試題試題2024北京十一學校初三12月月考數學（2024.12）考試時間：120分鐘滿分：100分一、選擇題（共16分，每小題2分）1.北京城區的胡同中很多精美的磚雕美化了生活環境，磚雕形狀的設計采用了豐富多彩的圖案．下列磚雕圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.3.關于的一元二次方程有一個根為0，則的為（）A.或 B. C.或 D.4.如圖，二次函數的圖象與x軸的一個交點為，對稱軸是直線，下列結論正確的是（）A. B. C. D.點在函數圖象上5.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點，若，則的大小為（）A. B. C. D.6.如圖，的半徑為2，將的內接正六邊形繞點O順時針旋轉，第二次與自身重合時，點經過的路徑長為（）A. B. C. D.7.做隨機拋擲一枚質地不均勻的紀念幣試驗，得到的結果如表所示：拋擲次數m10002000300040005000“正面向上”的次數n5121034155820832598“正面向上”的頻率（）①當拋擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是，所以“正面向上”的概率是；②隨著試驗次數的增加，“正面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“正面向上”的概率是；③若再次做隨機拋擲該紀念幣的試驗，則當拋擲次數為3000時，出現“正面向上”的次數不一定是1558次．其中合理推斷的序號是A.②③ B.①③ C.①② D.①②③8.二次函數的圖象是一條拋物線，自變量x與函數y的部分對應值如下表：x…0123…y…00…有如下結論：①拋物線的開口向上②拋物線的對稱軸是直線③拋物線與y軸的交點坐標為④由拋物線可知的解集是其中正確的是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④二、填空題（共16分，每小題2分）9.拋物線向左平移2個單位，向上平移4個單位所得拋物線解析式為____________．10.如圖，由個相同的正方形組成的十字形紙片沿直線和剪開后重組可得到矩形，那么②可看作①通過一次________得到（填“平移”“旋轉”或“軸對稱”）．11.若關于的一元二次方程有整數根，則整數的值為____________．12.在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中有5個黃球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個紅球的概率為___________．13.如圖，點為正方形對角線的中點，將以點為直角頂點的直角繞點旋轉（的邊始終在正方形外），若正方形邊長為2，則在旋轉過程中與正方形重疊部分的面積為____________．14.如圖，在一個長為，寬為的矩形地面上修等寬的三條互相垂直的道路，余下部分種草，草地面積為，求道路的寬度．設小路的寬為，依據上述條件，可列出一元二次方程：____________．15.“青山綠水，暢享生活，人們經常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面．若這個水容器所能裝水的最大深度是．開口寬為，則該截面所在圓的半徑為____________，該截面的面積為____________．16.如圖，，點、在射線上，，．是直線上的一個動點，過、、三點作圓，當該圓與直線相切時，其半徑長為____________．三、解答題（共68分，第17-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27題7分，第28題7分）17.解方程：．18.已知，求代數式的值．19.如圖所示，把繞點旋轉至位置，延長交于，交于，若，，，求的度數．20.已知：關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若此方程的解均為整數，請你求出所有符合條件的整數的值，并求出此時方程的解．21.已知：點，，在上，且．求作：直線，使其過點，并與相切．作法：①連接；②分別以點，點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于外一點；③作直線．直線就是所求作直線．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接，，∵，∴四邊形是菱形，∵點，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依據）．∴四邊形是正方形，∴，即，∵為半徑，∴直線為的切線（_________________）（填推理的依據）．22.通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．一次化學課上，學生用酚酞溶液檢測四瓶標簽被污染無法分辨的無色溶液的酸堿性．已知四瓶溶液分別是：鹽酸（呈酸性），：硝酸鉀溶液（呈中性），：氫氧化鈉溶液（呈堿性），：氫氧化鉀溶液（呈堿性）．（1）小周將酚酞溶液隨機滴入一種溶液，結果變紅色的概率是多少？（2）小周同時將任選的兩瓶溶液滴入酚酞溶液進行檢測，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求兩瓶溶液恰好都變紅色的概率是多少？23.二次函數的圖象經過點，當時，該函數有最小值為．（1）求該二次函數的解析式，并用五點法畫出該函數的圖象；（2）直線與拋物線的交點為，，和直線的交點為，當時，直接寫出的取值范圍．24.圖1是某種發石車，這是古代一種遠程攻擊的武器，發射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發射點米時達到最大高度米．將發石車置于山坡底部處，山坡上有一點，點與點的水平距離為米，與地面的豎直距離為米，是高度為米的防御墻．若以點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式．（2）試通過計算說明石塊能否飛越防御墻．（3）在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面的最大距離．25.如圖，為的直徑，弦于，連接，過作，交于點，連接，過作，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．26.在平面直角坐標系中，點，點在拋物線上．設拋物線的對稱軸為直線．（1）當時，①直接寫出與滿足的等量關系；②比較，的大小，并說明理由；（2）已知點在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．27.如圖，在中，，，是角平分線上的任意一點，是的中點，連接．將射線繞點逆時針旋轉得到射線，過點作交射線于點．（1）①依題意補全圖形；②求證：；（2）連接，，用等式表示線段，之間的數量關系，并證明．28.【概念學習】在平面直角坐標系中，的半徑為1，若平移個單位后，使某圖形上所有點在內或上，則稱的最小值為對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖，，B4,0，則對線段的“最近覆蓋距離”為3．【概念理解】（1）對點的“最近覆蓋距離”為______________；（2）點是函數圖像上一點，且對點的“最近覆蓋距離”為2，則點的坐標為________________；【拓展應用】（3）若一次函數的圖像上存在點，使對點的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍；（4）、，且，將對線段的“最近覆蓋距離”記為，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每小題2分）1.【答案】A【分析】本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的定義與判斷，根據中心對稱圖形定義：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心；軸對稱圖形定義：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，逐項驗證即可得到答案．熟練掌握軸對稱圖形及中心對稱圖形的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：A．2.【答案】B【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，利用配方法將拋物線的一般式化成頂點式是解題的關鍵．利用配方法將拋物線解析式化成頂點式，即可求得其頂點坐標．【詳解】解：，拋物線的頂點坐標是，故選：B．3.【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根據一元二次方程的定義得出，即可解答．【詳解】解：關于的一元二次方程有一個根為，，且，解得：，故選：B．4.【答案】B【分析】利用二次函數的圖象與系數的關系可得出，a、b、c的正負，進而得出的正負；利用對稱軸為直線，可得出與0的關系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出與的大小關系；由拋物線與x軸的一個交點坐標為，再結合對稱軸為直線，可得出另一個交點坐標．【詳解】解：A、由二次函數的圖形可知：，所以．故本選項不符合題意；B、因為二次函數的對稱軸是直線，則，即．故本選項符合題意；C、因為拋物線與x軸有兩個交點，所以，即．故本選項不符合題意；D、因為拋物線與x軸的一個交點坐標為，且對稱軸為直線，所以它與x軸的另一個交點的坐標為．故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二次函數圖象與各項系數的關系，正確求得a，b，c的正負以及巧妙利用拋物線的對稱軸是解決問題的關鍵．5.【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對的圓周角是90°得出，根據直角三角形的兩個銳角互余結合圓周角定理計算即可．【詳解】解：∵在中，為直徑，∴，∵，∴，故選A．6.【答案】C【分析】本題考查旋轉對稱圖形，解題的關鍵是求出第二次重合的旋轉角，然后根據弧長公式計算是解題的關鍵．【詳解】解：∵的內接正六邊形繞點順時針旋轉，第二次與自身重合時旋轉角為，∴點B經過的路徑長為，故選C．7.【答案】A【分析】本題考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，但是并不是頻率值就一定等于概率值，據此求解即可．【詳解】解：由于頻率不等于概率，故當拋擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是，“正面向上”的概率不一定是，故①錯誤；大量反復試驗下，頻率的穩定值即為概率值，故隨著試驗次數的增加，“正面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“正面向上”的概率是，故②正確；若再次做隨機拋擲該紀念幣的試驗，則當拋擲次數為3000時，出現“正面向上”的次數不一定是1558次．故③正確；故選：A．8.【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象性質、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數與不等式的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．根據表格中的數據和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的結論是否正確，本題得以解決．【詳解】解：由表格可知，該函數的對稱軸是直線，∵時，y隨x的增大而增大，∴拋物線的開口向上，故選項①②正確；∵當時，，∴拋物線與y軸的交點坐標為，故選項③正確；∵和時，，∴當，，的解集是，故選項④正確，故選：D．二、填空題（共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】本題考查了二次函數的平移，熟練掌握平移規律是解題的關鍵．先將拋物線配方，根據左加右減、上加下減求解即可．【詳解】解：∵配方得，∴向左平移2個單位，向上平移4個單位所得拋物線解析式為．故答案為：．10.【答案】旋轉【分析】本題考查幾何變換類型，解題的關鍵是利用旋轉變換的性質判斷即可．【詳解】解：觀察圖形可知，②可看作①繞著點順時針旋轉90°得到，故答案為：旋轉．11.【答案】2或8【分析】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解得方法是解題關鍵．根據題意得出且，確定a=2或，然后驗證即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個整數根，∴且，∴a=2或，當a=2時，方程的根為，當時，方程的根為，∴的值為2或8，故答案為：2或8．12.【答案】【分析】設紅球有個，根據“隨機摸出一個藍球的概率為”，可以求出紅球的個數，最后根據概率公式即可得出隨機摸出一個紅球的概率．【詳解】解：設紅球有個，隨機摸出一個藍球的概率為，，解得：，經檢驗，是所列方程的解，∴紅球有3個，∴隨機摸出一個紅球的概率為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．13.【答案】1【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質，解題的關鍵是連接構造全等三角形．如圖，連接，由點是的中點，然后結合正方形的性質得到、、，進而結合得到，從而得證，再由全等三角形的性質得到重疊部分四邊形的面積與的面積相等，最后由正方形的邊長求得結果．【詳解】解：如圖，連接，點是的中點，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，正方形的邊長為2，，，，重疊部分四邊形的面積為1．故答案為：1．14.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，利用平移把草坪變為矩形是本題的關鍵．利用平移可把草坪變為一個長為，寬為的矩形，從而根據題中的等量關系即可得出方程．【詳解】解：設小路寬為，根據題意得：，故答案為：．15.【答案】①.6②.【分析】連接，過點O作于點D，交于點C，先由垂徑定理求出的長，設，再根據勾股定理即可得出半徑；連接，結合等邊三角形的判定和性質及扇形的面積計算求解即可．本題考查的是垂徑定理的應用和勾股定理，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積計算，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．【詳解】解：連接，過點O作于點D，交于點C，如圖所示：∵，∴，由題意得：設，∵這個水容器所能裝水的最大深度是，∴在中，，即∴解得：，連接，如圖所示：∴截面所在圓的半徑為；∵，，∴為等邊三角形，∴，∴的面積為：，∴扇形的面積為：，∴該截面的面積為：故答案為：6；．16.【答案】或【分析】本題考查了切線的性質，三角形的外接圓與外心，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．根據已知條件得到點M為切點，設過三點的圓的圓心為，連接，份分兩種情況分析，然后根據垂徑定理和勾股定理進行推理計算即可得到結論．【詳解】解：過三點的圓與相切，點為切點，當點M在射線上時，設過三點的圓的圓心為，連接，則，過作于，延長交于，，，設，，和是等腰直角三角形，，，，解得：（不合題意舍去)，當點M在射線延長線上時，設過三點的圓的圓心為，連接，則，過作于，延長交于，，，設，，和是等腰直角三角形，，，，解得：（不合題意舍去)，半徑的長為，綜上可得：半徑的長或，故答案為：或．三、解答題（共68分，第17-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27題7分，第28題7分）17.【答案】【分析】本題考查了運用配方法解一元二次方程，先把進行配方，得，則，再開方，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴∴即．18.【答案】【分析】本題考查了多項式乘多項式，完全平方公式，已知式子的值求代數式的值，先整理，因為，所以，即可作答．【詳解】解：，∵，∴，則．19.【答案】【分析】本題考查的是旋轉的性質，全等三角形的性質，三角形的外角的性質，熟練的利用全等三角形的性質證明，是解本題的關鍵．由旋轉可得，可得，，再求解，，再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：由旋轉可知：，，，，，，，，是的外角，，．20.【答案】（1）見解析（2），方程的解為或．【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．也考查了解方程．（1）先計算根的判別式的值得到，然后根據根的判別式的意義得到結論；（2）利用公式法得出，然后試算求解方程即可．【小問1詳解】證明：∵∴方程總有兩個實數根；【小問2詳解】由（1）得，∴，∵此方程的解均為整數，∴為奇數，當時，，當時，，解得，符合題意；當時，，解得，符合題意；∴，方程的解為或．21.【答案】（1）見解析；（2）90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；（2）根據圓周角定理和切線的判定定理填空．【小問1詳解】解：補全圖形，如圖所示；【小問2詳解】90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．22.【答案】（1）；（2）．【分析】（）直接根據概率公式求解即可；（）畫樹狀圖得出所有可能的結果，再根據概率公式求解即可；本題考查了用列表或畫樹狀圖的方法求概率，熟記用列表或畫樹狀圖的方法及概率公式是解題的關鍵．【小問1詳解】小周將酚酞溶液隨機滴入一種溶液，結果變紅色的概率是；【小問2詳解】畫樹狀圖，共有種可能出現的結果，其中兩瓶溶液恰好都變紅色，共種結果，∴兩瓶溶液恰好都變紅色的概率．23.【答案】（1）拋物線的解析式為，，圖象見解析（2）【分析】題目主要考查二次函數的圖像和性質，與坐標軸的交點問題，理解題意，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵（1）根據題意得出拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，利用待定系數法求解即可確定函數解析式，然后利用五點法畫圖即可；（2）根據題意得出點A、B關于對稱軸對稱，確定拋物線與交點的橫坐標為0或3，然后畫出草圖，結合圖形得出，即可求解【小問1詳解】解：∵當時，該函數有最小值為，∴拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，將點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，當時，，解得：，∴與坐標軸的交點為，當時，，當時，，∴拋物線經過點，用五點法畫圖如下：【小問2詳解】∵直線與拋物線的交點為Ax1,y∴點A、B關于對稱軸對稱，∴，∴，聯立，解得或，∴拋物線與交點的橫坐標為0或3，當時，x=?1，∵，如圖所示：∴，∴，∴即．24.【答案】（1）（2）不能（3）米【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）把解析式設為頂點式，再利用待定系數法求解即可；（2）求出當時y的值，再與的長進行比較即可得到結論；（3）先求出直線的解析式為．作直線軸，交拋物線于點，交直線于點，設點，則點的坐標為，求出的最大值即可得到答案．【小問1詳解】解：設拋物線的解析式為，將點代入到中得，解得，拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：在中，當時，，∵，，石塊不能飛越防御墻．【小問3詳解】解：由題意可知點的坐標為，設直線的解析式為，∴，∴，直線的解析式為．如圖，作直線軸，交拋物線于點，交直線于點，設點，則點的坐標為，，當時，有最大值，最大值為，在豎直方向上，石塊飛行時與坡面的最大距離是米．25.【答案】（1）見解析（2）4【分析】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、矩形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．（1）由題意根據切線的判定證明半徑，即可證明是的切線；（2）根據題意連接，根據圓周角定理和中位線性質得出，進而依據等邊三角形和四邊形是矩形，最后結合圖形求解即可．【小問1詳解】證明：∵C，A，D，F在上，，∴，∵，，∴，∴四邊形中，，∴半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：連接，∵，∴是的直徑，∴，∵直徑于E，∴，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴E為的中點，∴，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．26.【答案】（1）①；②（2）【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數的性質．（1）①利用對稱軸公式求得即可；②利用二次函數的性質判斷即可；（2）由題意可知拋物線的解析式為，將各點代入得出，，確定相應不等式組，得出，再由題意確定不等式組求解即可【小問1詳解】①，∴；②拋物線y=ax∵a>0時，∴拋物線開口向上，∵點點在拋物線上，對稱軸為直線，∴點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，∴；【小問2詳解】根據題意得：拋物線的解析式為，∴，，，∴，，，都有，∴，，∴，∴在時恒成立，∴，解得，∴的取值范圍是．27.【答案】（1）①見解