（1）根據題意補全圖形，并證明∠CAD=∠BDE；（2）用等式表示線段CD與BE的數量關系，并證明；（3）用等式表示線段AD，AB，BE之間的數量關系（直接寫出）．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共24分）1.【答案】D【分析】根據一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：未知數的最高次數是2；二次項系數不為0；是整式方程；含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A、當時，不是一元二次方程，故不合題意；B、不是整式方程，故不合題意；C、是一元一次方程，故不合題意；D、是一元二次方程，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．2.【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．根據方程的一般形式和二次項系數以及一次項系數的定義即可直接得出答案．【詳解】解：整理得，∴二次項系數和一次項系數分別為2和．故選：C．3.【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程根與系數的關系．此題比較簡單，注意掌握若二次項系數為1，，是方程的兩根時，則，．由關于的一元二次方程的兩根分別為，利用一元二次方程根與系數的關系，即可求得與的值．【詳解】解：關于的一元二次方程的兩根分別為，，，，，．故選：B．4.【答案】A【分析】方程移項，利用完全平方公式化簡得到結果即可．【詳解】方程，整理得：，配方得：，即，故選A．5.【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的定義以及解一元二次方程，理解題意，熟練掌握相關知識是解題關鍵．根據一元二次方程的根的定義將代入方程解得，再將代入關于的方程并解該一元二次方程即可．【詳解】解：將代入方程，可得，解得，將代入關于的方程，可得，解得．故選：B．6.【答案】D【分析】本題考查根的判別式，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．根據根的判別式即可求出答案．【詳解】解：A、，故A有兩個不相等的實數根．B、，故B有兩個不相等的實數根．C、，故C有兩個不相等的實數根．D、，故D沒有實數根．故選：D7.【答案】C【分析】根據根與系數的關系得出，，根據，，得出，求出，，根據，得出，即可求出結果．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，即，解得：，，∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是解題的關鍵．8.【答案】A【分析】本題主要考查二次函數的定義“一般地，形如是常數，的函數，叫做二次函數”，據此進行分析即可．【詳解】解：A、是二次函數，故選項A符合題意；B、不是二次函數，故選項B不符合題意；C、不是二次函數，故選項C不符合題意；D、不是二次函數，故選項D不符合題意故選：A．二、填空題（每小題3分，共18分）9.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，掌握一元二次方程的基本形式是解題關鍵．將方程兩邊展開，然后移項合并同類項，即可．【詳解】解：，∴，∴∴．故答案為：．10.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義；把代入方程求出m可能的值，然后根據一元二次方程的定義進一步得出答案．【詳解】解：把代入得：，解得：，∵方程是一元二次方程，∴，∴，∴，故答案為：．11.【答案】-1【分析】利用根與系數的關系得到a+b=1，ab=-1，再根據異分母分式加減法法則進行計算代入求值.【詳解】∵，是方程的兩根，∴a+b=1，ab=-1，∴===-1，故答案為：-1.【點睛】此題考查一元二次方程根與系數的關系式，異分母分式的加減法計算法則.12.【答案】2【分析】此題考查了根的判別式，根據根的情況確定參數的范圍，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當方程有兩個不相等的實數根時，；當方程有兩個相等的實數根時，；當方程沒有實數根是解題的關鍵．【詳解】解：∵關于的方程有兩個相等的實數根，∴，解得．故答案為：2．13.【答案】0【分析】根據一元二次方程的解的定義得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整體思想進行計算即可．【詳解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a∴故答案為0．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：使一元二次方程兩邊成立的未知數的值叫一元二次方程的解．也考查了整體思想的運用．14.【答案】①②③【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．根據倒方程的定義和一元二次方程根的定義對①進行判斷；利用倒方程的定義和根的判別式的意義對②③進行判斷；利用反例對④進行判斷．【詳解】解：的倒方程為，把代入方程得，解得，所以①正確；當時，一元二次方程的根的判別式，也為一元二次方程，此方程的的根的判別式△，所以這兩個方程都有兩個不相等的實數根，所以②正確；一元二次方程無解，則，即，一元二次方程的倒方程為的根的判別式，則它的倒方程也無解，所以③正確；一元二次方程有兩個不相等的實數根，則，當，時，為一元一次方程，它的倒方程只有一個實數解，所以④錯誤．故答案為：①②③三、解答題15.【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用直接開方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可；（5）利用因式分解法解一元二次方程即可．【小問1詳解】或解得，；【小問2詳解】或解得，；【小問3詳解】解得，；【小問4詳解】或解得，；【小問5詳解】或解得，．16.【答案】(1)證明見解析；(2)或．【分析】（1）求出△的值，再判斷出其符號即可；（2）先求出x的值，再由方程的兩個實數根都是整數，且m是正整數求出m的值即可．【詳解】(1)依題意，得，，．∵，∴方程總有兩個實數根．(2)∵，∴，．∵方程的兩個實數根都是整數，且是正整數，∴或．∴或．【點睛】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac的關系是解答此題的關鍵．17.【答案】3【分析】把代入方程，求出，再將代數式進行化簡，利用整體思想進行計算即可．【詳解】19．解：∵是方程的一個根，∴．∴．原式．【點睛】本題考查一元二次方程的解得定義，以及利用整體思想求代數式的值．熟練掌握一元二次方程的解的概念是解題的關鍵．18.【答案】若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【分析】本題可設每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有臺被感染，第二輪后共有即臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有臺被感染，比較該數同700的大小，即可作出判斷．【詳解】解：設每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則經過1輪后有臺被染上病毒，2輪后就有臺被感染病毒，依題意，得，解得，（舍去）．所以每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦．由此規律，經過3輪后，有臺電腦被感染．由于，所以若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．【點睛】本題只需仔細分析題意，利用方程即可解決問題．找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．19.【答案】（1）（2）當，時原式有最小值為15（3）【分析】本題主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式是解答關鍵．（1）利用完全平方公式即可求解；（2）利用完全平方公式變形，根據，來求解；（3）利用作差法和完全平方公式，進而得到m與n的大小關系．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．∵，，∴當，時原式有最小值為15．∴當，時原式有最小值為15；【小問3詳解】解：∵，，∴=a?1∴．故答案為：．20.【答案】（1）詳見解析；（2）13．【分析】（1）只要證明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要證明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根據勾股定理AN=即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四邊形BMDN是平行四邊形；（2）∵四邊形BMDN是平行四邊形，∴DM=BN，∵CD=AB，CD∥AB，∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，∵∠CEM=∠AFN=90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN=EM=5，在Rt△AFN中，AN===13．【點睛】本題考查平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．21.【答案】（1）見解析（2），證明見解析（3）【分析】（1）證明∠CAD和∠BDE都與∠ADC互余即可；（2）過E作EG⊥CB于G，利用△ACD≌△DGE可得CD＝EG，AC＝DG，從而可證明△BGE是等腰直角三角形，即可得到BE＝CD；（3）由AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2?CD2可得AB2＝2（AD2?CD2），再根據BE＝CD即可得到線段AD，AB，BE之間的數量關系．【小問1詳解】解：（1）補全圖形如圖所示．證明：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°?∠ADE?∠ADC＝90°?∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°?∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；【小問2詳解】解：．證明：過E作EG⊥CB于G，如圖：∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∵EG⊥CB，∴∠G＝90°＝∠C，