專題10垂徑定理（3知識點+8大題型+3大拓展訓練+過關測）內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：8大核心考點精準練+3大拓展訓練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1：垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；AE=BE如圖，幾何語言為：AE=BE2.推論定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.要點：（1）分一條弧成相等的兩條弧的點，叫做這條弧的中點.（2）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.【即時訓練】1．（2425九年級上·浙江溫州·期中）下列命題正確的是（）A．平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦B．垂直于弦的直線平分弦C．平分弦的直線必平分弦所對的兩條弧D．平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧【答案】A【分析】本題考查了命題與定理，垂徑定理，熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關鍵．根據垂徑定理和垂徑定理的推論進行判斷即可．【詳解】解：A、平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦，符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，故原說法錯誤，不符合題意；C、平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧，故原說法錯誤，不符合題意；D、平分弦不是直徑的直徑必平分弦所對的兩條弧，故原說法錯誤，不符合題意；故選：A．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，當Ｃ與A或B重合時，最長，當直于時，最短，即可求出x的范圍．當垂直于時，可得出C為的中點，連接，故選：A．A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．利用勾股定理求出和，再利用垂徑定理求出，再次利用勾股定理即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接，故選：．知識點2：垂徑定理的拓展根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）【即時訓練】A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C連接，即：的半徑等于5；故選C．【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關鍵．5．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖在平面直角坐標系中，過格點，，作一圓弧，圓心坐標是．【分析】本題考查了坐標與圖形，垂徑定理的推論，掌握垂徑定理的推論，坐標與圖形的關系是解題的關鍵．6．（2023九年級上·江蘇·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A、B、C作圓弧，則圓心的坐標是．【分析】運用垂徑定理的推論作圖確定圓心位置，寫出坐標即可．【點睛】本題考查垂徑定理的推論，掌握作圓中弦的垂直平分線必過圓心值解題的關鍵．知識點3：常見輔助線做法：⑵有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．【即時訓練】

【答案】

故答案為：．【答案】7或1∵E、F分別為、的中點，綜上所述，弦AB與CD的距離為7或1．故答案為：7或1．【點睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，利用分類討論的思想和垂徑定理是解本題的關鍵．9．（2324九年級上·浙江寧波·期中）蘇州古典園林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南園林甲天下之美，如圖是一蘇州園林中的窗飾特寫，四個水平放置正方形木框的邊長都為20cm，頂點A，B，C是圓形窗上的點，則這個圓形窗的半徑為cm．【詳解】解：如圖，連接，作，的垂直平分線，交點為點，連接，，【題型1垂徑定理的概念辨析】1．下列命題中，正確的是（

）A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C．弦的垂線必經過這條弦所在圓的圓心D．在一個圓內平分一條弧和平分它所對的弦的直線必經過這個圓的圓心【答案】D【分析】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑垂直這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．根據垂徑定理對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、兩條直徑互相平分，但不一定垂直，故本選項錯誤，不符合題意；B、平分一條弧的直徑垂直于這條弧所對的弦，故本選項錯誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經過這條弦所在圓的圓心，故本選項錯誤，不符合題意；D、在一個圓內平分一條弧和平分它所對的弦的直線必經過這個圓的圓心，故本選項正確，符合題意．故選：D．2．下列命題中正確的是（）A．垂直于弦的直線平分這條弦 B．平分弦的直徑垂直于這條弦C．平分弧的直線垂直于弧所對的弦 D．平分弦所對的兩條弧的直線平分這條弦【答案】D【分析】本題考查了命題的真假，垂徑定理的運用，理解垂徑定理及其推論是解題關鍵．根據垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對的兩條弧，逐項分析即可．【詳解】解：A、垂直于弦的直線不一定平分這條弦，原命題是假命題，不符合題意；B、平分弦的直徑不一定垂直于這條弦，原命題是假命題，不符合題意；C、平分弧的直線不一定垂直于弧所對的弦，原命題是假命題，不符合題意；D、平分弦所對的兩條弧的直線平分這條弦，原命題是真命題，符合題意；故選：D．3．下列命題中，假命題是（）A．如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦B．如果圓的一條直徑平分一條弦，那么這條直徑垂直這條弦C．如果一條直線垂直平分一條弦，那么這條直線一定經過圓心D．如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線平分這條弦【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理、圓的相關概念，根據垂徑定理、圓的相關概念逐項分析即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：A、如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，說法正確，是真命題，不符合題意；B、當弦本身是另一條直徑時，兩條直徑互相平分但不一定垂直，故原說法錯誤，是假命題，符合題意；C、如果一條直線垂直平分一條弦，那么這條直線一定經過圓心，說法正確，是真命題，不符合題意；D、如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線平分這條弦，說法正確，是真命題，不符合題意；故選：B．4．請完善本課時的知識結構．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∴，∴．【分析】根據垂徑定理內容進行作答即可．【詳解】解：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧．【點睛】本題主要考查的是垂徑定理內容，正確掌握垂徑定理內容是解題的關鍵．5．如圖，舞臺地面上有一段以點O為圓心的，某同學要站在的中點C的位置上．于是他想：只要從點O出發，沿著與弦AB垂直的方向走上，就能找到的中點，老師肯定了他的想法．這位同學確定點C所用方法的依據是．【答案】垂徑定理【分析】由題意依據垂徑定理的定義即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧進行分析即可．【詳解】解：作圖過程可知路徑垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧，所以這位同學確定點C所用方法的依據是垂徑定理.故答案為：垂徑定理.【點睛】本題考查對垂徑定理的理解，熟練掌握垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧即垂徑定理是解題的關鍵.【題型2利用垂徑定理求半徑】6．如圖，在中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則圓O的半徑長是（

）【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，解題的關鍵是掌握垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧．【詳解】解：∵圓心到弦的距離為2，∵弦的長為4，故選：C．A． B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，在解答此類問題時往往先構造出直角三角形，再利用勾股定理求解．【詳解】解：連接，故選：A．【答案】設茶杯的杯口外沿半徑為故答案為：．【答案】【分析】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵在于通過勾股定理求出半徑長度．根據垂徑定理求出長度，再根據勾股定理求出半徑長度即可．即的半徑長為米．故答案為：．【答案】的半徑為．【詳解】解：如圖，連接，故的半徑為．【題型3利用垂徑定理求弦長】【答案】D【詳解】解：連接，故選：D．A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D∴越大，越小，即弦越短．當點N與點M重合時，最小，故選：D．【答案】4【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識點，掌握垂徑定理成為解題的關鍵．【詳解】解：∵在中，半徑垂直于弦，垂足為點，故答案為：4．【答案】6【詳解】解：∵過圓心O，故答案為6．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵點是弦的中點，【題型4垂徑定理的推論】A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】B故選：B．A． B． C． D．【答案】D∵是的直徑，故選D．【答案】4故答案為：4．【答案】證明見解析【分析】本題考查垂徑定理的推論及垂直平分線的性質，根據“是直徑，點是劣弧的中點”可得垂直平分，再根據垂直平分線的性質即可得證．解題的關鍵是掌握：一條直線如果具有“．經過圓心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直徑），．平分弦所對的優弧，．平分弦所對的劣弧”這五條中的任意兩條，則必然具備其余的三條，簡稱“知二推三”．【詳解】證明：∵是直徑，點是劣弧的中點，∴垂直平分，【答案】見解析【分析】本題主要考查了垂徑定理、全等三角形的判定與性質等知識點，正確作出輔助線、構造直角三角形成為解題的關鍵．【題型5垂徑定理的實際應用】【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．即水的最大深度為，故選：C．22．石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖是某地的石拱橋局部，其跨度為24米，所在圓的半徑為米，則這個弧形石拱橋的拱高（的中點C到弦的距離）為（

）A．8米 B．6米 C．4米 D．2米【答案】C【分析】此題主要考查了垂徑定理的應用以及勾股定理，正確應用垂徑定理是解題關鍵．故選：C．A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】D【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．故選：D．【答案】50【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．故答案為：50．25．如圖1，某公園有一個圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設置一圈防護欄現在對噴泉進行測量和規劃，其示意圖如圖2所示，相關信息如下：信息二：已知防護欄要距離噴泉邊緣1米，以O為圓心，R為半徑作防護欄所在圓．請根據以上信息解答下列問題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結果保留整數）【答案】(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝25盞景觀燈【分析】本題考查垂徑定理，求圓的周長，熟練掌握垂徑定理，是解題的關鍵：（1）連接，設噴泉的半徑為，根據垂徑定理和勾股定理進行求解即可；（2）根據噴泉的半徑求出防護欄的半徑，進而求出防護欄的周長，進行求解即可．∵D是弦的中點，答：噴泉的半徑為5米；答：大約需要安裝25盞景觀燈．【題型6利用垂徑定理求解其他問題】A．甲和乙的方法均正確B．甲和乙的方法均不正確C．甲的方法正確，乙的方法不正確D．甲的方法不正確，乙的方法正確【答案】A故選：A．【點晴】本是考查了作圖――應用與設計作圖，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是題解題意．【答案】B故選：B．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示：為的半徑，其值一定，∴當最小時，最大，∴當最小時，最大，∵點C在上移動，此時，點與點（或點）重合，點與點（或點）重合，∴的最大值為故答案為：【答案】7D為OC的中點，故答案為：7．【點睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質與判定，掌握垂徑定理是解題的關鍵．30．請用無刻度的直尺在以下兩個圖中畫出線段BC的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查的是作圖，主要涉及等腰三角形的性質、垂徑定理、矩形的性質、線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用相關的知識解決問題．（1）如圖，作直線即可，即為所求；【詳解】（1）如圖①，作直線即可，即為所求；連接即可，直線即為所求．【題型7利用垂徑定理求平行弦問題】【答案】D【詳解】解；如圖所示，當平行弦，在圓心的同側時，如圖所示，當平行弦，在圓心的異側時，故選：D．32．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【答案】C【分析】先根據垂徑定理和勾股定理求出OE的長，再根據垂徑定理求出CF，即可得出結論.【詳解】如圖作OE⊥AB于點E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OEEF=0.80.2=0.6m∴CD=1.6m故選C【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵.【答案】7或【分析】過圓心作兩條平行線的垂線，根據垂徑定理分別在直角三角形中計算即可．【詳解】如圖，當兩條弦在圓心兩側時：AB、CD是⊙O的兩條平行弦，過圓心作MN分別垂直于AB、CD，故答案為：7或．【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理解直角三角形，熟練掌握垂徑定理并仔細計算是解題關鍵．34．已知圓的兩條平行弦分別長6dm和8dm，若這圓的半徑是5dm，則兩條平行弦之間的距離為．【答案】7dm或1dm【分析】如圖，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，過O點作OE⊥AB于E，交CD于F點，連OA、OC，根據垂徑定理得AE＝BE＝AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，則EF⊥CD，根據垂徑定理得CF＝FD＝CD＝4，然后利用勾股定理可計算出OE＝4，OF＝3，再進行討論：當圓心O在AB與CD之間時，AB與CD的距離＝OE＋OF；當圓心O不在AB與CD之間時，AB與CD的距離＝OE?OF．【詳解】解：如圖，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，過O點作OE⊥AB于E，交CD于F點，連OA、OC，∴AE＝BE＝AB＝3，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴CF＝FD＝CD＝4，在Rt△OAE中，OA＝5dm同理可得OF＝3，當圓心O在AB與CD之間時，AB與CD的距離＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；當圓心O不在AB與CD之間時，AB與CD的距離＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．故答案為7dm或1dm．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側；②弦AB和CD在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦AB和CD在圓心同側時，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當弦AB和CD在圓心異側時，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關鍵，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．【題型8利用垂徑定理求同心圓問題】A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】B【分析】根據圖形作線段和的垂直平分線，兩線的交點即為圓心，根據圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段和的垂直平分線，交于點E，即為弧的圓心，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質，坐標與圖形性質的應用．37．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AB=2AC=.故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.【答案】故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．【答案】16【分析】過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD，根據面積之間的關系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大，過點D作AO邊上的高h，根據垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結論．【詳解】解：過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據垂徑定理可得：點P和點N分別為AB和CD的中點，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大過點D作AO邊上的高h，根據垂線段最短可得h≤OD（當且僅當OD⊥OA時，取等號）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關系推導面積關系和垂線段最短是解決此題的關鍵．【答案】(1)見解析【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；由垂徑定理，得：【拓展訓練一垂徑定理與角度結合的計算】A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．故選：D．【答案】/90度，，10構成直角三角形，10是斜邊，故答案為：．【答案】30【詳解】解：如圖，連接，，，．故答案為：30，．【點睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，30度直角三角形的性質，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的判定及性質是解題的關鍵．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，三角形外角的性質等；掌握垂徑定理，線段垂直平分線的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，三角形外角的性質是解題的關鍵．（2）解：如圖，連接，的長等于的半徑，【答案】B故選：B．【拓展訓練二垂徑定理與三角形、四邊形結合的計算】A．21 B．22 C．23 D．24【答案】D故選：D．【答案】B故選：B．【答案】【詳解】解：如圖，延長交于，設圓心，連接，∵小魚圖案外輪廓是軸對稱圖形，∴垂直平分，∴圓的半徑是，故答案為：．【詳解】解：如圖，連接、，與相交于點，50．綜合與實踐：數學活動課上，某數學興趣小組對圓中的變換進行了如下探究．問題背景：問題遷移：（2）如圖2，在以點為圓心的兩個同心圓中，是大圓的弦，將平移一定的距離得到對應線段，若線段的兩個端點恰好在小圓上，連接，．問題拓展：（3）由題意，對稱軸經過圓心，∴翻折后的線段對應點仍然在大圓上，再將沿方向平移個單位，所得圖形如圖1和圖2，【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質，軸對稱等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．【拓展訓練三垂徑定理實際問題的綜合】(1)計算橋拱圓弧所在圓的半徑；(2)需要提前增加貨物，至少需要增加120噸【分析】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，設橋拱圓弧所在圓的圓心為點，連接、，（2）解：如圖，設橋拱圓弧所在圓的圓心為點，連接、，連接交于點，需要提前增加貨物，答：要保證該貨輪安全通過大橋，需要提前增加貨物，至少需要增加120噸．(1)求拱門最高點到地面的距離；(2)現需要給房間內搬進一個直徑為的圓桌面（桌面的厚度忽略不計），已知搬桌面的兩名工人在搬運時所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過拱門．【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關鍵．(1)在圖①中，過點A作的切線；(2)在圖②中，作點P關于直徑所在直線的對稱點M；(3)在圖③中，已知點Q為上任意一點（不與點P重合），作點Q關于直徑所在直線的對稱點N．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查格點作圖，垂徑定理的應用及垂直平分線的性質，【詳解】（1）解：如圖所示，直線為所求；（2）解：如圖所示，點為所求；（3）解：如圖所示，點為所求．54．問題情境：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題解決：(2)求筒車水面的寬度；【答案】(1)(2)2米(3)米【分析】本題主要考查了垂徑定理的應用，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質：（1）根據題意可得每秒轉過，即可求解；【詳解】（1）解：∵筒車每旋轉一周用時120秒．（3）解：如圖，過點B、點A分別作的垂線，垂足分別為點E、D，即該盛水筒旋轉至B處時到水面的距離約為米．【答案】(1)的長為【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應用，勾股定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理．【詳解】（1）解：如圖，連接，【答案】A【分析】本題考查勾股定理和垂徑定理，關鍵是利用垂徑定理解答．∵垂直平分于點，∴點O，D，C三點共線，故答案為：A．2．（2324九年級上·浙江杭州·階段練習）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具．如圖，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點為運行軌道的最低點，則點到的距離等于（

）【答案】B【詳解】解：如圖，連接，連接交于點，故選：B．3．（2025·浙江衢州·一模）如圖，點O是正方形網格中的格點，點P，，，，是以O為圓心的圓與網格線的交點，直線m經過點O與點，則點P關于直線m的對稱點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理的應用，掌握垂徑定理的性質解題的關鍵．∵直線經過圓心，∴直線平分線段，∴點P關于直線m的對稱點是點，故選：D．4．（2425九年級上·浙江金華·階段練習）如圖，某橋的主橋拱呈圓弧形，跨度為，拱高為，則該橋主橋拱半徑約為（

）【答案】B故選：B．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理推論的應用，連接，，作與的垂直平分線，交于一點，根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，交點即為所求圓弧的圓心，掌握垂徑定理推論是解題的關鍵．【詳解】解：連接，，作與的垂直平分線，交于一點，根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，交點即為所求圓弧的圓心，如圖，故選：．A． B． C．3 D．4【答案】B故選：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，等角對等邊，直角三角形的兩個銳角互余等知識點，添加適當輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【答案】5故答案為：5【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．鍋蓋最低點到的距離是，故答案為：．【分析】本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質，根據點的坐標，畫出圖形，利用垂徑定理及中點坐標公式求出點的坐標即可．畫出圖形是解答本題的關鍵．由垂徑定理可知點的橫坐標為，縱坐標為，【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，全等三角形的性質和判定，熟練掌握全等三角形的性質和判定是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接、，連接并延長，交于，∴點M與點Q關于對稱，13．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖，點P是內一定點．(1)過點P作弦，使點P是的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；【答案】(1)作圖見詳解；【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理以及作圖，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．（2）解：過點P的所有弦中，直徑最長為20，與垂直的弦最短，連接，【分析】本題考查的是垂徑定理的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．（2）分水面在水面平行的直徑下方和水面在水面平行的直徑上方，兩種情況結合垂徑定理和勾股定理求解即可．（2）解：①當水面在與水面平行的直徑下方．【答案】(1)見解析(2)的半徑是【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（2）解：如圖，連接，設的半徑是r，∴的半徑是【答案】的長為4【詳解】解：∵E是弧的中點，∴的長為4．17．（2324九年級上·浙江紹興·期末）利用素材解決：《橋梁的設計》問題驅動設計方案方案一方案二設計類型圓弧型拋物線型任務