高等分析考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.0B.1C.-1D.不存在2.定積分\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.23.極限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在4.函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((0,+\infty)\)5.若\(z=x+iy\)，則\(\vertz\vert=\)（）A.\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)B.\(x^{2}+y^{2}\)C.\(x+y\)D.\(\sqrt{x-y}\)6.曲線\(y=x^{2}\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=x-1\)D.\(y=x+1\)7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂級數(shù)B.絕對收斂級數(shù)C.發(fā)散級數(shù)D.條件收斂級數(shù)8.設(shè)\(y=e^{x}\cosx\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{x}\cosx-e^{x}\sinx\)B.\(e^{x}\cosx+e^{x}\sinx\)C.\(e^{x}\sinx-e^{x}\cosx\)D.\(-e^{x}\sinx-e^{x}\cosx\)9.二元函數(shù)\(z=x^{2}+y^{2}\)在點\((1,1)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)為（）A.1B.2C.3D.410.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\lnx\)答案：1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.C8.A9.B10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.下列哪些函數(shù)是周期函數(shù)（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=x^{2}\)3.關(guān)于定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，以下說法正確的是（）A.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則定積分存在。B.定積分的值與被積函數(shù)\(f(x)\)和積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)。D.若\(f(x)\)是奇函數(shù)且積分區(qū)間\([-a,a]\)關(guān)于原點對稱，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。4.對于復(fù)數(shù)\(z_{1}=a+bi\)，\(z_{2}=c+di\)（\(a,b,c,d\inR\)），下列運算正確的是（）A.\(z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i\)B.\(z_{1}-z_{2}=(a-c)+(b-d)i\)C.\(z_{1}\cdotz_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i\)D.\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)（\(z_{2}\neq0\)）5.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（）A.若\(y=x^{n}\)，則\(y^\prime=nx^{n-1}\)B.若\(y=\sinx\)，則\(y^\prime=\cosx\)C.若\(y=e^{x}\)，則\(y^\prime=e^{x}\)D.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime=\frac{1}{x}\)6.以下關(guān)于級數(shù)收斂的判別法正確的是（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.積分判別法7.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x=x_{0}\)處可導(dǎo)的必要條件是（）A.函數(shù)在\(x=x_{0}\)處連續(xù)B.函數(shù)在\(x=x_{0}\)處有極限C.\(\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在\(x=x_{0}\)的某鄰域內(nèi)有定義8.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，全微分\(dz\)等于（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)B.\(\frac{\partialz}{\partialx}\Deltax+\frac{\partialz}{\partialy}\Deltay\)C.\(z_{x}dx+z_{y}dy\)（其中\(zhòng)(z_{x}=\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(z_{y}=\frac{\partialz}{\partialy}\)）D.\(\frac{\partialz}{\partialy}dx+\frac{\partialz}{\partialx}dy\)9.下列曲線中，關(guān)于\(y\)軸對稱的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\ln\vertx\vert\)10.設(shè)\(y=f(x)\)，\(x\inR\)，若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則（）A.\(f(-x)=f(x)\)B.\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對稱C.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)D.\(f^\prime(x)\)也是偶函數(shù)答案：1.ABC2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABD8.ABC9.AB10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處有定義。（）2.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上可導(dǎo)。（）3.\(\inte^{x}dx=e^{x}+C\)（\(C\)為常數(shù)）。（）4.復(fù)數(shù)\(z=0\)的輻角是任意值。（）5.若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}\verta_{n}\vert\)也收斂。（）6.函數(shù)\(y=\sin^{2}x\)的周期是\(\pi\)。（）7.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，若\(f^\prime(x_{0})=0\)，則\(x=x_{0}\)是函數(shù)的極值點。（）8.二元函數(shù)\(z=x+y\)在整個平面上處處連續(xù)。（）9.若\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）10.對于復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)，\(z\)的共軛復(fù)數(shù)為\(\overline{z}=a-bi\)。（）答案：1.錯誤2.錯誤3.正確4.正確5.錯誤6.正確7.錯誤8.正確9.正確10.正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（不論它多么小），總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<\vertx-x_{0}\vert<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(\vertf(x)-A\vert<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(y=f(x)\)當(dāng)\(x\rightarrowx_{0}\)時的極限，記作\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)。2.求函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(y^\prime>0\)；當(dāng)\(0<x<2\)時，\(y^\prime<0\)；當(dāng)\(x>2\)時，\(y^\prime>0\)。所以\(x=0\)時，\(y\)有極大值\(y(0)=2\)；\(x=2\)時，\(y\)有極小值\(y(2)=-2\)。3.簡述復(fù)數(shù)的三角形式及其運算規(guī)則。答案：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的三角形式為\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(zhòng)(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，\(\tan\theta=\frac{b}{a}\)。乘法規(guī)則：\(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]\)；除法規(guī)則：\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]\)（\(z_{2}\neq0\)）。4.簡述定積分的幾何意義。答案：當(dāng)函數(shù)\(y=f(x)\geqslant0\)，\(x\in[a,b]\)時，定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)\(f(x)\leqslant0\)時，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲邊梯形面積的負(fù)值。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{1-x}\)的連續(xù)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{1-x}\)在\(x\neq1\)時是連續(xù)的。因為當(dāng)\(x\rightarrow1\)時，\(y\rightarrow\infty\)，在\(x=1\)處函數(shù)無定義，所以函數(shù)在\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)上連續(xù)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)的收斂性。答案：根據(jù)\(p-\)級數(shù)的收斂性判別法，當(dāng)\(p=2>1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\)收斂，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)收斂。3.討論函數(shù)\(y=e^{x}-x-1\)的單調(diào)性。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=e^{x}-1\)。當(dāng)\(x>0\)時，\(y^\prime>0