試題試題2024北京八中高三9月月考數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.2.計(jì)算的結(jié)果等于（）A. B. C. D.3.從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取2球,下列情況中互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A.至少有一個(gè)紅球，至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球，都是白球C.至少有一個(gè)紅球，都是白球D.至多有一個(gè)紅球，都是紅球4.對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：①存在平面，使得，都垂直于；②存在平面，使得，都平行于；③存在直線，直線，使得；④存在異面直線，，使得，，，．其中，可以判定與平行的條件有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.高二某班共有50名學(xué)生，其中女生有名，“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的，且“三好學(xué)生”中女生占一半，現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會(huì)，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率為（）A. B. C. D.6.某外商計(jì)劃在5個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有（）A.36種 B.60種 C.120種 D.180種7.在一個(gè)數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且，公積為8，則（）A.4719 B.4721 C.4723 D.47248.已知函數(shù)的最小正周期為．將的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的一個(gè)值是（）A. B. C. D.9.直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°10.已知拋物線，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的值為（）A.0 B.1 C.-2 D.-1二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．12.已知向量滿足與的夾角為，則______．13.已知點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是______．14.已知點(diǎn)是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點(diǎn)是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且與兩條漸近線相交于15.如圖，棱長為2的正方體中，E、F分別為棱的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是_____．①三棱錐的體積為定值．②存在線段，使平面平面．③G為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最小．④若平面與棱有交點(diǎn)，記交點(diǎn)分別為M，N，則的取值范圍是．三、解答題（共6題，滿分85分）16.在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求與所成角的余弦值：（3）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長，18.小明同學(xué)兩次測試成績(滿分100分)如下表所示：語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物第一次879291928593第二次829495889487（1）從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績大于90分的概率；（2）從小明同學(xué)第一次測試和第二次測試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測試成績(滿分100分)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表所示：語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物6科成績均值6科成績方差第一次第二次將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評(píng)成績，這6科總評(píng)成績的方差為.有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若，則.你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？(只寫“正確”或“不正確”)19.已知橢圓上的點(diǎn)到左右兩焦點(diǎn)的距離之和為，離心率為．（1）求橢圓的方程：（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．若軸上一點(diǎn)滿足，求直線斜率的值．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：．21.對(duì)于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）對(duì)于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，不等式均成立.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念得到結(jié)果.【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2.【答案】A【分析】根據(jù)正弦的差角公式即可求解.【詳解】，故選：A3.【答案】B【詳解】由題意所有的基本事件可分為三類：兩個(gè)紅球，一紅一白，兩個(gè)白球．易知A選項(xiàng)的事件不互斥；C，D兩個(gè)選項(xiàng)中的事件為對(duì)立事件；而B項(xiàng)中的事件一是互斥，同時(shí)還有“兩個(gè)紅球”的事件，故不對(duì)立．故選B.點(diǎn)睛：“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件.4.【答案】B【分析】直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，確定正確選項(xiàng)即可．【詳解】解：①若存在平面，使得，都垂直于，則與平行或相交，故①錯(cuò)誤．②若存在平面，使得，都平行于，因?yàn)榕c是不重合的兩個(gè)平面，所以與平行，故②正確．③若存在直線，直線，使得，則與平行或相交，故③錯(cuò)誤；④若存在異面直線，，使得，，，，則可以判定與平行．可在面內(nèi)作，，因?yàn)椋钱惷嬷本€，則與必相交．又，，，，，即④正確．故選：B．5.【答案】D【分析】分別計(jì)算“三好學(xué)生”人數(shù)，女“三好學(xué)生”與男“三好學(xué)生”人數(shù)，再利用條件概率計(jì)算公式即可得出結(jié)論．【詳解】“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的，“三好學(xué)生”人數(shù)是人，男生人數(shù)為人，“三好學(xué)生”中女生占一半，女“三好學(xué)生”與男“三好學(xué)生”各是人．現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會(huì)，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率，故選：D．6.【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論，一是在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，二是在三個(gè)城市各投資1個(gè)項(xiàng)目，分別計(jì)算其情況數(shù)目，進(jìn)而由加法原理，計(jì)算可得答案．【詳解】該外商不同的投資方案分為兩類：若1個(gè)城市投資2個(gè)項(xiàng)目，另外1個(gè)城市投資1個(gè)項(xiàng)目，有種投資方案；若3個(gè)城市各投資1個(gè)項(xiàng)目，共有種投資方案，由分類計(jì)數(shù)原理知，共有120種不同的投資方案．故選：C．7.【答案】B【分析】先根據(jù)題干已知條件及遞推公式逐項(xiàng)代入進(jìn)行計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，然后根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)即可計(jì)算出數(shù)列的前2024項(xiàng)的和．【詳解】依題意，由，及，可得當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，，，，．故選：B8.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的周期求，結(jié)合三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，，得，則，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：B．9.【答案】C【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題，考查空間想象與計(jì)算能力．延長B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．10.【答案】A【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得直線與直線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在直線上，得，即,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡后即可得解．【詳解】設(shè)，由求導(dǎo)得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點(diǎn)在直線上，得，即故選：A．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】60【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式，可求常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)為．令，得，則的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：．12.【答案】【分析】由題，先求得的值，再求得，最后開方可得答案.【詳解】，故答案為:13.【答案】【分析】根據(jù)一般方程的的定義，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解．【詳解】由題意得4a2+3a>0故答案為：．14.【答案】【分析】利用三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合已知，可以求出的雙曲，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，即是的中位線，則，可得，，又因?yàn)椋瑒t，，關(guān)系則，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.15.【答案】①③④【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)與判定及等體積法可判定①；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判定②③；利用平面的性質(zhì)結(jié)合勾股定理及函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判定④.【詳解】易知側(cè)面，所以上的點(diǎn)到側(cè)面的距離始終不變，即正方體的棱長2，而對(duì)于三棱錐的體積，故①正確；如圖所建立的空間直角坐標(biāo)系，則,可設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，顯然，若平面平面，則，此時(shí)G不在線段上，即②不成立；易知，設(shè)直線與所成角，則，顯然時(shí)，，即取得最小值，此時(shí)，故③正確；如圖所示，要滿足題意需G靠C近些，過G作，延長交延長線于I，連接IN交AB于M，設(shè)，易知，所以，由，所以④正確；故答案為：①③④三、解答題（共6題，滿分85分）16.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.17.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及異面直線的夾角公式代入計(jì)算，即可求解；（3）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得平面與平面的法向量，再由法向量的乘積為零，代入計(jì)算，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕忠驗(yàn)槠矫妫矫妫裕遥矫妫云矫?【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在直線以及所在且與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)與所成角為，則.【小問3詳解】由（2）可知，設(shè)P0,?23則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面的法向量為，又，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，則，所以平面的法向量為，因?yàn)槠矫嫫矫妫裕獾茫?18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）不正確【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）計(jì)算出的各個(gè)取值的概率可得分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算可得數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)方差公式計(jì)算，結(jié)合比較可得答案.【詳解】（1）共有6科成績，其中成績大于90分的有數(shù)學(xué)、英語、物理和生物共4科，所以從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機(jī)抽取1科，該科成績大于90分的概率為.（2）的所有可能取值為：0，1，2，，，，所以X的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)，則，則，同理可得，，因?yàn)椋裕缘姆?hào)不確定，所以與無法比較大小，，所以，故這種觀點(diǎn)不正確.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟和數(shù)學(xué)期望公式是解題關(guān)鍵.19.【答案】（1）（2）或或.【分析】（1）利用橢圓的定義求出，根據(jù)離心率，求出，可得，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論，利用，可得方程，即可求直線斜率的值．【小問1詳解】，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】已知，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡得：，因?yàn)樵撝本€過的定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則其與橢圓必有兩交點(diǎn)，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，滿足條件，此時(shí)的中垂線為；當(dāng)時(shí)，，得到MG所在的直線與直線l垂直，，整理得，解得或所以或或.20.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再由點(diǎn)斜式可得解；（2）由，分和兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分析可得要證，，令，利用導(dǎo)數(shù)證得，即可得證．【小問1詳解】，，，，所以在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，整理得：；【小問2詳解】函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，f'x≥0，此時(shí)在0,+當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上f'x<0，在單調(diào)遞減，在上f'x>0，在單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，的遞增區(qū)間為0,+∞，無遞減區(qū)間；時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；【小問3詳解】由（2）可知，當(dāng)時(shí)，才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則要證，即證，即證，而，則，否則方程不成立），所以即證，化簡得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在0,1單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在1,+∞單調(diào)遞增，所以，而，所以，所以，得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是通過證明即可得解，分析函數(shù)在極小值左側(cè)的單調(diào)性，關(guān)鍵再由證明，利用構(gòu)造函數(shù)的方法即可.21.【答案】（1）5（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得