量子計算入門：通過線性代數學習量子計算 課件 第2章 空間的秘密_第1頁
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文檔簡介

量子計算QuantumComputingCalvinTang

179209347@從線性運算說起

3456-1012

復平面

.復數向量表示

復數三角函數表示

復數極坐標表示

歐拉公式(1/2)

公式1公式2公式3

歐拉公式(2/2)

由此可得歐拉公式：

復數加法的幾何意義復數：復數加法的幾何意義可以概括為平行四邊形法則：結果為兩個復數向量形成的平行四邊形的對角線。則：

令：

復數乘法的幾何意義

復數加法與向量加法

結合線性代數的知識，復數的幾何性質與二維向量。于是復數c1

，c2

的向量形式為：復數加法向量形式：

復數乘法與矩陣乘法

復數乘法與矩陣乘法

并且：

結論矩陣表示或者向量二元組表示，更能體現復數的本質：復數是矩陣或者向量在2維上的子集。

(所謂子集是因為復數要滿足交換律，也就是滿足交換律的2維矩陣)實現了從1維到多維的第一次跨越。

歐拉公式–矩陣證明法(1/4)

泰勒公式：

1234歐拉公式–矩陣證明法(2/4)

……歐拉公式–矩陣證明法(3/4)

歐拉公式–矩陣證明法(4/4)

歐拉公式：歐拉恒等式：希爾伯特空間與歐式空間轉換–向量單量子態復向量表示：

單量子態實向量表示：

（α、β都是復數）希爾伯特空間與歐式空間轉換–矩陣

由于：

可得：如此，我們就可以實現復數矩陣與實數矩陣的轉換。實數矩陣類型實數矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I-I實對稱正交矩陣實對稱矩陣AT=A

N階實對稱方陣具有以下重要性質：厄米矩陣A?

=

A

如果沒有共軛條件，其等價的實數矩陣并不對稱！結論：1、厄米矩陣A?

其等價的實數矩陣是實對稱矩陣。

2、所以厄米矩陣具有實對稱矩陣同樣性質。

3、唯獨性質2不滿足，即所有特征向量均為實向量不成立，有可能是復向量。實正交矩陣

1、行向量和列向量組皆為正交的單位向量。2、任意兩行或列正交就是兩行或列點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行或列點乘自己結果為1。3、行列式的絕對值為1，也就意味著對任何向量變換，只旋轉或者反射，不縮放。

實正交矩陣具有以下重要性質：幺正矩陣（酉矩陣）

幺正矩陣的行（列）向量組是酉空間的標準正交向量組。具備實正交矩陣的所有性質。轉換成實數矩陣后，就很清晰的發現，其等價的實數矩陣是實正交矩陣。矩陣類型對比復數矩陣厄米矩陣可逆矩陣幺正矩陣I-I實數矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I

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