高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則該極值為：

A.0

B.2

C.-1

D.3

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項$a_{10}$的值為：

A.15

B.17

C.19

D.21

3.若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=5$相切，則圓心到直線的距離為：

A.$\sqrt{5}$

B.$\sqrt{2}$

C.$\sqrt{3}$

D.$\sqrt{4}$

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f'(1)$的值為：

A.$-\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{2}$

C.0

D.不存在

5.若不等式$\frac{x-1}{x+2}>0$的解集為$(a,b)$，則$a$和$b$的取值范圍分別是：

A.$a<-2,b>1$

B.$a<1,b>-2$

C.$a>-2,b<1$

D.$a>1,b<-2$

6.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為：

A.5

B.-5

C.10

D.-10

7.若復(fù)數(shù)$z=2+3i$，則$|z|$的值為：

A.5

B.2

C.3

D.1

8.若函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)$的值恒大于：

A.0

B.1

C.-1

D.0或1

9.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，則$a_1$的值為：

A.5

B.7

C.9

D.11

10.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k^2$的取值范圍為：

A.$[0,1]$

B.$[1,+\infty)$

C.$(-\infty,-1]$

D.$(-1,0]$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列各式中，屬于對數(shù)函數(shù)的有：

A.$y=\log_2(x-1)$

B.$y=\log_{\sqrt{2}}(x^2)$

C.$y=\ln(x+1)$

D.$y=\log_5(5x)$

2.下列各函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有：

A.$f(x)=x^2-4x+3$

B.$g(x)=\frac{1}{x}$

C.$h(x)=\sqrt{x}$

D.$k(x)=e^x$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公差$d=2$，則下列說法正確的是：

A.第10項$a_{10}$是正數(shù)

B.前10項的和$S_{10}$是正數(shù)

C.第5項$a_5$是正數(shù)

D.前5項的和$S_5$是正數(shù)

4.若直線$y=mx+b$與拋物線$y=x^2-4x+3$有兩個不同的交點，則下列說法正確的是：

A.$m$的取值范圍是$(-\infty,2)$

B.$m$的取值范圍是$(2,+\infty)$

C.$b$的取值范圍是$(-\infty,3)$

D.$b$的取值范圍是$(3,+\infty)$

5.下列各對數(shù)恒等式正確的是：

A.$\log_a(b^c)=c\log_a(b)$

B.$\log_a(a)=1$

C.$\log_a(1)=0$

D.$\log_a(a^b)=b$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為______。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的第10項$a_{10}=19$，則公差$d=______$。

3.直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=5$相切，則圓心到直線的距離$d=______$。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)$f'(1)=______$。

5.若復(fù)數(shù)$z=2+3i$，則$z$的模$|z|=______$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}$$

2.解下列方程：

$$2x^3-6x^2+9x-3=0$$

3.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數(shù)在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求第15項$a_{15}$。

5.直線$y=mx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，求實數(shù)$m$和$b$的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.答案：A

知識點：函數(shù)的極值

解題過程：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，檢查二階導(dǎo)數(shù)$f''(1)=6>0$，故$x=1$為極小值點，極小值為$f(1)=0$。

2.答案：A

知識點：等差數(shù)列的通項公式

解題過程：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=2$，得$a_{10}=3+9\times2=21$。

3.答案：A

知識點：點到直線的距離公式

解題過程：圓心到直線的距離公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圓心$(0,0)$和直線$2x+y-1=0$的系數(shù)，得$d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$。

4.答案：B

知識點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解題過程：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=1$，得$f'(1)=-\frac{2}{(1+1)^2}=-\frac{1}{2}$。

5.答案：B

知識點：不等式的解法

解題過程：分母同號，分子同號時，不等式符號不變；分母異號，分子異號時，不等式符號改變。解得$x<-2$或$x>1$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.答案：ACD

知識點：對數(shù)函數(shù)的定義

解題過程：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，$A$和$C$是對數(shù)函數(shù)，$B$和$D$不是對數(shù)函數(shù)。

2.答案：CD

知識點：函數(shù)的單調(diào)性

解題過程：$B$和$C$在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，$A$和$D$在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減。

3.答案：ABD

知識點：等差數(shù)列的性質(zhì)

解題過程：等差數(shù)列的項數(shù)和前$n$項和都是正數(shù)，第5項是正數(shù)。

4.答案：AD

知識點：直線與圓的位置關(guān)系

解題過程：直線與圓相切，則直線到圓心的距離等于圓的半徑，$m$的取值范圍是$(-\infty,2)$，$b$的取值范圍是$(-\infty,3)$。

5.答案：ABCD

知識點：對數(shù)恒等式

解題過程：根據(jù)對數(shù)恒等式，$A$、$B$、$C$和$D$都是正確的。

三、填空題答案及知識點詳解

1.答案：$2$

知識點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解題過程：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$，得$f'(1)=2$。

2.答案：$2$

知識點：等差數(shù)列的通項公式

解題過程：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_{10}=19$和$a_1=1$，得$d=2$。

3.答案：$\sqrt{5}$

知識點：點到直線的距離公式

解題過程：圓心到直線的距離公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圓心$(0,0)$和直線$2x+y-1=0$的系數(shù)，得$d=\sqrt{5}$。

4.答案：$-\frac{1}{2}$

知識點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解題過程：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=1$，得$f'(1)=-\frac{1}{2}$。

5.答案：$|z|=\sqrt{13}$

知識點：復(fù)數(shù)的模

解題過程：復(fù)數(shù)的模$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=2$和$b=3$，得$|z|=\sqrt{13}$。

四、計算題答案及知識點詳解

1.答案：$1$

知識點：極限的計算

解題過程：使用洛必達(dá)法則，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{2}=0$。

2.答案：$x=\frac{1}{2},1,3$

知識點：多項式方程的解法

解題過程：因式分解$2x^3-6x^2+9x-3=(2x-1)(x-1)(x-3)$，得$x=\frac{1}{2},1,3$。

3.答案：最大值$f(3)=12$，最小值$f(1)=0$

知識點：函數(shù)的最大值和最小值

解題過程：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$和$x=2$，檢查二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$，得$x=1$為極小值點，$x=2$為極大值點，計算$f(1)=0$和$f(3)=12$。

4.答案：$a_{15}=45$

知識點：等差數(shù)列的通項公式

解題過程：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=