專題2.5元一次不等式組?重難點題型

【北師大版】

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【知識點一元一次不等式組】

定義：由幾個含同一未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組，組成不等式組

的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時，我們稱這個不等式組無解.

【題型1一元一次不等式組的定義】

【例1】（2023春?安慶期中）下列不等式組:

—2,-Ax+1>0.-.（x+3>0（%2+l<x.,.

?］;②；③；④；⑤，，具u中是R一兀一次小等式組的個

U<3U+2>4（y-4<0（x<-7（x3+2>4

數（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1-1］（2023?利州區模擬）（2023春?福州校級期末）寫出一個解集在數軸上如圖配示的不等式

組：.

I----------??I〉

-2-1012

【變式1-2］（2023春?南通期末）寫出一個無解的一元一次不等式組為.

【變式1-3］（2023春?靖江市校級月考）有甲、乙、丙三個同學在一起討論一個一元一次不等式組，他們各

說出該不等式組的一個性質：

甲：它的所有的解為非負數；

乙：其中一個不等式的解集為xW8：

丙：其中一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向.

請試著寫出符合上述條件的一個不等式組.

【題型2解一元一次不等式組】

【例2】（2023春?吉林期末）解不等式組［2。+2）>”-g并把它的解集在數軸上表示出來.

U+8>4%-1@

fiII111III

-5-4-3-2-1012345

【變式2-1］（2023春?福田區校級期中）若不等式組行一無解.，則。的取值范圍為

U-x>0

【變式2-2］（2023?利州區模擬）［2023春?豐臺區校級期末）下列不等式組中，無解的是（）

(X+5>0f3+x>0

A.B.

U-5>0lx—2VO

2x<0'2(x-1)<0

C.19D.

□x>2-3x>5

（2（x+l）>x

【變式2-3］（2023秋?濱江區期末）（2023?歷城區二模）解不等式組%_3,并寫出它的非負整數解.

1-2x>

【題型3方程組的解構造不等式組求字母范圍】

［例3］（2023秋?余杭區期中）（2023春?仁壽旦期末）關于x,y的方程組t［黃下一°,其中-3—W1.

（1）若X，y的值互為相反數，求。的值；

（2）當xWl時，求），的取值范圍.

【變式3-1］（2023春?慶陽期末）已知關于小丁的方程組且x>°'>，>0-

（1）試用含機的式子表示方程組的解；

（2）求利的取值范圍.

【變式3-2］（2023春?柘城縣期末）已知關于x、y的二元一次方程組二；：產的解滿足不等式組

x~y<8,則〃?的取值范圍是什么？

U4-y>l

【變式3-3】（2023春?武昌區校級月考）已知方程組:557n的解底都是非負數，且x的值小于

F的值，求〃?的取值范圍.

【題型4根據不等式組的解集求字母范圍】

【例4】（2023春?昆都侖區校級期中）若關于x的不等式組。一mN；“，1的解集是2WxV5,求〃?+〃的

（2%—n+1

值.

【變式4-1］（2023?利州區模擬）已知x=4是不等式or-3a-1V0的解，x=2不是不等式5-3a-1V0

的解，求實數。的取值范圍.

2r+5

【變式4-2］（2023?合肥模擬）若不等式一■工的解集中x的每一個值，都能使關于x的不等式3

（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，求m的取值范圍.

【變式4-3］（2023春?鯉城區校級期中）若不等式絹f一瓶>°的解集中每一個式值均不在2WxW5的范圍

m<1

內，則，〃的取值范圍是（）

A.陽<1或"?>5B.〃W1或機25C.或，〃V5D.mWl

【題型5利用整數解求字母取值范圍】

［竽->5

【例5】（2023秋?昌江區校級期末）已知關于x的不等式組恰有三個整數解，則［的取值范圍

為___________

(2%+3>12

【變式5-1］（2023?南通）若關于4的不等式組1%—Q工0恰有3個整數解，則實數。的取值范圍是（)

A.7<?<8B.7<啟8C.7?8D.7WaW8

【變式5-2］（2023秋?濱江區期末）（2023?浙江自主招生）使得不等式組之〈二=（且對唯一的整數上成

17n+k15

立的最大正整數〃為.

（2，+5_c〉5

【變式5-3］（2023秋?昌江區校級期末）已知關于x的不等式組丫工恰有三個整數解：則，的取值

范圍為.

【題型6不等式組中的新定義問題】

【例6】（2023春?大連期末）對戈，y定義一種新的運算P,規定：P（x,y）=（曜+71"0之外（其中

,nx+my,（x<y）

加〃#0).已知P(2,I)=7,P(-1,1)=-I

(1)求m、n的值;

(P(2a,a-1)<4

(2)若〃>0,解不等式組ii

伊(一和一1,-1a)<-5

【變式6-1](2023春?祁江區校級期末)對于任意有理數人我們用⑶表示不大于x的最大整數，若M=〃，

則〃WxV〃+1.50：[2.7]=2,[20181=2018,[-3.141=-4,若[3x+2]=?3,則”的取值范圍是()

A?~x<—qB.-qnC.-^<—qD.一一五

【變式6-2](2023春?海陵區期末)規定符號/(外(.1是正整數)滿足下列性質：

①當工為質數時，/(x)=1(質數：是指除了本身和1之外，再沒有其他因數的數).

②對于任意兩個正整數機和〃，f(m*n)=時(于+nf(m).

例如：f(6)=f(2X3)=2/(3)(2)=2X1+3X1=5.

(1)直接寫出/(3)=_,/(4)=.

(2)求/(18)和f(24)的值；

f/(18x)-18/(x)>5x+/(24)

(3)求滿足不等式組的x的值.

U(2x)-2/(x)<6

【變式6-3]（2023春7栗陽市期末）我們把關于工的一個一元一-次方程和一個一元一次不等式組合成一種特

殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“有緣組合”：

當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“無緣組合”.

（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由;

X—5r3—X

-=2_~

（x+31-33

（5x4-15=0

（2）若關于x的組合3x-a、是“有緣組合”，求。的U又值范圍；

=2x-3a

（3）若關于x的組合是“尢緣組合”；求a的取值范圍.

+l<x+a

【題型7根據程序框圖列不等式組】

【例7】（2023秋?蘇州期末）運行程序如圖所示，規定：從“輸入一個值到''結果是否>26”為一次程

序操作，如果程序操作進行了2次后停止，那么滿足條件的所有整數％的和為（）

A.30B.35C.42D.39

【變式7-1]（2023春?漢陽區期末）運行程序如圖所示，規定：從“輸入一個值上”到“結果是否219”為

一次程序如果程序操作進行了三次才停止，那么％的取值范目是.

【變式7-2］（2023春?朝陽區校級期末）按下列程序進行運算（如圖）：

規定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為一次運算.若入=5,則運算進行一次才停止；若運算

進行了5次才停止，求x的取值范圍.

【變式7-3］（2023春?鄭城縣期末）對一個實數上按圖所示的程，字進行操作，規定：程序運行從“輸入一個

數x”到“判斷結果是否大于190?”為一次操作.

（1）當輸入實數工=3時，要操作5次才停止:

（2）如果操作只進行一次就停止，求x的取值范圍;

（3）如果操作恰好進行三次才停止，求x的取值范圍.

【題型8不等式組的實際應用】

【例8】（2023?范縣模擬）為加快老舊小區改造，某企業需運輸一批物資.據調查得知，2輛天貨車與3輛

小貨車一次可以運輸60箱物資：5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸135箱物資.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次分別運輸多少箱物資；

（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用500元,每輛小貨次需費用300元.若

運輸物資不少于150箱，且總費用小于5400元.請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需^用最少,

最少費用是多少？

【變式8-1]（2023春?原州區期末）某希望小學收到捐贈的一批圖書，要分給同學，讓他們帶回家方便閱讀,

讀完后再交換給其他同學閱讀.如果每名同學分3本，那么金8本：如果前面的每名同學分5本，那么

最后一名同學就分不到3本.捐贈的這批書有多少本？共有多少名同學？

【變式8-2］（2023?句容市一模）為全力助推句容建設，大力發展句容旅游，某公司擬派A、6兩個工程隊

共同建設某區域的綠化帶.已知A工程隊2人與B工程隊3人每天共完成310米綠化帶，A工程隊的5

人與B工程隊的6人每天共完成700米綠化帶.

（1）求A隊每人每天和B隊每人每天各完成多少米綠化帶；

（2）該公司決定派A、B工程隊共20人參與建設綠化帶，若每天完成綠化帶總量不少于148（）米，且B

工程至少派出2人，則有哪幾種人事安排方案？

【變式8-3］（2023春?通川區期末）某工廠用48兩種原件組裝成C,。兩種產品，組裝一件C產品需1

個A原件和4個B原件；組裝一件D產品需2個4原件和3個8原件.

（1）現有A原件162個，8原件340個，若要組裝C,。兩種產品共100個，設組裝。產品x個.

①根據題意，完成卜面表格：

原件產品C（件）D（件）

A（個）x2（100-x）

B(個)4x3(100-x)

②按兩種產品的生產件數來分，有哪幾種生產方案？

(2)現有A原件162個，8原件a個，組裝C,。兩種產品，A,8兩種原件均恰好用完，已知290V”

<306,求。的值.

專題2.5一元一次不等式組?重難點題型

【北師大版】

?后干一八三

j【知畝看一二元二次不等式組]

定義：由幾個含同一未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組，

組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時，我

們稱這個不等式組無解.

【題型1一元一次不等式組的定義】

【例1】(2023春?安慶期中)下列不等式組:

-(%>-2.(x>0-(x+1>0(x+3>0^ixz+l<x_.?一.

①];②；③]:④；⑤。，其中是一兀一次y

lx<3lx+2>4(.y-4<0lx<-7(x3+2>4

不等式組的個數()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解題思路】利用一元一次不等式組定義解答即可.

fr>—2

【解答過程】解：①是一元一次不等式組；

U<3

②是一元一次不等式組；

(x+2>4

③「+1>0含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；

(y-4<0

④H+3>°是一元一次不等式組；

U<-7

/+1<x

⑤：，未知數是3次，不是一元一次不等式組,

U3+2>4

其中是一元一次不等式組的有3個,

故選：B.

【變式1-1】（2023?利州區模擬）（2023春?福州校級期末）寫出一個解集在數軸上如圖所示

的不等式組：「+1>°.

—U-2<0—

-------1--------JA

-2-1012

【解題思路】由圖示可看出，從-1出發向右畫出的折線且表示-1的點是空心圓，表示

x>-1；

從2出發向左畫出的折線且表示2的點是空心圓，表示％V2,所以這個不等式組的解集

為-1VXV2,只要解集為-1VXV2的不等式組皆可.

【解答過程】解：f+答案不唯一

lx-2<0

【變式1-2］（2023春?南通期末）寫出一個無解的一元一次不等式組為

【解題思路】本題為開放性題，按照口訣大大小小找不到（無解）列不等式組即可.如：

根據“大大小小找不到”可知只要寫2個一元一次不等式xWa,其中aV力即可.

【解答過程】解：當解集為無解時，

構造的不等式組為廣答案不唯一.

【變式1-3］（2023春?靖江市校級月考）有甲、乙、丙三個同學在一起討論一個一元一次不

等式組，他們各說出該不等式組的一個性質：

甲：它的所有的解為非負數；

乙：其中一個不等式的解集為工W8：

內：其中一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向.

請試著寫出符合上述條件的一個不等式組戶二產。（答案不唯..）.

【解題思路】由于一元一次不等式組的解集為非負數.所以其中一個不等式的解集必為x

20,由于一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向，所以其中一個不等式中工的

系數為負數，根據這兩個條件寫出符合條件的一元一次不等式組即可.

【解答過程】解：???一元一次不等式組的解集為非負數，

???其中一個不等式的解集必為“20，

???一個不等式在解的過程中需要改變不等號的方向，

???其中一個不等式中x的系數為負數，

???符合條件的一元一次不等式組可以為：1（答案不唯一）.

故答案為：（答案不唯一）.

【題型2解一元一次不等式組】

[例2]（2023春?吉林期末）解不等式組+2）>”一外把它的解集在數軸上表示出

U+8>4%-1@

來-5-4-3-2-1012345

【解題思路】先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出不等式組的解集即可.

【解答過程】解：???解不等式①得：x>-5,

解不等式②得：xW3,

???不等式組的解集是-5VxW3,

在數軸上表示為：

-5-4-3-2-1012345

【變式2-1]（2023春?福田區校級期中）若不等式組上一。>°無解，則〃的取值范圍為a

U-x>0

24.

【解題思路】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大大小小找不到可得答案.

【解答過程】解：由得：x>af

由4-x20,得：％W4，

???不等式組無解，

故答案為：〃24.

【變式2-2]（2023?利州區模擬）（2023春?豐臺區校級期末）下列不等式組中，無解的是（）

x+5>0f3+x>0

A.B.

(%-5>0(x-2<0

2%<02(.r-1)<0

C.^x>2D.

-3x>5

【解題思路】根據不等式組的解法分別解出每個不等式組可得答案.

x>一5

【解答過程】解：A、分別解每個不等式可得，其解集為x>5：

,x>5

fx>-3

B、分別解每個不等式可得，其解集為-3<x<2；

U<2

x<0

C、分別解每個不等式可得無解:

X>6‘

（X<1r

D、分別解每個不等式可得5,其解集為

x<-^3

故選：C.

2（x4-l）>x

【變式2-3］（2023秋?濱江區期末）（2023?歷城區二模）解不等式組x.3,并寫出

1-2x>

它的非負整數解.

【解題思路】根據解一元一次不等式組的方法，可以解答本題.

（2（%+1）>為①

【解答過程】解：-3?

由不等式①，得

x>-2,

由不等式②，得

xW1,

故原不等式組的解集是?2VxW1,

???它的非負整數解是（），1.

【題型3方程組的解構造不等式組求字母范圍】

【例3】（2023秋?余杭區期中）（2023春?仁壽縣期末）關于x,的方程組+￥一°，

其中-3WaWI.

（1）若x,y的值互為相反數，求。的值；

（2）當xAl時，求），的取值范圍.

【解題思路】（1）將兩方程相加可得X+）=〃+2,再結合x+y=0可得關于〃的方程，解

之即可；

（2）由題意知據此得《二：二?，再根據.3WaWl,臼知

（3-2y<1

i-y>-3,解之即可得出答案.

（1-y<1

【解答過程】解：⑴尸3ya?

{x-y=3a②

①+②得：2x+2y=2a+4,

.?.x+），=a+2,

??"，y的值互為相反數，

；?x+y=0,

:.a+2=0,

a=-2；

x+a=4—3y

（）由題意得

2x—3a=y

解瞰::二3

???-34W1,xWl,

3-2y<1

:.1—yN—3,

1-y<1

解得1W），W4.

【變式3-1］（2023春?慶陽期末）已知關于x、），的方程組且x>0,y>0.

（1）試用含，〃的式子表示方程組的解；

（2）求〃?的取值范圍.

【解題思路】（1）利用加減消元法求解即可；

（2）分別求出每一個大等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答過程】解：（1）方程組整理，得：卜十、=:6.

x-y=37n—4②

①+②，得：2x=5m-4,

①-②，得:2），=-6+4,

所以方程組的解為《：上4；

I一十q

（2）??”>（）,y>0,

.’中>0③

解不等式④，得：機w，

解不等式④，得：mV%

4

則不等式組的解集為￡</n<4.

【變式3-2］（2023春?柘城縣期末）已知關于X、），的二元一次方程組｝普的解

滿足不等式組『一'襁，則小的取值范圍是什么？

U+y>l

【解題思路】將方程組兩方程相加減可得x+y、x-p代入不等式組可得關于m的不等

式組，求解可得.

2x+y=1+2m

【解答過程】解：在方程組

_x+2y=2-m

①+②，得：3x+3y=3+ni,即x+y=,血,

①-②，得：x-y=-1+3"?,

x—y<8

.x+y>l

(3m-1<8

竽>1

解得:0<m<3.

【變式3-3］（2023春?武昌區校級月考）已知方程組5m的解X）,都是非負數，

且X的值小于y的值，求機的取值范圍.

【解題思路】解方程組用含〃?的式子表示x、y,再根據題意列出關于加的不等式空，解

之可得.

_-3-10m

363n'

（y=-r-

根據題意，得：］號％工0②，

<36^5zn③

解不等式①，得："S-卷

解不等式②,得：必爭，

解不等式③,得：心一學,

則4<心一條

【題型4根據不等式組的解集求字母范圍】

【例4】（2023春?昆都侖區校級期中）若關于x的不等式組。二二的解集是2Wx

（Zx—n<zm+1

<5,求〃?+〃的值.

【解題思路】先把機〃當作已知條件求出不等式組的解集，再與已知不等式組的解集是2

Wx<5相比較得出關于小〃的方程組，求出〃?、〃的值即可.

x-m>n(J)

【解答過程】解:

.2x—n<2Tn+1@

由①得，

士4用^2m+n+l

由②得，xV——2——，

???不等式組的解集為2WxV5,

m+n=2①m+2+l_

2血+n+1_5②'把①代入②得'一入—=5，解得機=7，把刖=7代入①得，〃+7

(2

=2,解得m--5,

:.，〃+〃=7_5=2.

【變式4-1](2023?利州區模擬)已知x=4是不等式”?3。?1V0的解，x=2不是不等式

依-3〃-1V0的解，求實數a的取值范圍.

【解題思路】根據x=4是不等式ax-3a-1<0的解：x=2不是不等式cix-3a-1<0的

解，列出不等式,求出解集,即可解答.

【解答過程】解：??"=4是不等式ar-3a-1V0的解，

：.4a-3a-1<0,

解得：a<\,

?.”=2不是這個不等式的解，

：.2a-3a-1>0,

解得：aW-1>

.?.aW1.

【變式4-2](2023?合肥模擬)若不等式§0—1W2-/的解集中x的每一個值，都能使關

于x的不等式3(%-1)+5>5x+2(w+x)成立，求〃?的取值范圍.

2x4-5

【解題思路】求出不等式-yTW2?x的解，再求出不等式3(x7)+5>5x+2(w+x)

的解集，得出關于〃?的不等式，求出機即可.

【解答過程】解：解不等式等TW2r得一美,

解關于x的不等式3(.V-1)+5>5x+2(6+x),

得x勺，

???不等式——1W2-X的解集中％的每一個值，都能使關于x的不等式3(x-I)+5

>5x+2(m+x')成立,

1-7714

???------

25

解得：〃?V—

'一根>°的解集中每一個x值均不在2

【變式4-31(2023春?鯉城區校級期中)若不等式組

,x-m<l

WxW5的范圍內，則m的取值范圍是（）

A.mVI或〃?>5B.〃忘1或機25C.或機V5D.〃1W1

【解題思路】解不等式組求出x的范圍，根據任何一個x的值均不在2W.iW5范圍內列

出不等式，解不等式得到答案.

【解答過程】解：由x-〃?>0,得：x>m,

由得：x</n+l,

???解集中每一個x值均不在2WxW5的范圍內，

則25或6+1W2,

解得m25或1,

故選：B.

【題型5利用整數解求字母取值范圍】

r2x+5_￡〉5

【例5】（2023秋?昌江區校級期末）已知關于x的不等式組上，恰有三個整數解，

則/的取值范圍為_1士<一1.

Z3

【解題思路】求出每個不等式的解集，根據已知得出不等式組的解集，根據不等式組的

3

1<-t

-2+5VA①

整數解即可得出：一定存在一個整數％,滿足滿足下列關系：

U+2<3-2t<k+3（2）

并分情況討論得出A的取值，再得/的取值范圍.

'^5一05①

【解答過程】解:

手―-②

3

-

2

解不等式②得：x<3-2t,

3

則不等式組的解集為：-t+5<r<3-2t,

???不等式組有3個整數解，

???一定存在一個整數億滿足滿足下列關系:

r3

1<-t

k-2+5Vk①

k+2<3—2t<k+3（2）

解不等式組①得，二子<￡〈失變，

33

解不等式組②得，-*tv號,

p/c-12<_k

⑴當春一:馬即心竽時，則一興~字,

工曰k一2k—10M舛.、20

于是，一2<―3—，解得，卜〉萬,

<k<第

77

?.N為整數,

（2k-12/k

I------V——no74

（2）當，2嵩0—14時，即3式上工亍時，不存在整數匕

I3--

此時無解；

r2k^i2^_k

⑶當2乙。二12此時無解；

V3

（2k-12、k

⑷當,I-叢5―->-/7‘即柜f24時.,,則2k—丁12，〈1丁-k

I-3---2~

2/C-121-k

于是,-------<——

32

解得，kV片

若產'不存在整數匕

，此時無解.

綜上，一,W/V-

故答案為：一2勺〈一多

【變式5-1］（2023?南通）若關于"勺不等式組忤+3>12恰有3個整數解，則實數〃的取

值范圍是（）

A.7<a<8B.7<?<8C.7，<8D.7WaW8

【解題思路】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，求出不等式組的3個

整數解是5,6,7,再求出。的取值范圍即可.

‘2%+3》12①

【解答過程】解:

,x-a<0@'

解不等式①，得x>4.5,

解不等式②，得xWa,

所以不等式組的解集是4.5VxW〃,

???關于工的不等式組.二猊2恰有3個整數解（整數解是5,6,7）,

,7?8,

故選：C.

9n

【變式5-2］（2（）23秋?濱江區期末）（2023?浙江自主招生）使得不等式組商<對

n+k

唯一的整數4成立的最大正整數”為144

7k8

【解題思路】根據題目中的不等式‘先變形,然后即可得到.W再根據Z是唯一

的整數，可以得到〃的取值范圍，然后通過計算可以得到唯一的整數3從而可以得到〃

的最大正整數值.

9n8

【解答過程】解「.石〈正二,

918

<—r<一,

171+-15

15

8

7k8

5<6」是唯一的整數'

k-17「k+l8

2k+1k-1871

—————.......>———=,

nnn-9872

???〃W144,

7〃8

當〃=144時，由一V-V-,可得126VKV128,

8n9

??/可取唯一的整數127,

由上可得，〃的最大值是144,

故答案為：144.

f2x+5_t>5

【變式5-3］（2023秋?昌江區校級期末）已知關于x的不等式組《丫工恰有三個整數

L

解，則/的取值范圍為一、.

【解題思路】求出每個不等式的解集，根據已知得出不等式組的解集，根據不等式組的

k-1三科+5V々①

整數解即可得出：一定存在一個整數上滿足滿足下列關系:

k+2<3-2tWk+3②

并分情況討論得出火的取值，再得，的取值范圍.

（罕—>5①

【解答過程】解:住—②

3

-

2

解不等式②得：x<3-2t,

3

則不等式組的解集為：-t+5<r<3-2t,

???不等式組有3個整數解，

???一定存在一個整數億滿足滿足下列關系:

3

r1<t

k-2一+5Vk①

k+2<3—2t<k+3（2）

解不等式組①得，三"<￡〈生三，

33

解不等式組②得，〈浮

乙乙

2/C-12<_k

直[我，即鵬,則一異-咤

（1）當

3--

于是，一5V"F，解得，卜吟，

???空VY第

77

?.7為整數,

4

-

-3

3

-1

2-

34

<

-于;

2-

（2k-12/k

l------------voo74

（2）當12Gl0].A時’即彳WkW弓■時，不存在整數匕

I-!---r

???此時無解；

f2k-12_k

⑶當后一>I馬此時無解；

24,,2k-121-k

即k>竽時，則n二一<t<—

2A-10

-

2k-121-k

于是,-------<-----

32

解得，Y等

2427

:.一<k<一,不存在整數匕

77

，此時無解.

綜上，—I'WfV一

34

--

故答案為:23

【題型6小等式組中的新定義問題】

mx4-ny,(x>y)

【例6)(2023春?大連期末)對小)，定義一種新的運算P,規定：P(x,y)=

jix+my,(%<y)

(其中加〃W。).已知P(2,1)=7,尸(-1,1)=-1.

(1)求m、n的值;

P(2Q,a-1)<4

(2)若〃>0,解不等式組1i

P^-^a-1,-|a)<-5

【解題思路】(1)先根據規定的新運算列出關于〃?、〃的方程組，再解之即可;

(2)由。>0得出2a>a?l,一品?1V-%,根據新定義列出關于。的不等式組，解

之即可.

2m+7i=7

【解答過程】解：(1)由題意，得:

—n+TH=-1

解得｛；：：；

(2)V?>0,

/.2。>4,

/?2〃>〃-1,-yd<—n”,

.1,1

--2a~[<-3af

2x2a+3(a-1)<4①

「3(-1a-l)+2x(-1a)<-5②‘

解不等式①，得：a<\,

解不等式②,得：心侍，

???不等式組的解集為II<^<1.

【變式6-1】(2023春?祁江區校級期末)對于任意有理數-我們用國表示不大于x的最大

整數,若口]=〃，則/W+1.如:[2.7]=2,[2018]=2018,[-3.14]=-4,若[3x+2]

=-3,則x的取值范圍是()

54545454

-<<--<-C---</-

-A----X一-

A.3--3B.3<x-333I).3-3

【解題思路】根據題意可得?3W3X+2V-2,根據不等式的解法即可求解.

【解答過程】解：根據題意可得-3W3X+2V-2,

解得一j"%v-]

故選：D.

【變式6-2](2023春?海陵區期末)規定符號/(x)1是正整數)滿足下列性質：

①當x為質數時，/(2=1(質數：是指除了本身和1之外，再沒有其他因數的數).

②對T任意兩個正整數m和n,f(，〃?〃)=mf(n)Cm).

例如：f(6)=/(2X3)=2/(3)+3f(2)=2X1+3X1=5.

(I)直接寫出/(3)=1,/(4)=4.

(2)求f(18)和/(24)的值;

(/(18x)-18/(%)>5x4-f(24)

(3)求滿足不等式組，:/?：二，的x的值.

U(2x)-2/(x)<6

【解題思路】(1)先判斷3時質數，4不是質數，且4=2X2,結合定義求出/(3),f

(4)；

(2)由18=3X6,24=4X6,結合/(3),/(4),/(6)和定義，求出/(18)和7(24)；

(3)先將/(18x),/(2r)化簡，然后將不等式變形化簡，從而求出x的值.

【解答過程】解：⑴門是質數，4=2X2,且2是質數，

/./(3)=1,/(4)=/(2X2)=2/(2)+2f(x)=4.

故答案為：1,4.

(2)/(I8)=/(3X6)=y(6)+6f(3)=3X5+6X1=21,

f(24)=f(4X6)=4/(6)+6/(4)=4X5+6X4=44.

(3)V/(18x)=18f(x)+—(18)=18/(x)+2lx,

/(2AO=2f(x)+V(2)=2f(x)+x,

.才依生(21x>5x+44

??不等式組可化為：,

(x<6

解得：—<x<6.

4

【變式6-3](2023春?涕陽市期末)我們把關于x的一個一元一次方程和一個一元一次不等

式組合成一種特殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們

把這種組合叫做“有緣組合”；當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們

把這種組合叫做“無緣組合”.

(1)請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；

磷二普

x—5_3—x

—=2~-

（x+3113r.

（5x4-15=0

（2）若關于x的組合|竺工〉Q是“有緣組合”，求〃的取值范圍；

（3）若關于x的組合是“無緣組合”；求〃的取值范圍.

（^+l<x+a

【解題思路】（1）先求方程的解，再解不等式，根