第02章有理數的運算章節（14知識點回顧+34題型練習）題型匯聚題型匯聚題型一有理數加法運算題型二有理數加法中的符號問題題型三有理數加法在生活中的應用題型四有理數加法運算律題型五有理數的減法運算題型六有理數減法的實際應用題型七有理數的加減混合運算題型八有理數加減中的簡便運算題型九有理數加減混合運算的應用題型十省略加法和括號的形式題型十一兩個有理數的乘法運算題型十二多個有理數的乘法運算題型十三有理數乘法的實際應用題型十四倒數題型十五有理數乘法運算律題型十六有理數的除法運算題型十七有理數除法的應用題型十八有理數乘除混合運算題型十九有理數四則混合運算題型二十有理數四則混合運算的實際應用題型二十一根據點在數軸的位置判斷式子的正負題型二十二有理數冪的概念理解題型二十三有理數的乘方運算題型二十四乘方運算的符號規律題型二十五乘方的應用題型二十六用科學記數法表示絕對值大于1的數題型二十七將用科學記數法表示的數變回原數題型二十八程序流程圖與有理數計算題型二十九算“24”點題型三十含乘方的有理數混合運算題型三十一求一個數的近似數題型三十二求近似數的精確度題型三十三近似數推斷取值范圍題型三十四計算器——有理數知識清單知識清單知識點1．有理數的加法（1）有理數加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0．③一個數同0相加，仍得這個數．（在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關運算律交換律：a+b＝b+a；結合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知識點2．有理數的減法（1）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數的符號；②將有理數轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數的性質符號（減數變相反數）；【注意】：在有理數減法運算時，被減數與減數的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數都不變，0減任何數應依法則進行計算．知識點3．有理數的加減混合運算（1）有理數加減混合運算的方法：有理數加減法統一成加法．（2）方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據有理數減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的形式．②轉化成省略括號的代數和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．知識點4．有理數的乘法（1）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．（2）任何數同零相乘，都得0．（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．（4）方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數相乘，看0因數和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．知識點5．倒數（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數．一般地，a?＝1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數是．（2）方法指引：①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數一樣，非常重要．倒數是伴隨著除法運算而產生的．②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同．【規律方法】求相反數、倒數的方法求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“﹣”即可求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置注意：0沒有倒數．知識點6．有理數的除法（1）有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．（2）有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．知識點7．有理數的乘方（1）有理數乘方的定義：求n個相同因數積的運算，叫做乘方．乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數，n叫做指數．an讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0．（3）方法指引：①有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．知識點8．非負數的性質：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．知識點9．有理數的混合運算（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．知識點10．近似數和有效數字（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．（3）規律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．知識點11．科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．知識點12．科學記數法—表示較小的數用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【規律方法】用科學記數法表示有理數x的規律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數的位數﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數字前所有0的個數（含小數點前的0）知識點13．科學記數法—原數（1）科學記數法a×10n表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所得到的數．若科學記數法表示較小的數a×10﹣n，還原為原來的數，需要把a的小數點向左移動n位得到原數．（2）把一個數表示成科學記數法的形式及把科學記數法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學記數法表示一個數是否正確的方法．知識點14．計算器—有理數計算器包括標準型和科學型兩種，其中科學型使用方法如下：（1）鍵入數字時，按下相應的數字鍵，如果按錯可用（DEL）鍵消去一次數值，再重新輸入正確的數字．（2）直接輸入數字后，按下對應的功能鍵，進行第一功能相應的計算．（3）按下（﹣）鍵可輸入負數，即先輸入（﹣）號再輸入數值．（4）開方運算按用到乘方運算鍵x2的第二功能鍵”和的第二功能鍵“”．（5）對于開平方運算的按鍵順序是：2ndfx2被開方數ENTE或直接按鍵，再輸入數字后按“＝”即可．（6）對于開立方運算的按鍵順序是：32ndf∧被開方數ENTE或直接按x3，再輸入數字后按“＝”即可注意：由于計算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進行操作．題型練習題型練習題型一有理數加法運算【答案】A【知識點】正負數的實際應用、有理數加法運算【分析】本題主要考查了正負數的實際應用，由圖1可以看出白色表示正數，黑色表示負數是解題的關鍵．先由圖1可得白色表示正數，黑色表示負數，然后觀察圖2列式即可．【詳解】解：由圖1知：白色表示正數，黑色表示負數，故選：A．2．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：【答案】(1)(2)(4)【知識點】有理數加法運算【分析】本題考查有理數的加法，解題的關鍵是掌握有理數的加法法則．（1）根據同號兩個數的加法法則計算即可；（2）根據異號兩個數的加法法則計算即可；（3）零加任何數等于這個數本身；（4）互為相反數的兩個數相加為零．．題型二有理數加法中的符號問題【答案】D【知識點】有理數加法中的符號問題故選：D．題型三有理數加法在生活中的應用【答案】D【知識點】有理數加法在生活中的應用、正負數的實際應用∴D選項不合格．故選：D．題型四有理數加法運算律5．（2425七年級上·浙江金華·期中）計算【答案】(1)32(2)【知識點】有理數加法運算律、有理數加法運算【分析】本題主要考查有理數的加法運算，熟練掌握有理數的加法運算是解題的關鍵；（1）根據有理數的加法法則可進行求解；（2）根據有理數的加法交換律和結合律可進行求解．題型五有理數的減法運算【答案】D【知識點】絕對值的幾何意義、有理數的減法運算【分析】本題考查絕對值，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．根據絕對值的性質解答即可．故選：D．7．（2425七年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，在一條不完整的數軸上從左到右依次有A，B，C三個點，其中A到B的距離為3，B到C的距離為8．(1)若以B為原點，則數軸上點A所表示的數是______，點C所表示的數是______．(2)記A，B，C所對應的數的和為m，原點到B的距離為2，求m的值．【答案】(1)，8；(2)或11【知識點】用數軸上的點表示有理數、數軸上兩點之間的距離、有理數加法運算、有理數的減法運算【分析】本題主要考查了數軸上兩點距離，有理數的加減法：（1）根據數軸上兩點距離計算公式求解即可；（2）分原點在點B右側和左側兩種情況，分別求出點A，點B，點C表示的數，然后求和即可得到答案．【詳解】（1）解：∵A到B的距離為3，B到C的距離為8，故答案為：，8；（2）解：當原點在點B右側時，∵原點到點B的距離為2，當原點在點B左側時，∵原點到點B的距離為2，綜上所述，m的值為或11．題型六有理數減法的實際應用8．（2425七年級上·浙江寧波·期末）已知甲地海拔為120米，乙地海拔為米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正確的是（

）【答案】B【知識點】有理數減法的實際應用【分析】本題主要考查了有理數的減法及正數和負數，根據甲地的海拔高度減乙地的海拔高度，直接列式即可．故選：B．題型七有理數的加減混合運算【知識點】有理數的加減混合運算【分析】本題考查了有理數加減混合運算，由有理數加減法則去括號，即可求解；理解有理數加減法則是解題的關鍵．題型八有理數加減中的簡便運算10．（2324七年級上·浙江衢州·期中）計算：【答案】(1)4(2)【知識點】有理數加法運算、有理數加減中的簡便運算【分析】本題主要考查有理數的加減運算，熟練掌握有理數的加減運算是解題的關鍵；（1）根據有理數的加法運算可進行求解；（2）根據有理數的加減運算可進行求解．題型九有理數加減混合運算的應用11．（2425七年級上·浙江溫州·期中）某自行車廠計劃一周生產700輛自行車，平均每天生產100輛，由于各種原因實際每天生產量與計劃量相比有出入，下表是某周的生產情況（超產為正，減產為負，單位：輛）．星期一二三四五六日增減(1)產量最多的一天比產量最少的一天多生產多少輛？(2)該廠實行計件工資制度，每輛車80元，一周結束超額完成任務時，超出部分每輛車獎20元，少生產一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【答案】(1)20輛(2)56900元【知識點】正負數的實際應用、有理數加減混合運算的應用【分析】本題考查正數和負數及有理數運算的實際應用，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．（1）根據正數和負數的實際意義列式計算即可；（2）根據正數和負數的實際意義求得實際生產自行車的數量，然后根據已知條件列式計算即可．即產量最多的一天比產量最少的一天多生產20輛；即該廠工人這一周的工資總額為56900元．題型十省略加法和括號的形式【答案】D【知識點】省略加法和括號的形式【分析】本題考查了省略加法和括號的形式，熟練掌握去括號法則是解題的關鍵．利用去括號法則省略括號后即可得出答案．故選：D．題型十一兩個有理數的乘法運算【答案】【知識點】兩個有理數的乘法運算【分析】本題主要考查有理數的乘法運算，熟練掌握有理數的乘法運算是解題的關鍵；因此此題可根據有理數的乘法可進行求解故答案為．14．（2425七年級上·浙江寧波·期中）有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列說法正確的是（

）【答案】D【知識點】利用數軸比較有理數的大小、根據點在數軸的位置判斷式子的正負、有理數的減法運算、兩個有理數的乘法運算故只有選項D符合題意，故選：D．題型十二多個有理數的乘法運算15．（2425七年級上·浙江溫州·期中）已知a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則下列結論正確的是（

）【答案】B【知識點】根據點在數軸的位置判斷式子的正負、有理數的減法運算、多個有理數的乘法運算故選B．題型十三有理數乘法的實際應用16．（2425七年級上·浙江紹興·開學考試）甲乙兩人環湖跑，甲從A點、乙從點同時出發反向而行，8分鐘后兩人在途中相遇．又經過6分鐘甲到達點，又過10分鐘兩人再次相遇，甲環湖跑一圈需要多少分鐘？【答案】28分鐘【知識點】有理數加法在生活中的應用、有理數乘法的實際應用【分析】本題考查環形相遇問題，首先理清兩人共行的路程及所用時間，然后求解即可．∵甲從A點出發，8分鐘后兩人在途中第一次相遇，∴兩人共行半圈，則A、B兩點相距半圈，題型十四倒數17．（2425七年級上·浙江金華·階段練習）的相反數是，3的倒數是．【答案】4【知識點】倒數、相反數的定義【分析】本題考查了相反數、倒數，根據只有符號不同的兩個數互為相反數以及倒數的定義求解即可．【詳解】解：的相反數是，3的倒數是，故答案為：，．題型十五有理數乘法運算律18．（2324七年級上·浙江寧波·期中）計算：【答案】(1)0(2)27【知識點】有理數的加減混合運算、有理數乘法運算律【分析】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）根據有理數加減混合運算法則把原式變為省略加號和括號的形式計算即可；（2）利用乘法分配律進行計算即可．；題型十六有理數的除法運算19．（2425七年級上·浙江杭州·期中）下列說法中，正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【知識點】數軸上兩點之間的距離、絕對值的幾何意義、多個有理數的乘法運算、有理數的除法運算∵A、B、C三點在數軸上對應的數分別是、6、x，若相鄰兩點的距離相等故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的化簡、數軸上兩點間的距離公式，有理數的運算等知識點．熟記相關結論是解題關鍵．題型十七有理數除法的應用20．（2425七年級上·浙江嘉興·期中）一只烏龜從M點出發，在一條水平直線上來回爬行．記向右爬行為正，向左爬行為負，爬行的路程依次為（單位：米），，，，，．(1)通過計算說明烏龜是否回到起點．(2)若烏龜爬行的速度為2米/分，則烏龜共爬行了多少時間？【答案】(1)可以回到起點，計算見解析(2)22分鐘【知識點】正負數的實際應用、絕對值的幾何意義、有理數加法在生活中的應用、有理數除法的應用【分析】本題考查了正負數的實際應用及有理數加法及絕對值的應用，掌握相反意義的量及有理數加法的運算法則是解題的關鍵．（1）根據相反意義的量，利用有理數的加法運算法則即可；（2）根據速度、時間和路程之間的數量關系即可；，所以，烏龜可以回到起點．所以，烏龜共爬行了22分鐘．題型十八有理數乘除混合運算(1)經過8段行駛里程，“小白”的位置在哪里？(2)若每行駛100千米“小白”的耗電量是4度，則總耗電量是多少？【答案】(1)在快遞公司西邊6千米(2)1.52度【知識點】有理數乘除混合運算、有理數加法在生活中的應用、正負數的實際應用【分析】本題主要考查了有理數的加法運算、乘除法運算以及正負數的實際應用．（1）根據題意列出算式求出結果，再根據結果判斷即可；（2）將題干中的數據的絕對值相加算出總的路程，再根據題意即可列出算式求解即可．∴“小白”的位置在快遞公司西邊6千米；答：總耗電量是1.52度．題型十九有理數四則混合運算【答案】(1)(2)(3)3或【知識點】有理數四則混合運算、多個有理數的乘法運算、有理數加法運算、帶有字母的絕對值化簡問題【分析】本題主要考查了化簡絕對值，有理數的混合計算：（1）先計算a、b的絕對值，再計算除法，最后計算加法即可；故答案為：；∴a、b異號，∴a、b、c中一負兩正，題型二十有理數四則混合運算的實際應用【知識點】有理數四則混合運算的實際應用【分析】本題考查有理數的混合運算，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．根據題意列式計算即可．題型二十一根據點在數軸的位置判斷式子的正負24．（2425七年級上·浙江杭州·期末）有理數，，在數軸上對應的點如圖所示，則下列判斷正確的是（

）【答案】D【知識點】根據點在數軸的位置判斷式子的正負、利用數軸比較有理數的大小【分析】本題主要考查了在數軸上比較有理數的大小，所以A，B，C不正確，D正確．故選：D．題型二十二有理數冪的概念理解【答案】11【知識點】有理數冪的概念理解【分析】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義以及運算法則是解題的關鍵．在中，叫做底數，叫做指數，由此判斷計算即可．的底數是，值為；故答案為：，；，．題型二十三有理數的乘方運算26．（2425七年級上·浙江溫州·階段練習）下列各組數中，相等的一組是（

）【答案】D【知識點】有理數的乘方運算、化簡多重符號、求一個數的絕對值【分析】本題考查了有理數的乘方運算以及化簡多重符號與絕對值，正確的計算是解題的關鍵，分別計算各數，即可求解．故選：D．題型二十四乘方運算的符號規律A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【知識點】用數軸上的點表示有理數、有理數的乘方運算、乘方運算的符號規律【分析】本題主要考查數軸上點的分布與數的正負性，冪的符號法則．在數軸上，原點右邊的點表示的數是正數，原點左邊的點表示的數是負數，原點為0．正數的任何次冪都是正數，負數的偶次冪為正數，負數的奇次冪是負數．熟練掌握冪的符號法則是解決本題的關鍵．確定題目中給出每個數的正負性即可回答此題．∴在數軸上所對應的點一定在原點右邊的數是，共1個，故選：A．題型二十五乘方的應用28．（2024七年級上·浙江·專題練習）一根長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，這樣剪下去，剪第2023次后剩下的繩子的長度為（）【答案】C【知識點】乘方的應用【詳解】解：第一次后剩下原長的；……故選：C．題型二十六用科學記數法表示絕對值大于1的數29．（2425七年級上·浙江溫州·期末）基站是網絡的核心設備，實現有線通信網絡與無線終端之間的無線信號傳輸．截至2024年12月底，我國基站總數突破個，數據用科學記數法可表示為（

）【答案】B【知識點】用科學記數法表示絕對值大于1的數故選：B．題型二十七將用科學記數法表示的數變回原數30．（2425七年級上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（

）A．近似數0.30精確到0.1；B．近似數1.6所表示數的范圍是大于等于1.55小于1.64；C．有理數3928精確到百位是3900；【答案】D【知識點】將用科學記數法表示的數變回原數【分析】本題考查了科學記數法與有效數字以及有理數大小比較，掌握近似數的定義是解答本題的關鍵．根據近似數的定義，科學記數法的表示方法以及有理數大小比較方法解答即可．【詳解】解：A．近似數0.30精確到0.01，故本選項不符合題意；B．近似數1.6所表示數的范圍是大于等于1.55小于1.65，故本選項不符合題意；故選：D．題型二十八程序流程圖與有理數計算31．（2425七年級上·浙江臺州·期末）對正整數n反復進行下列兩種運算：①若n是偶數，就除以2；②若n是奇數，就乘以3加1．例如：正整數6經過一次操作后的結果是3，經過兩次操作后的結果是10．若某正整數m經過4次操作后的結果是2，則正整數m的值是．【答案】32或5/5或32【知識點】程序流程圖與有理數計算【分析】本題考查了有理數的混合運算，從最后一步向前進行計算：因為計算的結果應是奇數或偶數，所以分數不符合題意；根據題中的運算，計算的結果是奇數，應是乘以3加上1得到的，結果是偶數，則是除以2得到的，根據上述的要求來進行解答即可，解題的關鍵是根據題中的運算要求來進行解答．故正整數的值是32或5．故答案為：32或5．A． B． C． D．【答案】C【知識點】程序流程圖與有理數計算、有理數四則混合運算的實際應用……，∴從第四次開始，每兩次輸出為一個循環，故選：C．題型二十九算“24”點【知識點】算“24”點34．（2425七年級上·浙江溫州·期中）有一種算“24點”的游戲，其游戲規則如下：取四個數，將這四個數（每個數只能用一次）進行加減乘除運算，使其結果等于24．現有四個有理數：3，4，，10，運用上述規則，下列算式中不正確的是（

）【答案】A【知識點】算“24”點、有理數四則混合運算【分析】本題考查了有理數的混合運算，根據有理數的運算法則逐項計算可得答案．故選A．題型三十含乘方的有理數混合運算(1)以上計算過程中，方方開始出錯的是第______步，圓圓開始出錯的是第______步；(2)寫出你的計算過程．【答案】(1)②；①(2)見解析【知識點】含乘方的有理數混合運算【分析】本題主要考查含乘方的有理數混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；（1）根據題意可直接進行求解；（2）根據含乘方的有理數混合運算可進行求解．【詳解】（1）解：以上計算過程中，方方開始出錯的是第②步，圓圓開始出錯的是第①步，故答案為：②，①；題型三十一求一個數的近似數【答案】【知識點