第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年普通高校招生全國統一考試(北京卷)數學試題一、選擇題。共10小題，每題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.集合M={x∣2x?1>5},N={1,2,3}，則M∩N=(

)A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.?2.已知復數z滿足i?z+2=2i，則|z|=(

)A.2 B.22 C.43.雙曲線x2?4y2A.32 B.52 C.4.為得到函數y=9x的

圖象，只需把函數y=3xA.橫坐標變成原來的12倍，縱坐標不變 B.橫坐標變成原來的2倍，縱坐標不變

C.縱坐標變成原來的13倍，橫坐標不變 D.縱坐標變成原來的5.已知an是公差不為0的等差數列，a1=?2，若a3,A.?20 B.?18 C.16 D.186.已知a>0,b>0，則(

)A.a2+b2>2ab B.1a7.已知函數f(x)的定義域為D，則“函數f(x)的值域為R”是“對任意M∈R，存在x0∈D，使得fx0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設函數f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在0,π4A.8 B.6 C.4 D.39.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數據量所需要時間T=klog2N(單位：小時)，其中k為常數．在此條件下，已知訓練數據量N從106個單位增加到1.024×109個單位時，訓練時間增加20小時；當訓練數據量N從1.024×109A.2 B.4 C.20 D.4010.已知平面直角坐標系xOy中，|OA|=|OB|=2，|AB|=2A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12]二、填空題。共5小題，每小題5分,共25分。11.拋物線y2=2px(p>0)的頂點到焦點的距離為3，則p=

．12.已知(1?2x)4=a0?2a1x+4a213.已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α?β)，cos(α+β)≠cos(α?β)，寫出滿足條件的一組α=

，14.某科技興趣小組通過3D打印機的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平行多邊形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC,AB//RS//EF//CD，AF//ST//BC//ED，若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=52，則該多面體的體積為

．

15.關于定義域為R的函數f(x)，以下說法正確的有

．①存在在R上單調遞增的函數f(x)使得f(x)+f(2x)=?x恒成立；②存在在R上單調遞減的函數f(x)使得f(x)+f(2x)=?x恒成立；③使得f(x)+f(?x)=cosx恒成立的函數④使得f(x)?f(?x)=cosx恒成立的函數f(x)三、解答題。共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.在?ABC中，cosA=?1(1)求c；(2)在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得?ABC存在，求BC的高．①a=6；②bsinC=102317.四棱錐P?ABCD中，?ACD與?ABC為等腰直角三角形，∠ADC=90°,∠BAC=90°，(1)F為PD的中點，G為PE的中點，證明：FG//面PAB；(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB與面PCD所成角的正弦值．18.有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．(1)從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率．(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設X為做對的人數，求恰有1人做對的概率以及X的數學期望．(3)若甲校同學掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，乙校同學掌握這個知識點則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，設甲校學生掌握該知識點的概率為p1，乙校學生掌握該知識點的概率為p2，試比較p1與p2的大小19.已知E:x2a2+y(1)求橢圓方程；(2)設O為原點，Mx0,y0x0≠0為橢圓上一點，直線x0x+2y0y?4=0與直線y=2，y=?2交于A，20.函數f(x)的定義域為(?1,+∞),f(0)=0,f′(x)=ln(1+x)1+x，l1(1)f′(x)的最大值；(2)?1<a<0，除點A外，曲線y=f(x)均在l1(3)若a>0時，直線l2過A且與l1垂直，l1，l2分別于x軸的交點為x1與21.A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=xi,yi∣xi∈A,yi∈A，從M中選出(1)若k列的第一項為(3,3)，求第二項．(2)若τ為k列，且滿足i為奇數時，xi∈{1,2,7,8}：i為偶數時，xi∈{3,4,5,6}；判斷：(3,2)與(3)證明：M中所有元素都不構成k列．

參考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.C

9.B

10.D

11.6

12.1；15

13.π2

；

；14.60

15.②③

16.解：(1)因為cosA=?13由正弦定理有asinC=csin(2)如圖所示，若?ABC存在，則設其BC邊上的高為AD，若選①，a=6，因為c=6，所以C=A，因為cosA=?13而這是不可能的，所以此時三角形ABC不存在，故BC邊上的高也不存在；若選②，bsinC=102此時cosB=1?而cos∠DAB=sinB,sin∠DAB=所以cos∠CAD=cos∠CAB?∠BAD所以此時CA,CD也可以唯一確定，這表明此時三角形ABC是存在的，且BC邊上的高AD=10若選③，?ABC的面積是102，則解得b=5，由余弦定理可得a=進一步由余弦定理可得cosB,cosC這表明此時三角形ABC是存在的，且BC邊上的高滿足：S?ABC=1

17.解：(1)取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，∵?ACD與?ABC為等腰直角三角形∠ADC=90不妨設AD?CD=2,∴AC=AB=2∴BC=4，∵E、F分別為BC、PD的中點，∴FN=1∴GM=1，∵∠DAC=45∴AD//BC，∴FN//GM，∴四邊形FGMN為平行四邊形，∴FG//MN，∵FG?面PAB，MN?面PAB，∴FG//面PAB；(2)∵PA⊥面ABCD，∴以A為原點，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AD=CD=2，則A(0,0,0),B(0,2∴設面PCD的一個法向量為n∴取x=1,∴y=?1,z=1,∴設AB與面PCD成的角為θ則sin即AB與平面PCD成角的正弦值為3

18.解：(1)用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為80100(2)設A為“從甲校抽取1人做對”，則PA=0.8，則設B為“從乙校抽取1人做對”，則PB=0.75，則設C為“恰有1人做對”，故PC而X可取0,1,2，PX=0=PAB=0.05故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故EX(3)設D為“甲校掌握該知識的學生”，因為甲校掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，故PD+141?P(D)同理有0.85p2+故p1

19.解：(1)由橢圓可知，2a=4，所以a=2，又e=ca=2故橢圓方程為x2(2)聯立x0x+2y0y?4=0整理得，2x又x024+y故①式可化簡為8y2?16y0所以直線x0x+2y設Ax1,y1故設x2<x聯立x0x+2y聯立x0x+2y所以S=2OAOB故S1法二：不妨設Ax1,y1故設x2聯立x0x+2y聯立x0x+2y則kOA=y1x又x024所以tan=?xtan∠BOM=則tan∠AOM=tan∠BOM所以S1

20.解：(1)設gx=f′x由g′x=0可得x=e?1，當x∈?1,e?1時，g′當x∈e?1,+∞時，g′x<0所以f′x的最大值為f′(2)因為f′a=ln1+a1+a，所以直線l設?x=fx由(1)可知，f′x在x∈?1,e?1上單調遞增，而所以，當?1<x<a時，?′x<0，當0>x>a時，?′x>0，?x而當x≥0時，f′x=ln1+x1+x故?x(3)由f′x=ln1+x1+x可設fx=因為直線l1的方程為y=ln1+a所以直線l2的方程為y=?x1=a?1+a所以2a?=1?ln21+a1+a2l所以2a?x

21.解：(1)根據題目定義可知，下一項是6,7或7,6；(2)假設二者同時出現在τ中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨設3,2在4,4之前．顯然，在k列中，相鄰兩項的橫縱坐標之和的奇偶性總是相反的，所以從3,2到4,4必定要向下一項走奇數次．但又根據題目條件，這兩個點的橫坐標均在中，所以從3,2到4,4必定要向下一項走偶數次．這導致矛盾，所以二者不能同時出現在τ中.(3)假設全體元素構成一個k列，則n=64．設T1=x,y則T1和T2都包含32個元素，且T1中元素相鄰項必定在T如果存在至少兩對相鄰的項屬于T2，那么屬于T2的項的數目一定多于屬于所以至多存在一對相鄰的項屬于T2如果存在，則這對相鄰的項的序號必定形如2m和2m+1，否則將導致屬于T2的項的個數比屬于T1的項的個數多2，此時從而這個序列的前2m項中，第奇數項屬于T1，第偶數項屬于T這個序列的后64?2m項中，第奇數項屬于T2，第偶數項屬于T如果不存在相鄰的屬于T2的項，那么也可以看作上述表示在m=0或m=