思維導(dǎo)圖第03講一元二次方程和一元二次方程的解法思維導(dǎo)圖一、一元二次方程的定義整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程。二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0），其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。三、一元二次方程的根能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解（或根）。一、直接開平方法用直接開平方求解一元二次方程的方法。這種方法適用于形如x2=a（a≥0）的方程，或者方程的一邊是含未知數(shù)的完全平方，另一邊是非負數(shù)的情況。二、因式分解法把方程變形為一邊是零，另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種方法的關(guān)鍵在于對二次三項式進行因式分解。三、配方法通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從而可以直接開平方求解。這種方法適用于所有的一元二次方程，但操作相對復(fù)雜。四、公式法五、一元二次方程根的判別式對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），其判別式為Δ=b24ac。判別式的值決定了方程的根的性質(zhì)：1.若Δ>0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根。2.若Δ=0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，也即一個實數(shù)重根。3.若Δ<0，則方程無實數(shù)根，但有共軛復(fù)數(shù)根。六、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），設(shè)其兩個根為x?和x?，則有：x?+x?=，即兩根之和等于一次項系數(shù)（取反）除以二次項系數(shù)。x?x?=，即兩根之積等于常數(shù)項系數(shù)除以二次項系數(shù)。這兩個關(guān)系式就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也被稱為韋達定理。教材習(xí)題01∴該方程的二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．教材習(xí)題02教材習(xí)題03教材習(xí)題04教材習(xí)題05教材習(xí)題06(1)若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；(2)若方程的兩個根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．（1）解：∵方程有實數(shù)根，∴正整數(shù)的值為1，2，3．∴正整數(shù)的值是3．教材習(xí)題07請根據(jù)上述材料解決下面問題：故答案為：1，；故答案為：；此情況舍去；此情況符合題意；∴k的值為，考點一、一元二次方程的定義1．下列方程屬于一元二次方程的是（）【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義，逐項分析判斷即可求解，一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．故選：C．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義．根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程進行解答即可．故答案為：．(1)為何值時，此方程是一元一次方程？(2)為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)及常數(shù)項．【分析】此題考查了一元二次方程以及一元一次方程的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．（1）利用一元一次方程的定義判斷即可；（2）利用一元二次方程的定義判斷確定出m的值，進而確定出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項即可．【詳解】（1）解：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．考點二、一元二次方程的解求參A． B．2 C． D．6【答案】A故選：A．【答案】故答案為：．(1)求的值；【分析】本題考查了一元二次方程的根、分式的化簡與求值，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（2）利用分式的運算法則化簡式子，再代值計算即可．考點三、一元二次方程的一般形式A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B則，，的值分別是，，．故選：B．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數(shù)等知識點，注意：找多項式的項或項的系數(shù)時，帶著前面的符號．根據(jù)一元二次方程的一般形式得出答案即可．∴一次項的系數(shù)為，故答案為：．(1)當(dāng)為何值時，此方程是一元一次方程？(2)當(dāng)為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【分析】本題考查了一元二次方程，一元一次方程的定義；熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次項系數(shù)等于零，一次項系數(shù)不等于零時是一元一次方程，可得答案；（2）根據(jù)二次項系數(shù)不等于零是一元二次方程，可得答案．考點四、一元二次方程的解法——直接開平方法【答案】A【分析】該題考查了解一元二次方程，直接對方程的右邊開平方即可．故選：A．【分析】本題考查了解一元二次方程，移項后，直接開方法即可求解．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用直接開方法解一元二次方程即可．考點五、一元二次方程的解法——因式分解法【答案】D故選：D【分析】本題主要考查了解一元二次方程，提出公因式x，得到兩個因式乘積的形式，即可得解．【分析】本題考查解一元二次方程，移項后，利用因式分解法解方程即可．熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．考點六、一元二次方程的解法——配方法【答案】D【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．先化二次項系數(shù)為，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到、的值．故選：D．【答案】配方【分析】本題考查了利用配方法解一元二次方程，正確理解題意、熟練掌握配方的方法是關(guān)鍵．根據(jù)配方法的解題步驟即可求解．這是采用了配方法解一元二次方程，故答案為：配方．3．解方程．【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的一般方法（直接開平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根據(jù)具體情況選擇合適的方法求解．考點七、一元二次方程的解法——公式法【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，牢記一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．故選：D．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程公式法，利用求根公式判斷求解即可．故答案為：．3．解方程：【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．考點八、根的判別式A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C故選：C．【答案】9故答案為：9．(1)求的取值范圍；【分析】本題考查了根的判別式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情況與跟的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關(guān)于的不等式，則可求得的取值范圍；（2）由方程根的定義，可用表示出，代入已知等式可得到關(guān)于的方程，則可求得的取值范圍．（2）解：是方程的一個實數(shù)根，考點九、韋達定理【答案】A故選：A．【答案】故答案為：．(1)判斷方程根的情況，并說明理由．【答案】(1)方程總有兩個不相等的實數(shù)根．理由見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；【詳解】（1）方程總有兩個不相等的實數(shù)根．原方程為一元二次方程．方程總有兩個不相等的實數(shù)根．考點十、一元二次方程的估算x0125【答案】A故選：A．x11.11.21314.4115.84【詳解】解：由題意得x11.11.21314.4115.843．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分不可能全部寫出來．材料一：估算法確定無理數(shù)的小數(shù)部分．∴的整數(shù)部分為，材料二：面積法求一個無理數(shù)的近似值，已知面積為的正方形的邊長是，解決問題：(2)請總結(jié)估算（為開方開不盡的數(shù)）的一般方法．【分析】（）利用材料二中的方法畫出圖形，寫出過程即可；（）根據(jù)材料二即可總結(jié)得出；本題考查了解一元二次方程，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是理解題目給出的方法，熟練進行計算．【詳解】（1）解：（）我們知道面積是的正方形的邊長是，∵是的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略，知識導(dǎo)圖記憶1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟練掌握一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可得．故選：A．【答案】B【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的基本步驟及方法是解題的關(guān)鍵．先移項，再給方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方即可得出結(jié)果．故選：B．A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確計算常數(shù)項為0的值，利用一元二次方程的定義判斷即可．故選：B．【答案】D故選：D．A．2022 B．2024 C．2025 D．2028【答案】A故選：A．【答案】故答案為：．【答案】3則原方程可變形為：故答案為：3．（1）下列方程是“自然方程”的是（填序號）【答案】②④0或2【分析】（1）利用因式分解法或直接開平方法解方程，然后計算每個方程的兩根之差的絕對值，然后根據(jù)“自然方程”進行判斷；故答案為：②④；故答案為：0或2．11．將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本題的關(guān)鍵；（1）先移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（2）先去括號，再移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（3）先移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為0．12．解方程：【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)化簡P；【分析】本題考查分式得化簡求值、方程的解，正確化簡分式P是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的加減混合運算法則和運算順序化簡分式P即可；14．解下列方程．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常