1.2空間向量基本定理教學設計1.教學內容本節課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章“空間向量與立體幾何”1.2空間向量基本定理，內容包括：空間向量基本定理的表述，即任意空間向量可由三個不共面向量唯一線性表示；基底與基向量的概念，強調基底不唯一且基向量非零；定理的應用，如用基底表示其他向量、證明線線平行/垂直及求異面直線夾角；正交分解的引入，即特殊基底下向量的分解方法.通過定理學習，培養學生空間想象、邏輯推理及數學運算能力，為后續坐標運算及立體幾何問題解決奠定基礎.2.內容解析本節課以空間向量基本定理為核心，通過定理推導與實例分析，引導學生理解“任意空間向量可由三個不共面向量唯一表示”的本質.教學中需突破兩大難點：一是基底的選擇與意義，強調基底不唯一但需滿足不共面條件，通過對比不同基底下的向量表示，深化學生對基底作用的理解；二是定理的應用，結合例題訓練學生用基底表示向量，掌握“設基→分解→運算”的解題步驟，并遷移至立體幾何問題，如通過向量運算證明線線關系或求解夾角.此外，引入正交分解思想，為后續坐標運算鋪路.重點環節需設計分層任務，從定理驗證到綜合應用逐步深入，輔以變式練習突破難點，同時關注學生空間想象能力的培養，為后續學習奠定堅實基礎.基于以上分析，確定本節課的教學重點為：掌握空間向量基本定理，理解基底意義，熟練應用定理表示向量及解決立體幾何問題，初步體會正交分解思想.1.教學目標（1）了解空間向量基本定理及其意義，培養數學抽象的核心素養.（2）掌握空間向量的正交分解，培養數學抽象的核心素養.（3）掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法，提升邏輯推理的核心素養.（4）能根據問題背景恰當選擇基底表示相關向量，能運用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題，并在此過程中，感悟聯系的觀點和類比的方法，體會轉化與化歸、數形結合等數學思想.2.目標解析（1）教學中需通過幾何直觀（如長方體模型）與代數推導相結合，引導學生從平面向量類比遷移，抽象出定理的本質.通過對比不同基底下的向量表示，突破“基底不唯一但需不共面”的認知難點，培養數學抽象素養，即從具體情境中提煉共性、形成概念的能力.?（2）教學中需通過實例（如長方體對角線分解）展示正交基底的優勢，引導學生將幾何問題（如長度、夾角）轉化為代數運算（如坐標計算）.通過對比非正交基底與正交基底的運算復雜度，深化學生對“數學抽象簡化問題”的理解，培養從復雜問題中提取關鍵結構的抽象能力.?（3）教學中需設計分層任務：從給定基底表示向量，到自主選擇基底解決問題，逐步提升邏輯推理能力.通過例題（如證明線線平行）訓練學生用基底表示向量關系，強調系數比例與向量共線的邏輯關聯，培養符號化表達與演繹推理的核心素養.（4）教學中需創設問題情境（如異面直線夾角求解），引導學生根據問題特征選擇合適基底（如正交基底簡化計算），體會“化歸”思想.通過對比向量法與綜合幾何法的優劣，感悟數形結合的魅力.同時，通過定理推導過程的回顧，強化類比（平面向量→空間向量）與聯系的觀點，提升學生運用數學思想解決實際問題的能力.學生已掌握平面向量基本定理及立體幾何初步知識（如異面直線、線面關系），能進行向量加減與數乘運算，并具備用向量解決簡單幾何問題的經驗.但空間想象能力存在個體差異，對“不共面”條件的幾何直觀理解不足，易將平面經驗直接遷移導致認知沖突（如誤認為任意三向量均可作基底）.此外，將定理應用于立體幾何問題（如夾角求解、線線關系證明）時，可能面臨“向量表示與幾何特征轉化”的思維斷層.解決方法：1、直觀建模突破抽象認知：借助三維坐標系模型或動態軟件演示，通過長方體對角線分解等實例，幫助學生建立“不共面基底張成空間”的幾何直觀，對比平面基底強化空間特性.2、分層任務促進遷移：設計由易到難的任務鏈（如給定基底表示向量→自主選擇基底解題→綜合應用），通過變式練習（如更換基底類型）突破“唯一性”理解，并滲透“設基→分解→運算”的解題范式.基于以上分析，確定本節課的教學難點為：空間向量基本定理中不共面基底的唯一表示性及其在立體幾何中的應用.情境引入復興哥非常熱愛天文學，通過他自制的天文望遠鏡發現了銀河系中一個新的星系，并新星系給他反饋了一段位置代碼：新星系位置=3A+2B?4C現在復興哥需要破解這串位置代碼，以便進一步研究該星系.復興哥將該信星系命名為：復興星.思考：復興哥將如何破解復興星的位置代碼？設計意圖：以天文情境引發興趣，通過“位置代碼”類比向量分解，自然引入空間向量基本定理，滲透數學抽象與建模思想.教學建議：結合情境講解定理內涵，設計“解碼復興星”探究活動，引導學生用基底分解向量，再遷移至立體幾何問題，強化數形結合，鞏固定理應用.回顧：由平面向量基本定理可知：平面內的任意一個向量a都可以用兩個不共線的向量e1，e2來表示.思考：那么任意一個空間向量量能否用任意三個不共面的向量來表示嗎？研究1：對于任意三個不共面的向量能否表示空間中任意向量，我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論.思考：如果用任意三個不共面的向量，，代替兩兩垂直的向量，，你能得出類似結論嗎?師生:學生思考、分組交流，教師引導整理.探究2：在空間中，如果用任意三個不共面的向量a，b，c代替兩兩垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空間向量.要求：請類比平面向量基本定理，寫出空間向量基本定理.學生：類比平面向量的基本定理，得出結論預設：平面向量的基本定理空間向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．思考：請你結合以上內容的探究過程，給出空間向量基本定理的證明.探究：由向量共線定理、平面向量基本定理及空間向量基本定理的一致性和連貫性，我們對比共線定理、平面向量基本定理和空間向量基本定理共同完成下表.分類定理向量共線定理空間向量基本定理表述形式基向量個數123基向量要求，不共線，，不共面對于實數（對、組）牛刀小試：練1：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，則ACA．i＋j＋k B．13i＋12j＋C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，有AB=3所以AC1=AB+答案選C．練2：（多選）設a，b，c是空間的一個基底，則下列說法不正確的是（

）A．則a，b，c兩兩共面，但a，b，c不可能共面B．若a⊥b，bC．對空間任一向量p，總存在有序實數組(x,y,z)，使pD．a+b，b+學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：對于A，顯然a，b，c兩兩共面，但a，b，c不可能共面，否則不能構成空間的一個基底，故A正確；對于B，由空間向量基底的定義可知，當a⊥b，b⊥c時，所以a與對于C，根據空間向量基本定理得到總存在有序實數組(x,y,z)，使p=x對于D，假設向量a+b，b+c，c+a共面，則a+b=x(b+c)+y(c+a)練3：（多選）若a,b,cA．a，2b，3c B．a+bC．a+2b，2b+3c，3a?9學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：由已知a，b，c不共面，則a，2b，3設a+b=x設a+2b=m2b即a+2b=2b+3c設a+練4：若e1,e2,e3是空間的一個基底，且向量a=學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：由a,b,c不能構成空間的一個基底，則存在即e1所以x=1x+y=0t=y，解得t=?1.故答案為：練5：（多選）如圖，在四面體OABC中，點M在棱OA上，且滿足OM=2MA，點N，G分別是線段BC，MN的中點，則用向量OA，OB，OC表示向量中正確的為（

）A．GN=?13C．GM=12解析：連接ON，因為點N，G分別是線段BC，MN的中點，所以OG=12所以GN=ONGM=預設：方法總結：用基底表示向量(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律；(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.變式訓練：（2）求與所成角的余弦值．所以與所成角的余弦值為．題型一：空間向量基底的概念辨析A．1個 B．2個 C．3個 D．4個又三個不共面的向量可作為空間向量的一組基底，故有3個向量組可以作為空間的一個基底.故選：C.小結：基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．變式訓練：解析：能作為空間的一組基底.題型二：利用空間向量解決立體幾何問題(1)求的長；(3)求直線與AC所成角的余弦值．小結：基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1)設出基向量．(2)用基向量表示出直線的方向向量．(4)轉化為線段長度，兩直線垂直及夾角問題．變式訓練：1.（2425高二上·吉林長春·階段練習）下列可使非零向量a,b,c構成空間的一組基底的條件是（A．a,b,cC．a=mb+n解析：對于A，因為非零向量a,b,對于B，b=λc，則b,c共線，又空間中任意兩個向量是共面的，所以對于C，由共面定理可知非零向量a,對于D，a+b+c=2．（2425高二上·山西·階段練習）已知{a,b,c}為空間的一組基底，對下列向量也能作為空間的一組基底的是（A．a+b，b+c，a?c C．2a+b，b+2c，a+b解析：對于A：a+b=對于C：a+對于D：a+對于B：令a?+2b→=xb?+ya?+3．（2425高二上·河北邢臺·期中）（多選）給出下列命題，其中正確的有（

）A．若非零空間向量a，b，c滿足a⊥b，bB．若三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則a，b，c必定共面C．若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a，b共線D．已知a,b,解析：易知正方體ABCD?A1B1C1C1中，AB⊥AD，A三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則它們必共面，B正確；a，b與任何一個向量都不能構成一個基底，即a，b與任何一個向量均共面，則a，b必共線，C正確；若c，a+b，a?b共面，則c=λa+b+μa?4．（2425高二上·河北保定·期末）在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=a，AC=b，AAA．?12aC．?12a解析：易知OB故選：B5．（2425高二上·重慶·階段練習）已知a,b,c是空間的一個單位正交基底，向量p=a?2b?4c解析：設p=x(依題意，p=x+ya則x+y=1x?y=?2z=?4，解得所以p=?如果空間中的三個向量a,b,c，那么對空間中的向量p，存在有序實數組(x,y,z)，使得表達式xa+yb+zc一般稱為向量a2．基與基向量如果三個向量e1,e2,e3，那么空間的每一個向量都可由向量e1,e2,e3線性表示．我們把{e1,e答案：不共面基基底基向量3．空間向量的正交分解（1）單位正交基底:如果空間的一個基底中的三個基向量，且長度都為，那么這個基底叫作單位正交基底，常用表示.（2）正交分解:把一個空間向量分解為的向量，叫作把空間向量進行正交分解.鞏固作業：教科書第15頁習題第4、5、6、7、8題.

1.2空間向量基本定理2.基與基向量：基向量不共面4.例