試題試題2024北京清華附中初三9月月考數學（清華附中初22級）2024.09一．選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，直線、相交于點，平分則的度數為（）A. B. C. D.3.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.4.若關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（）A. B. C.，且 D.，且5.正六邊形的外角和是（）A. B. C. D.6.2024年第33屆巴黎奧運會是史上第一屆男女比例完全平衡的奧運會，參賽的男女運動員分別為5250，5250名，本屆奧運會的運動員總數用科學記數法表示為（）A. B. C. D.7.如圖，在菱形中，點E在邊上，射線交的延長線于點F，若，，則的長為（）A.1 B. C. D.28.如圖，在四邊形中，，點在上，，連接并延長交的延長線于點，連接，．給出下面三個結論：①；②；③．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二．填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是___________.10.因式分解：____________．11.方程的解為______．12.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，，如果，那么的取值范圍是______．13.某農科所試驗田有3萬棵水稻．為了考察水稻穗長的情況，于同一天從中隨機抽取了50個稻穗進行測量，獲得了它們的長度x（單位：），數據整理如下：稻穗長度稻穗個數5816147根據以上數據，估計此試驗田的3萬棵水稻中“良好”（穗長在范圍內）的水稻數量為__________萬棵．14.如圖，直線，交于點O，，若，，，則的值為________．15.綜合實踐課上，小宇設計用光學原理來測量公園假山的高度，把一面鏡子放在與假山距離為米的處，然后沿著射線退后到點，這時恰好在鏡子里看到山頭，利用皮尺測量米，若小宇的身高是米，則假山的高度為______米．（結果保留整數）16.車間里有五臺車床同時出現故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如下表：車床代號ABCDE修復時間（分鐘）15829710若每臺車床停產一分鐘造成經濟損失10元，修復后即可投入生產．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復車床的順序：①；②；③中，經濟損失最少的是______（填序號）；（2）若由兩名修理工同時修理車床，且每臺車床只由一名修理工修理，則最少經濟損失為______元．三．解答題（本題共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.計算：；18.解不等式組．19.先化簡，再求值：，其中．20.如圖，四邊形的對角線，BD相交于點，，為矩形對角線，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接DE，若，DE的值．21.羽毛球運動深受大眾喜愛，該運動的場地是一塊中間設有球網的矩形區域，它既可以進行單打比賽，也可以進行雙打比賽，下圖是羽毛球場地的平面示意圖，已知場地上各條分界線寬均為，場地的長比寬的2倍還多包含分界線寬，單、雙打后發球線（球網同側）間的距離與單、雙打邊線（中線同側）間的距離之比是．根據圖中所給數據，求單、雙打后發球線間的距離．22.在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點，且與y軸交于點C．（1）求該函數的解析式及點C的坐標；（2）當時，對于x的每一個值，函數的值大于函數的值，直接寫出n的取值范圍．23.小宇觀看奧運會跳水比賽，對運動員每一跳成績的計算方法產生了濃厚的興趣，查閱資料后，小宇了解到跳水比賽的計分規則為：a．每次試跳的動作，按照其完成難度的不同，對應一個難度系數H；b．每次試跳都有7名裁判進行打分（0~10分，分數為0.5的整數倍），在7個得分中去掉2個最高分和兩個最低分，剩下3個得分的平均值為這次試跳的完成分p；c．運動員該次試跳的得分A＝難度系數H×完成分p×3．在比賽中，甲運動員最后一次試跳后的打分表為：難度系數裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲運動員這次試跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接寫出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分來計算完成分，得到的完成分為P甲'，那么與（1）中所得的P甲比較，判斷P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并說明理由；（3）在最后一次試跳之前，乙運動員的總分比甲運動員低13.1分，乙最后一次試跳的難度系數為3.6，若乙想要在總分上反超甲，則這一跳乙的完成分P乙至少要達到多少分．24.如圖，在中，，是的中點，過點作于點，過點作，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．25.某款電熱水壺有兩種工作模式：煮沸模式和保溫模式，在煮沸模式下將水加熱至后自動進入保溫模式，此時電熱水壺開始檢測壺中水溫，若水溫高于水壺不加熱；若水溫降至水壺開始加熱，水溫達到時停止加熱……此后一直在保溫模式下循環工作．某數學小組對壺中水量（單位：L），水溫（單位：）與時間（單位：分）進行了觀測和記錄，以下為該小組記錄的部分數據．表1從開始加熱至水量與時間對照表表21L水從開始加熱，水溫與時間對照表煮沸模式保溫模式…對以上實驗數據進行分析后，該小組發現，水壺中水量為時，無論在煮沸模式還是在保溫模式下，只要水壺開始加熱，壺中水溫就是加熱時間的一次函數．（1）寫出表中的值；（2）根據表2中的數據，補充完成以下內容：①在下圖中補全水溫與時間的函數圖象；②當時，；（3）假設降溫過程中，壺中水溫與時間的函數關系和水量多少無關．某天小明距離出門僅有分鐘，他往水壺中注入溫度為的水，當水加熱至后立即關閉電源．出門前，他（填“能”或“不能”）喝到低于的水．26.在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線．（1）求的值（用含的代數式表示）；（2）點，，在該拋物線上．若拋物線與x軸的一個交點為，其中，比較，，的大小，并說明理由．27.在中，，，點D是中點，點E是線段上一點，以點A為中心，將線段逆時針旋轉得到線段，連接．（1）如圖1，當點E與點D重合時，線段，交于點G，求證：點G是的中點；（2）如圖2，當點E在線段上時（不與點B，D重合），若點H是的中點，作射線交于點M，補全圖形，直接寫出的大小，并證明．28.在平面直角坐標系中，對于線段，給出如下定義：直線經過線段的一個端點，直線經過線段的另一個端點，若直線與交于點，且點不在線段上，則稱點為線段的“雙線關聯點”．（1）已知，線段的兩個端點分別為和，則在點，中，線段的“雙線關聯點”是___________：（2）是直線上的兩個動點．①點是線段的“雙線關聯點”，其縱坐標為，直接寫出點的橫坐標___________；②正方形的四個頂點的坐標分別為，其中．若所有線段的“雙線關聯點”中，有且僅有兩個點在正方形的邊上，直接寫出的取值范圍___________．

參考答案一．選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】D【分析】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．據此判斷即可．【詳解】解：選項A、B、C不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．2.【答案】C【分析】本題考查的是對頂角性質，鄰補角的性質，角平分線的定義，熟記鄰補角之和為是解題的關鍵．先由對頂角性質求得，再根據角平分線的定義求出，再根據鄰補角之和為計算，即可得到答案．【詳解】解：∵，又∵平分，，，故選：C．3.【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．根據不等式的性質，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴A，B，C不符合題意；D符合題意；故選：D4.【答案】D【分析】先根據一元二次方程的定義及根的判別式列出關于的不等式，求出的取值范圍即可．本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的根的判別式．【詳解】解：關于的一元二次方程有實數根，，，解得：，且故選：D．5.【答案】C【分析】根據任何多邊形的外角和是360度即可求出答案．【詳解】解：六邊形的外角和是360°．故選：C．【點睛】考查了多邊形的外角和定理，任何多邊形的外角和是360度．外角和與多邊形的邊數無關．6.【答案】D【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，正確確定的值以及的值是解決問題的關鍵．科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．【詳解】解：．故選：D．7.【答案】C【分析】此題考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵．由菱形的性質得，，可證明，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵點F在直線上，∴，∴，∴，∴．故選：C．8.【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理、三角形三邊關系、相似三角形的判定與性質等知識點，由全等三角形的性質可得，，，結合，求出，即可判斷①；由三角形三邊關系即可判斷②；證明，得出，即可判斷③，從而得解．【詳解】解：，，，，，，，，故①正確，符合題意；，且，，故②正確，符合題意；，，，，，，，，，，故③正確，符合題意；故選：D．二．填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據分式要有意義，分母不等于零，列出式子，求解即可．【詳解】解：∵代數式有意義，∴，解得：，故答案為：．10.【答案】【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．11.【答案】【分析】本題主要考查了解方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．【詳解】解：，去分母得：，移項，合并同類項得：，系數化為1得：，檢驗：把代入，∴是原方程的解，故答案為：．12.【答案】【分析】根據一次函數的增減性進行解答即可．【詳解】解：一次函數的圖象經過點，，且，一次函數的圖像y隨的增大而增大，，，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數的增減性，掌握k的正負性與一次函數的增減性之間的關系是解題的關鍵．13.【答案】1.8【分析】本題考查用樣本估計總體，利用3萬棵水稻乘以穗長在范圍內的所占比，即可解題．【詳解】解：由題知，（萬棵），故答案為：．14.【答案】##【分析】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵．由平行線分線段成比例可得，，從而可得答案．【詳解】解：∵，，，，，故答案為：．15.【答案】14【分析】根據題意可得，根據相似三角形對應邊成比例，即可進行解答．【詳解】解：∵，，∴，根據平面鏡反射原理，入射角等于反射角可得：，∴，∴，即，解得：，故答案為：14．【點睛】本題主要考查了利用相似三角形測高，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．16.【答案】①.①②.1010【分析】本題考查了有理數的混合運算，找出方案是解題的關鍵．（1）因為要經濟損失最少，就要使總停產的時間盡量短，顯然先修復時間短的即可；（2）一名修理工修按D，E，C的順序修，另一名修理工修按B，A的順序修，修復時間最短，據此計算即可．【詳解】解：（1）①總停產時間：分鐘，②總停產時間：分鐘，③總停產時間：分鐘，故答案為：①；（2）一名修理工修按D，E，C的順序修，另一名修理工修按B，A的順序修，分鐘，（元）故答案為：1010．三．解答題（本題共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.【答案】【分析】本題主要考查了實數的運算，零指數冪，負整數指數冪和化簡二次根式，先計算零指數冪，負整數指數冪和化簡二次根式，再根據實數的運算法則求解即可．【詳解】解：．18.【答案】【分析】分別求出不等式組中不等式的解集，再根據確定不等式組解集的原則：大大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小無處找，得出不等式組的解集即可．【詳解】解：，解①得：，解②得：，∴．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握確定不等式組的解集是解題的關鍵．19.【答案】，【分析】先進行通分，和因式分解，再應用分數的除法法則，將代入，即可求解，本題考查了，分式的華計件求值，解題的關鍵是：熟練掌握相關運算法則．【詳解】解：，當時，．20.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由矩形的性質可得，，結合可得，結合，可證四邊形是平行四邊形，再根據可證四邊形是菱形；（2）先根據已知條件和（1）中結論證明是等邊三角形，進而求出，，再利用勾股定理解即可．【小問1詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，四邊形是平行四邊形．，平行四邊形是菱形．【小問2詳解】解：如圖，連接，四邊形是菱形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，四邊形是矩形，，，．【點睛】本題考查菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理解直角三角形等，難度一般，解題的關鍵是掌握菱形的判定方法．21.【答案】球網同側的單、雙打后發球線間的距離是【分析】此題考查了一元一次方程的應用，設球網同側的單、雙打后發球線間的距離是，則中線同側的單、雙打邊線間的距離是，根據題意列方程求解即可．【詳解】解：設球網同側的單、雙打后發球線間的距離是，則中線同側的單、雙打邊線間的距離是，由題意可得．解得∴，答：球網同側的單、雙打后發球線間的距離是．22.【答案】（1）函數的解析式為，點C的坐標為（2）【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式及解不等式，（1）利用待定系數法即可求得函數解析式，當時，求出即可求解．（2）根據題意結合解出不等式結合，即可求解．【小問1詳解】解：將，代入函數解析式得，，解得，∴函數的解析式為：，當時，，∴點C的坐標為．【小問2詳解】解：由題意得，，即，又，∴，解得：，∴n的取值范圍為．23.【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【分析】（1）根據公式求出P甲、A甲即可；（2）根據平均數的公式求出P甲'，比較得出答案；（3）列方程求解即可．【小問1詳解】解：7名裁判得分中去掉2個最高分和兩個最低分，剩下3個得分為7.5，8.0，8.5，平均數=，∴完成分P甲＝8.0；得分A甲＝，故答案為：8.0，84；【小問2詳解】P甲'=，∵7.5<8.0，∴P甲'<P甲，故答案為<；【小問3詳解】由題意得，解得，∴這一跳乙的完成分P乙至少要達到9.0分．【點睛】此題考查了平均數的計算公式，列一元一次方程解決問題，正確理解題意，掌握平均數的計算公式是解題的關鍵．24.【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）根據等邊對等角得出，再根據余角和對頂角的性質可得，即可證明．（2）連接，過點作的垂線，垂足為，根據等腰三角形的性質可得，根據是的中點，，，得出，，，勾股定理可得，即，再根據余角和對頂角可得，得，即可求出．【小問1詳解】證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴．【小問2詳解】解：連接，過點作的垂線，垂足為，如圖：∵，是的中點，，∴，∵是的中點，，，∴，，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，三角函數值，余角和對頂角，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．25.【答案】（1）（2）①圖見解析；②（3）不能【分析】本題考查了一次函數的應用，理解題意并分析表格中數據變化的規律是解題的關鍵．（1）在煮沸模式下，加熱時間每增加分鐘，水溫就上升，從而計算出每增加分鐘水上升的溫度，據此列方程并求解即可；（2）①描點并連線即可；②當時間從分開始，設時間為時，水溫加熱到．在這個過程中每分鐘，水溫升高，從而求出每增加分鐘水上升的溫度，據此列方程求出，再計算出剩下的時間，根據表2，得到在剩下的時間內水溫可以變化到多少；（3）由表1可知，的水從加熱到需要分，此時離出門還剩（分）；根據表2，計算水溫從降到需要的時間，將這個時間與21.5分比較，在關閉電源的基礎上即可得到結論．【小問1詳解】解：在煮沸模式下，加熱時間每增加分鐘，水溫就上升，（），∴在煮沸模式下，加熱時間每增加1分鐘，水溫就上升，∴，∴．【小問2詳解】解：①補全水溫與時間的函數圖象如圖所示：②當時間從分開始，設時間為時，水溫加熱到．在這個過程中每分鐘，水溫升高，則每1分鐘水溫升高（），由此得，解得，（分），根據表2的數據可知，經過分后水溫降到了，∴當時，．故答案為：；【小問3詳解】解：由表1可知，的水從加熱到需要分，（分），由表2可知，水溫從降到需要（分），∵，且電源已關閉，∴出門前，他不能喝到低于的水．故答案為：不能．26.【答案】（1）（2），詳見解析【分析】本題主要考查二次函數的性質，二次函數與一次函數交點問題等，數形結合思想及求二次函數與一次函數交點需要聯立方程是解題基礎．（1）直接根據對稱軸公式即可解答；（2）結合函數的圖象，根據二次函數的增減性可得結論；【小問1詳解】解：由題意得，對稱軸為直線，即．【小問2詳解】解：．理由如下：令，得．∴．∴拋物線與x軸的兩個交點為，．∵拋物線與x軸的一個交點為，其中，∴．∵，∴．∴，．設點關于拋物線的對稱軸的對稱點為．∵點在拋物線上，∴點也在拋物線上．由，得．∴．∴．∵拋物線的解析式為，∴此拋物線開口向上．當時，隨的增大而增大．∵點，，在拋物線上，且，∴27.【答案】（1）見解析（2），見解析【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，得到，根據等腰三角形的性質即可得到結論；（2）依題意補全圖形．連接，截取，連接交于N．根據證明得，，證明得，由三角形中位線可證，進而可得．【小問1詳解】∵，點D是中點，∴．∵，∴．∵，∴點G是的中點．【小問2詳解】依題意補全圖形．．證明：連接，截取，連接交于N．∵，∴．∵，，∴，∴，．∵，∴．∵，∴，∴于N．∵點D是中點，∴，∴．∵點H是的中點，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線，等腰三角形的性質，熟練掌握旋轉的