第01講解二元一次方程組、一元一次不等式組本講義亮度：1構建知識體系明確學習目標，深入淺出，力求打扎實基礎；2例題經典力求熟練掌握各常考題型，提高分析能力；【題型一】解二元一次方程組【題型二】解三元一次方程組【題型三】解一元一次不等式組【題型四】參數問題【題型五】綜合性問題3課后分層練習進一步鞏固所學內容.1.會用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；2.會求解一元一次不等式組；3.會求解二元一次方程組和一元一次不等式組的綜合性問題.1二元一次方程組的解法解二元一次方程組的方法主要是通過消去一個未知數，把二元一次方程組的轉化為一元一次方程，則可通過該方程先求出一個未知數，再求另一未知數。將未知數的個數由多到少、逐一解決的思想，叫做消元思想.具體解法有代入消元法和加減消元法.2解一元一次不等式組解一元一次不等式組的一般步驟：①求出不等式組中各個不等式的解集；②利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個不等式的解集.【題型一】解二元一次方程組【典題1】（2425七年級下·全國·課后作業）用加減消元法解方程組3x+4y=16①5x-6y=33②【答案】x=6【分析】本題主要考查了用加減消元法解方程組，根據加減消元法的步驟解方程組即可．【詳解】解：3x+4y=16①由①×3，得9x+12y=48③．由②×2，得10x-12y=66④．由③+④，得19x=114．解得：x=6，把x=6代入①，得3×6+4y=16,4y=-2．解得：y=-1所以這個方程組的解是x=6y=-變式練習1（2425七年級下·重慶潼南·期中）解二元一次方程組：(1)x=3y4x+y=13(2)4x-1【答案】(1)x=3(2)x=【分析】本題考查了代入消元法，加減消元法解二元一次方程組．熟練掌握代入消元法，加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．（1）利用代入消元法解方程組即可，（2）先去分母，去括號整理，然后利用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：x=3y①把①代入②得：4×3y+y=13，解得：y=1，把y=1代入①得：x=3，∴方程組的解為：x=3y=1（2）解：4方程①去括號，整理得：4x+y=12③，方程②去分母，整理得：2x+3y=11④，④×2-③得：5y=10，解得：y=2，把y=2代入③得：4x=10，解得：x=5∴方程組的解為x=5【題型二】解三元一次方程組【典題1】（2025七年級下·浙江·專題練習）解方程組：3x+2y-z=1【答案】x=【分析】本題考查的是三元一次方程組的解法，先消去未知數z，得到關于x、y的方程組，再進一步解答，即可得答案．【詳解】解：3x+2y-z=1①x+y+z=6②①+②得：4x+3y=7④，①+③得：5x+y=3⑤，⑤×3-④得：11x=2，解得：x=2把x=211代入⑤得：把x=211，y=2311代入∴方程組的解為：x=2變式練習1（2025七年級下·全國·專題練習）解方程組：3x+y-4z=135x-y+3z=5【答案】x=【分析】本題考查了解三元一次方程組，利用消元的思想是解題的關鍵，消元包括：代入消元法和加減消元法．①+②得出8x-z=18④，②+③得出6x+z=8⑤，由④和⑤組成方程組，求出方程組的解，把x=13【詳解】解：3x+y-4z=13①①+②得：②+③得：由④和⑤組成方程組：8x-z=186x+z=8兩式相加得：14x=26，解得：x=13將x=137代入④解得把x=137，z=-227代入解得：y=-36即方程組的解是x=13【題型三】解一元一次不等式組【典題1】（2025·江蘇鎮江·一模）解不等式組：3x-1<x+3【答案】-2≤x<2【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【詳解】解：3x-1<x+3由①得：x<2；由②得：x≥-2，∴原不等式組的解集為：-2≤x<2．變式練習1（2025·山東濟南·二模）解不等式組3x+2【答案】原不等式組的解集是-1≤x<3，整數解為-1，0，1，2【分析】本題考查的是求解一元一次不等式組的整數解，先解不等式中的兩個不等式，再確定解集的公共部分，得到不等式組的解集，最后確定整數解即可．【詳解】解：3x+2由①得，3x+6≥2x+5，解得：x≥-1，由②得，4x-3x-1<2，解得：x<3，∴原不等式組的解集是-1≤x<3，∴整數解為-1，0，1，2．【題型四】參數問題【典題1】（2425七年級下·安徽淮北·期中）已知關于x的不等式組x>2a-32x≥3x-2+5僅有三個整數解，則aA．12≤a<1 B．12≤a≤1 C．【答案】A【分析】本題考查根據不等式組的解集的情況求參數的范圍，先求出不等式組的解集，根據題意，得到關于a的不等式組，進行求解即可．【詳解】解：解x>2a-32x≥3x-2+5∵不等式組x>2a-32x≥3∴2a-3<x≤1，且整數解為：-1,0,1，∴-2≤2a-3<-1，∴12故選A．【典題2】（2223七年級下·重慶北碚·期中）若關于x的不等式組-2x-2-x<2k-x2≥-12+x最多有2個整數解，且關于A．13 B．18 C．21 D．26【答案】B【分析】分別求出不等式組的解集，一元一次方程的解，根據題意，求出符合條件的所有整數k，再將它們相加，即可得出結果．【詳解】解：由-2x-2-x<2k-x∵關于x的不等式組-2x-2-x<2k-x∴23∵不等式組的整數解最多時為：1，2，∴k+13<3，解得：解3y-1-2y-k∵方程的解為非正數，∴10-2k≤0，解得：k≥5，綜上：5≤k<8，符合條件的k的整數值為：5,6,7，和為5+6+7=18；故選B．【點睛】本題考查由不等式組的解集和方程的解的情況求參數的值．正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關鍵．變式練習1（2425八年級下·河南駐馬店·期中）如果不等式組x+8<4x-1x>m的解集是x>3，那么m的取值范圍是（

A．m≤3 B．m≥3 C．m=3 D．m<3【答案】A【分析】本題考查一元一次不等式組解集的求法，已知不等式解集反過來求m的范圍．先用含有m的代數式把原不等式組的解集表示出來，由題意不等式的解集為x>3，再根據求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）來求出m的范圍．【詳解】解：x+8<4x-1由①得，x>3，由②得，x>m，根據已知條件，不等式組解集是x>3，根據“同大取大”原則m≤3．故選：A．2（2425八年級下·廣東深圳·期中）已知關于x的不等式組2x+a≥03x-3<9至少有2個整數解，則a的取值范圍是（

A．-4≤a<-2 B．a≥-4 C．a≤-4 D．a<-2【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數解，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．首先解不等式組得到x≥-a2,x<4【詳解】解：2x+a≥0①解不等式①，得x≥-a解不等式②，得x<4，∴不等式組的解集為-a∵關于x的不等式組2x+a≥03x-3<9至少有2∴-a∴a≥-4，故選：B．3（2425七年級下·全國·期末）已知不等式組x+1<2ax-b>1的解集是2<x<3，則關于x的方程ax+b=0的解為（

A．x=0 B．x=12 C．x=1 D【答案】D【分析】此題考查解一元一次方程，解一元一次不等式組．解題關鍵在于掌握其方法步驟．解不等式組，根據其解集得出關于a、b的方程，解之求得a、b的值，再還原方程，解方程即可．【詳解】解：x+1<2a①解不等式①，得x<2a-1；解不等式②，得x>b+1．∵不等式組的解集是2<x<3，∴b+1<x<2a-1．∴b+1=2，2a-1=3．∴b=1，∴方程為2x+1=0．解得x=-1故選：D．4（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于x的不等式組x>1x≤a-1①若它的解集是1<x≤2，則a=3；②若a=2，不等式組有解；③若它的整數解僅有3個，則a的取值范圍是5≤a≤6；④若它無解，則a≤2．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了不等式組的解集，掌握數形結合思想是解題的關鍵．根據不等式組解的情況，對a進行討論求解．【詳解】解：①若它的解集是1<x≤2，則：a-1>1，且a-1=2，∴a=3，故①正確；②當a=2時，不等式組無解，故②不正確；③由題意得：4≤a-1<5，解得：5≤a<6，故③不正確；④由題意得：a-1≤1，解得：a≤2，故④正確．故選：B．5（2122七年級下·重慶忠縣·期末）若整數a使關于x的不等式組x+13≤2x+59x-a2>x-a+13至少有1個整數解，且使關于x，A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12【答案】B【分析】根據不等式組求出a的范圍，然后再根據關于x，y的方程組ax+2y=-4x+y=4的解為正整數得到a-2=-4或-6或-12a-2=-6，從而確定所有滿足條件的整數a【詳解】不等式組x+13?2x+5由不等式組至少有1個整數解，得到a+2<2，解得：a<0，解方程組ax+2y=-4x+y=4，得x=-∵關于x，y的方程組ax+2y=-4x+y=4∴a-2=-4或-6或-12，解得a=-2或a=-4或a=-10，∴所有滿足條件的整數a的值的和是-16．故選：B．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，學生的計算能力以及推理能力，解題的關鍵是根據不等式組以及二元一次方程組求出a的范圍，本題屬于中等題型．【題型五】綜合性問題【典題1】（2223七年級下·山西呂梁·階段練習）綜合與探究對實數x，y，我們定義一種新運算：Fx,y=ax+by（其中a，b為常數）．例如：F2,3=2a+3b，F2,-3(1)a＝，b＝．(2)已知x，y為非負整數，求關于x，y的方程Fx,3y(3)若關于x，y的方程組Fx,-y=m-3F12x,4y=-3m+8(4)若關于x的不等式F-3x,4>2n恰好有3個正整數解，求【答案】(1)2；1(2)x=4y=0或(3)m的值為0或1或2(4)-10≤n<-7【分析】（1）根據題目定義的新運算，結合F1,1=3，（2）根據（1）中求解的a、b的值，結合Fx,3y=8、x，（3）根據Fx,-y=m-3F12x,4y=-3m+8得出2x-y=m-3,（4）根據F-3x,4>2n求解得到x的取值范圍，再根據恰好有3個正整數解即可得到【詳解】（1）解：∵F1,1∴a+b=3,a-b=1解a+b=3a-b=1得：a=2（2）解：由（1）知，Fx,y則Fx,3y∵x，y為非負整數，∴x=4y=0或x=1（3）解：依題意2x-y=m-3,①①＋②化簡得x+y=-2m+5∵x+y>0，即-2m+5解得m<5又∵m為非負整數，∴m的值為0或1或2．（4）解：依題意得-6x+4>2n，解得x<-n+2∵此不等式有3個正整數解，∴3<-n+2解得-10≤n<-7．【點睛】該題主要考查了二元一次方程組的解法和一元一次不等式組的解法，理解題意，掌握二元一次方程組和一元一次不等式組解法是解題的關鍵；還需注意二元一次方程解答時有多個結果；一元一次不等式組整數解問題也是比較容易出錯．變式練習1（2223七年級下·湖北武漢·階段練習）對于任意實數，通常用x表示不超過x的最大整數，如：π=3，2=2，-2.1=-3，給出如下結論：①-x=-x；②若x=n，則x的取值范圍是n≤x<n+1；③當-1<x<1時，1+x+1-x的值為1或2；④若x+12=3且A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據所學知識逐項判斷即可．①可舉反例；②可根據題意中的規定判斷；③當-1<x<0，x=0，0<x<1時，分類討論得結論；④根據x的取值范圍，求出方程的解后判斷．【詳解】解：①、因為[x]表示不大于x的最大整數，∴當x=-π時，-x=π-x∴①不正確；②、若[x]=n，則x的取值范圍是n≤x<n+1，故②是正確的；③、當-1<x<0時，[1+x]+[1-x]=0+1=1，當x=0時，[1+x]+[1-x]=1+1=2，當0<x<1時，[1+x]+[1-x]=1+0=1，綜上③是正確的；④、∵x+1∴3≤x+1解得：52∵3-2x∴-4≤3-2x<-3，解得：3≤x<∴x的取值范圍為3≤x<故④是錯誤的．故正確的是：②③，共兩個．故選：B．【點睛】本題考查了不等式組．題目難度較大．理解題意和學會分類討論是解決本題的關鍵．2（1920七年級下·湖北武漢·階段練習）已知非負數x，y，z滿足3-x2=y+23=z+54，設W=3x－2y+A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】設3-x2=y+23=z+54=k，求得x=3-2k，y=3k-2，z=4k-5，則又由x，y，【詳解】解：設3-x2∴x=3-2k，y=3k-2，z=4k-5，∵x，y，z均為非負實數，∴3-2k≥03k-2≥04k-5≥0解得：54∵W=3x－∴W=3(3-2k)－∴-8×32+8≤w≤-8×∴W的最大值是2，最小值是4，它們的和為6；故選：D．【點睛】此題考查了最值問題．解此題的關鍵是設比例式：3-x2=y+23=3（2122七年級下·廣東汕頭·期末）閱讀下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，試確定x＋y的取值范圍”有如下解法：解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2

又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．又∵y<0，∴－1<y<0…①．同理可得1<x<2…②．由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2．∴x＋y的取值范圍是0<x＋y<2．按照上述方法，完成下列問題：(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，則x＋y的取值范圍是______；(2)已知關于x，y的方程組3x-y=2a-5x+2y=3a+3的解都是正數，求a(3)在（2）的條件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范圍．【答案】(1)1＜x+y＜5(2)a＞1(3)-7<2a+3b<18【分析】（1）模仿閱讀材料解答即可；（2）先把方程組解出，再根據解為正數列關于a的不等式組解出即可；（3）分別求出2a、3b的取值范圍，相加可得結論．【詳解】（1）解：∵xy=3，∴x=y+3，∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞1，又∵y＜1，∴1＜y＜1…①，同理可得2＜x＜4…②，由①+②得：1+2＜x+y＜1+4，∴x+y的取值范圍是1＜x+y＜5，故答案為：1＜x+y＜5；（2）解：解方程組3x-y=2a-5x+2y=3a+3得x=a-1y=a+2∵該方程組的解都是正數，∴x＞0，y＞0，∴a-1>0a+2>0解不等式組得：a＞1，∴a的取值范圍為：a＞1；（3）解：∵a－b=4，b<2，∴b=a-4<2，∴a<6，由（2）得，a＞1，∴1<a<6，∴2<2a<12…①，又∵a-b=4，∴b=a-4，∵1-4<a-4<6-4，∴-3<b<2，∴-9<3b<6…②，由①+②得：2-9<2a+3b<12+6，∴2a＋3b的取值范圍是-7<2a+3b<18．【點睛】本題考查不等式的性質及運算法則，解一元一次不等式組，解二元一次方程組，以及新運算方法的理解，熟練熟練掌握不等式的運算法則是解題的關鍵．【A組基礎題】1（2425七年級下·安徽合肥·期中）關于x，y的二元一次方程組x-y=3m-2x+3y=-4的解滿足x+y>0，則m的取值范圍（

A．m>2 B．m<2 C．m>6 D．m<6【答案】A【分析】本題考查的是解二元一次方程組和解一元一次不等式，解答此題的關鍵是把m當作已知數表示出x+y的值，再得到關于m的不等式．首先解關于x和y的方程組，利用m表示出x+y，代入x+y>0即可得到關于m的不等式，求得m的范圍．【詳解】解：x-y=3m-2①①+②得：則x+y=3m-6根據題意得：x+y=3m-6解得m>2．故選：A．2（2025·四川南充·二模）不等式組x+6<3x+2x+m>1的解集是x>2，則m的取值范圍是（

A．m≥-1 B．m>-1 C．m≤-1 D．m<-1【答案】A【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再根據解集是x>2，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：解x+6<3x+2，得x>2，解x+m>1，得x>1-m，∵不等式組的解集為x>2，∴1-m≤2，解得m≥-1．故選：A．3（2025·山東東營·一模）若關于x的不等式組7-2x≤1x-m<0的整數解共有3個，則m的取值范圍是（

A．5<m<6 B．5<m≤6 C．5≤m≤6 D．5≤m<6【答案】B【分析】本題考查不等式組整數解問題，解題的關鍵是正確求出不等式的解．分別解不等式①和不等式②，結合三個整數解直接求解即可得到答案．【詳解】解：7-2x≤1①解不等式①得：x≥3解不等式②得：x<m，∵不等式組有解，∴不等式組的解集為：3≤x<m，∵整數解共有3個，∴5<m≤6故選：B．4（2425七年級下·安徽亳州·期中）已知關于x的不等式組x≤3x>a①若a=-3，則x=2是該不等式組的一個解；②若該不等式組無解，則a>3；③若該不等式組的解集為-5<x≤3，則a=-5；④若該不等式組只有三個整數解，則0<a≤1．其中正確的結論個數（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式組的解集，理解一元一次不等式組的解集的概念是解題的關鍵．根據不等式組的解集對各小題的結論分析即可．【詳解】解：∵關于x的不等式組x≤3x>a∴當a=-3時，-3<x≤3，∴x=2是該不等式組的一個解，故①正確；∵不等式組x≤3x>a∴a≥3，故②錯誤；∵關于x的不等式組x≤3x>a的解集為-5<x≤3∴a=-5，故③正確；∵不等式組x≤3x>a∴0≤a<1，故④錯誤；∴正確的序號為①③，故選B．5（2425七年級下·湖北黃石·期中）解方程組：4(x+2)=1-5yy+3【答案】x=-3【分析】本題考查解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加減消元法，靈活運用適當的方法是解題關鍵．先將第二個方程去分母，再應用加減消元法，求出方程組的解即可．【詳解】解：4(x+2)=1-5y①方程①去括號，整理得：4x+5y=-7③方程②去分母，整理得：2x+3y=-3④，④×2-③得：y=1，把y=1代入④得：2x+3×1=-3，解得：x=-3，∴方程組的解為x=-3y=16（2025·安徽宿州·一模）解不等式組：21-x【答案】-3<x≤3【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，分別求出每個不等式的解集，再取它們解集的公共部分即可得到不等式組的解．【詳解】解：2解不等式①，得x≤3．解不等式②，得x>-3，∴原不等式組的解集為-3<x≤3．7（2122七年級下·福建福州·期末）閱讀理解：定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“理想解”．例如：已知方程2x-1=1與不等式x+1>0，當x=1時，2x-1=2×1-1=1，1+1=2>0同時成立，則稱“x=1”是方程2x-1=1與不等式x+1>0的“理想解”．問題解決：(1)請判斷方程3x-5=4的解是此方程與以下哪些不等式（組）的“理想解”______（直接填寫序號）①2x-3>3x-1，②2x-1③x+1>0x-2≤1(2)若x=my=n是方程組x+2y=62x+y=3q與不等式x+y>1的“理想解”，求(3)當k<3時，方程3x-1=k的解都是此方程與不等式4x+n<x+2m的“理想解”．若m+n≥0且滿足條件的整數n有且只有一個，求【答案】(1)②③(2)q>-1(3)2≤m<【分析】（1）根據“理想解”的定義進行求解即可；（2）把x=my=n代入相應的方程組和不等式，從而求得q（3）根據當k＜3時，方程3（x-1）=k的解都是此方程與不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，可求得x=k3+1，x<2m-n3【詳解】（1）解：3x5=4，解得：x=3，當x=3時，①2x-3＞解得：x＜-2，故②2（解得：x≤3，故②符合題意；③x+1>0x-2≤1解得x>-1x≤3故不等式組的解集是：-1＜x≤3，故故答案為：②③；（2）解：∵x=my=n是方程組x+2y=62x+y=3q與不等式x+y>1的“∴m+2n=62m+n=3q解得m=2q-2n=4-q∴2q-2+4-q>1，解得q>-1；（3）解：∵當k＜3時，方程3（x-1）=k的解都是此方程與不等式∴3（解得x=k由4x+n＜x+2m解得當k<3時，∴k3即x<2.∵方程3（x-1）=k的解都是此方程與不等式4x+n＜∴2m-n3∴n≤2m-6．∵m+n≥0滿足條件的整數n有且只有一個，∴n≥-m∴2m-6≥-m解得m≥2∴-m≤-2，2m-6≥-2，∴此時n恰好有一個整數解2，∴-3<-m≤-2∴2≤m<5【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次方程的解，解二元一次方程組，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與靈活運用【B組提高題】1（2324七年級下·四川德陽·階段練習）已知關于x，y的方程組x+3y=4-ax-y=3a，當3≤a≤1時，下列命題正確的個數為（

①當a=-2時，方程組的解x，y的值互為相反數；②無論a取什么實數，x+2y的值始終不變；③x，y都為自然數的解有4對；④若x≤1，則1≤y≤4．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，一元一次方程的解，解不等式組等知識點，①先求出方程組的解x=1+2ay=1-a，把a=-2代入求出x、y即可；②把x=1+2ay=1-a代入x+2y進行計算即可；③方程組變形為x+2y=3，再確定方程的解即可；④根據x≤1和x=1+2a求出a≤0，求出-3≤a≤0，再求出【詳解】解：解方程組x+3y=4-ax-y=3a得：x=1+2a①當a=-2時，x=1+2×-2所以x、y互為相反數，故①正確；②∵x=1+2ay=1-a∴x+2y=2a+1+2-2a=3，∴無論a取什么實數，x+2y的值始終不變；故②正確；③將方程組x+3y=4-ax-y=3a可變