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文檔簡介

專題14.有理數的運算技巧預習目標……………………………..1題型探究……………………………..2TOC\o"13"\h\z\u題型1、湊整法 2題型2、拆項法 4題型3、分組法 6題型4、裂項相消法 8題型5、相互轉化法 11題型6、倒數法 13題型7、錯位相減法 16題型8、利用運算律進行簡算 20題型9、利用圖形進行簡算 22基礎通關 25拓展提優 32在有理數的運算中,若能根據題目的特征,采用適當的運算技巧,不但能化繁為簡,提高運算速度,提升運算的準確率,而且會使計算過程充滿樂趣。本專題重點介紹幾種有理數常用的運算技巧。題型1、湊整法【解題技巧】湊整法是數學運算中通過調整數字組合使其接近整十、整百等易計算的數值,從而簡化運算過程的技巧。核心思想?:通過拆分、重組或調整運算順序,使復雜的非整數值轉化為整十、整百等便于計算的整數,從而提升運算效率和準確性。1.?加減法湊整(中學階段主要運用分組湊整)?1)?拆補湊整?:調整某個加數使其接近整數,再通過補數修正結果。?例?:175+299=175+(3001)=474。2)?借數湊整?:通過借數調整被減數或減數。?例?:998+397+506=(998+2)+(397+3)+(5066)=1901。3)?分組湊整?:將能組合為整數的數分組計算。?例?:108063.5836.42=1080(63.58+36.42)=980。2.?乘法湊整?1)?分解因數?:利用乘法交換律、結合律拆分因數。?例?:125×25×32=(125×8)×(25×4)=1000×100=。2)?提取公因數(乘法分配律的逆用)?:適用于有相同因數的相關運算。?例?:99878×99+99878×99998×99878=99878×(99+99998)=99878×1000。例1.(2425七年級上·河北邢臺·階段練習)甲、乙兩人用簡便方法進行計算的過程如下所示,下列判斷正確的是(

)A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.只有甲正確D.只有乙正確例2.(2425七年級上·遼寧錦州·期中)用簡便方法計算變式3.(2024七年級上·江蘇·專題練習)用簡便方法計算:題型2、拆項法【解題技巧】拆項法是一種將帶分數或復雜分數表達式拆分為整數和真分數(或更簡單的分數組合)進行計算的方法。?分組優化?:利用加法結合律、乘法分配律等數學規則重組運算順序。上面這種方法叫拆項法.仿照上面的方法,請你計算:變式1.(2425七年級上·廣東深圳·階段練習)閱讀下面文字:______.上面這種方法叫拆項法.變式2.(2324七年級上·安徽合肥·期中)閱讀下題的計算方法題型3、分組法【解題技巧】觀察算式,找出算式分布規律,然后適當分組,利用結合律將相加和為整數的結合在一起簡化計算。基本運算中的分組策略1)?加減法的相鄰分組?:針對連續加減混合運算,優先將相鄰的數按固定規律分組,簡化計算。?示例?:計算

10099+9897+…+21

分析:每兩個相鄰數為一組:(10099)+(9897)+…+(21);每組結果為

1,共

50

組,總和為

50。2)等差數列與等比數列分組?:若數列由不同規律的分段組成,可拆分為多個子數列分別求和。例1.(2425七年級·浙江·階段練習)計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2021+2022A.0 B.﹣1 C.2024 D.2024變式1.(2324七年級·重慶·期末)1?3?5+7+9?11?13+15+?+20題型4、裂項相消法變式2.(2324七年級·浙江·階段練習)計算:202【解題技巧】?裂項相消法?是將分數表達式拆分為若干項的差值或和差形式,使得相鄰項在求和時發生抵消,從而快速簡化計算的策略。裂項相消法的核心是通過巧妙的代數變形,將復雜求和轉化為簡單抵消。掌握常見裂項公式和系數調整技巧,可快速解決分式、數列求和等問題,尤其在競賽和考試中能大幅提升效率。裂差型裂項的三大關鍵特征:(1)分子全部相同,最簡單形式為都是1的,復雜形式可為都是x(x為任意自然數)的,但是只要將x提取出來即可轉化為分子都是1的運算;(2)分母上均為幾個自然數的乘積形式,并且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”;(3)分母上幾個因數間的差是一個定值。裂和型運算與裂差型運算的對比:裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”,裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的,同時還有轉化為“分數湊整”型的,以達到簡化目的。例1.(2425七年級上·江蘇泰州·階段練習)觀察下列等式:()直接寫出下列各式的計算結果:變式2.(2324七年級上·江蘇揚州·階段練習)閱讀下列材料:這種求和方法稱為“裂項相消法”,請你參照此法計算:

題型5、相互轉化法【解題技巧】相互轉化法通過形式(分數、小數、百分數)統一、結構優化和單位整合,大幅提升計算效率。重點在于靈活選擇轉化路徑,并熟練運用運算定律(如分配律、結合律)進行簡化。例1.(2425七年級·福建廈門·階段練習)用簡便方法計算:變式1.(2425七年級上·黑龍江綏化·階段練習)計算(能簡算的要簡算)題型6、倒數法【解題技巧】倒數法通過取倒數或表達式的倒數,將復雜運算轉化為更易處理的形式。倒數法通過逆向轉化運算邏輯,顯著提升分數運算、方程求解及復雜問題的處理效率。重點在于靈活轉化運算形式(如除法→乘法、分母→分子),并結合分配律、方程變形等技巧綜合應用。例1.(2024七年級上·江蘇·專題練習)閱讀材料,回答問題.故原式.;解法三:原式的倒數為(1)上述三種解法得出的結果不同,肯定有解法是錯誤的,你認為解法___________是錯誤的(填序號)(1)請比較劉聰和張明兩位同學的解法,你喜歡哪位同學的解法?為什么?(1)前后兩部分之間存在著什么關系?(2)先計算哪部分比較簡單?請給予解答;(3)利用(1)中的關系,直接寫出另一部分的結果;(4)根據上述分析,求出原式的結果.題型7、錯位相減法【解題技巧】錯位相減法通過構造等比數列的和式與其公比倍數的錯位式,利用?中間項相消的特性簡化求和過程,最終導出等比數列前n項和的表達式。通過錯位相減法,可直觀理解等比數列求和的數學本質,并確保公式推導的邏輯嚴密性。實際應用中,直接套用閉合公式可高效解題,但推導過程需熟練掌握。例1.(2025·安徽·一模)【閱讀材料】數列是一個古老的數學課題,我國對數列概念的認識很早,例如《易傳?系辭》:“河出圖,洛出書,圣人則之;兩儀生四象,四象生八卦”.這是世界數學史上有關等比數列的最早文字記載.【問題提出】求等比數列1+a1+a2+a3+…+an的值(a>0,且a≠1,n是正整數,請寫出計算過程).【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項.排在第一位的數稱為第一項,記為a1,排在第二位的數稱為第二項,記為a2,依此類推,排在第n位的數稱為第n項,記為an.所以,數列的一般形式可以寫成:a1,a2,a3,…,an,….一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它前一項的比值等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用q表示.如:數列1,2,4,8,…為等比數列,其中a1=1,a2=2,公比為q=2.根據以上材料,解答下列問題:(1)等比數列3,9,27,…的公比q為_____,第5項是_____.【公式推導】如果一個數列a1,a2,a3,…,an…,是等比數列,且公比為q,那么根據定義可得到:=q,=q,=q,…,=q.所以a2=a1?q,a3=a2?q=a1q?q=a1?q2,a4=a3?q=a1?q2=a1?q3,…(2)由此,請你填空完成等比數列的通項公式:an=a1?(_____).【拓廣探究】等比數列求和公式并不復雜,但是其推導過程——錯位相減法,構思精巧、形式奇特.歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數列前n項和公式,而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數學基礎》中給出,時間相差兩千多年.下面是小明為了計算1+2+22+…+22019+22020的值,采用的方法:設S=1+2+22+…+22019+22020①,則2S=2+22+…+22020+22021②,②①得2SS=S=220211,∴S=1+2+22+…+22019+22020=220211.【解決問題】(3)請仿照小明的方法求等比數列1+a1+a2+a3+…+an的值(a>0,且a≠1,n是正整數,請寫出計算過程).【拓展應用】(4)計算25+252+253+…+25n的值為_____.(直接寫出結果)通過閱讀,你一定學到了一種解決問題的方法.【新方法生成】將一個邊長為1的正方形紙片分割成若干個部分,請利用數形結合的思想解決下列問題:

變式2.(2425七年級上·廣東深圳·期中)《莊子?天下》:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”意思是說:一尺長的木棍,每天截掉一半,永遠也截不完.我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數學極限思想,探究課上,同學們運用此數學思想研究下列問題.“聰慧組”的同學將一個邊長為1的正方形紙片分割成若干個部分,并用數形結合的思想解決下列問題(1)請按照“聰慧組”同學的思路填空(2)為了證明“聰慧組”同學得到的結論,“明辨組”的同學采用了以下方法進行證明,請將證明過程補充完整.通過閱讀,你一定學到了多種解決問題的方法.題型8、利用運算律進行簡算運算律法:?變運用運算律改變運算順序;通過改變運算順序,簡化計算步驟。?逆正難則反,逆用運算律改變次序?:通過逆用運算律,解決復雜問題。例1.(2425七年級上·北京朝陽·階段練習)計算(能用簡便方法的用簡便方法)題型9、利用圖形進行簡算【解題技巧】利用圖形進行簡便運算的方法,通常被稱為?圖形法?或?幾何法?。這種方法通過將數學問題轉化為圖形問題,利用圖形的直觀性和幾何性質來簡化運算過程。需要注意的是,雖然圖形法可以簡化運算過程并提高解題效率,但在使用時應確保圖形的準確性和規范性。此外,對于一些特殊問題或復雜情況,可能需要結合其他數學方法或工具來共同求解。1.(2324七年級·山西太原·階段練習)計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為(

)A.0 B.﹣1 C.2020 D.2020上面這種方法叫拆項法.5.(2425七年級上·安徽合肥·階段練習)用簡便方法計算:11.(2324七年級上·浙江金華·階段練習)用簡便方法計算:12.(2024七年級上·廣東·專題練習)用簡便方法計算:4.(2425·遼寧·七年級專題練習)計算題。6.(2425七年級上·四川成都·階段練習)(1)請你觀察:以上方法稱為“裂項相消求和法”(2).閱讀下面文字:上面這種方法叫拆項法;7.(2425·湖北七年級專題練習)計算:8.(2425·遼寧·七年級專題練習)計算題。9.(2425七年級上·江蘇揚州·期中)我國著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微”.因此我們解決有關“數”的問題時,可以借助“形”,讓問題變的直觀.【教材回顧】選自新版蘇科版教材第頁(1)根據情境中的等量關系列出一個等式:如圖,一張正方形紙片被分割成四個部分.【習題拓展】選自配套教輔《學習與評價》第頁(2)如圖2,將一個邊長為的正方形紙片分割成個部分,部分①的面積是邊長為的正方形紙片面積的一半,部分②的面積是部分①面積的一半,部分③的面積是部分②面積的一半,…以此類推.10.(2425七年級上·山東青島·期中)曹沖稱象是我國歷史上著名的故事,大家都說曹沖聰明.他到底聰明在何處呢?我們都知道,曹沖稱得是石塊而不是大象,并且確信,石塊的質量就是大象的體重.曹沖的聰明就在于,他用化歸思想將問題轉變了;借助于船這種工具,將大象的體重轉變為一塊塊石塊的重量.轉變就是化歸的實質.化歸不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數學思維方式.從字面上看,化歸就是轉化和歸結的意思.例如:我們在七年級數學上冊第二章中引入“相反數”這個概念后,正負數的減法就化歸為已經解決的正負數的加法了;而引入“倒數”這個概念后,正負數的除法就化歸為已經解決的正負數的乘法了.探究問題:

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