2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)11.5成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)

分析

考點(diǎn)1變量間的相關(guān)關(guān)系

1.(2020課標(biāo)〃理，18,12分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)

查該地區(qū)某種野牛.動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取

20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(劉,田(i=l,2，.…20),其中H和y,分別表示第，個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單

20202020

2

位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得￡=]AF60，S/=I)7=1200,^=1G㈤2=80,?=1(yi-y)=

20

9000,Xi=i(xf-x)(>,r-y)=800,

(D求該地區(qū)這種野牛.動(dòng)物數(shù)度的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野牛.動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)

乘以地塊數(shù))；

⑵求樣本a,V)G=l,2,…,2。)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物

數(shù)量更選確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法,并說(shuō)明理由.

附：相關(guān)系數(shù)，產(chǎn)[ay=rt產(chǎn):5了=：=,^1,414.

222

JSj-i(AT(-X)SI.I(y(-yyJSi-i(X(-X)SI.J(y(-y)

解析⑴由已知得樣本平均數(shù)9=顯:;y,=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60x200=

12000.

⑵樣本㈤)力(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)

2020

￡-1。|一幻(乂-歹)=1(勺-7)(乂-刃__800=2喔094

I~20201I~2020V80X9003-3■

2

君2匕.1(yt-y)jEi-1(XL元)2￡T(yt-y)2

(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.

理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆孟面枳有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆芾.面

積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總

體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

2.(2015課標(biāo)I,理19,文19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位:

千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳斐x.和年銷(xiāo)售量

y.(i=l,2，…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

620

600■.??

580-.?

560.?

540.?

520

50()?

48()11一一一一一

M3638404244464850525456

年宣傳費(fèi)/千元

8888

Xyw￡(x.-x)"2af-w)2￡(x,-x)(y.-y)￡(w.-w)(y-y)

(=11=1f=i1=1

46.

5636.8289.81.61469108.8

6

_18

表中Wj=Jxi，w=oX1%

of=l

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+dG哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出

判斷即可，不必說(shuō)明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表櫻據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程：

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

(D年宣傳費(fèi)x:19時(shí)，年銷(xiāo)售且及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u.,v,),(皿vj%),其回歸直線v=a+例的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

n

“(Ui-U)(Vi-V)“A

0占-------;-，a=v-pu.

E(u?-u)2

f=l

解析(D由散點(diǎn)圖可以判斷,y-c+d4適宜作為年銷(xiāo)售是y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(2分)

⑵令先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于

8

時(shí)8「刃

“￡(WL108.8”

d=^------------------二

8h68,

國(guó)52

c=y~d新563-68x6.8=100.6,

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+684.(6分)

⑶⑴由⑵知,當(dāng)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值

/100.6+68再=576.6,

年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值;=576.6x0.249=66.32.（9分）

（ii）根據(jù)（2）的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值

70.2（100.6+68\/x）-x=-x+13.6>/x+20.12.

所以當(dāng)?=亨=6.8,即x=46.24時(shí),z取得最大值.

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.（12分）

3.（2015重慶文,17,13分）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣諸蓄

存款（年底余額）如下表：

年份20102011201220132014

時(shí)間代號(hào)t12345

儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810

⑴求y關(guān)于t的回歸方程ytt+a;

（2）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年（t=6）的人民幣儲(chǔ)蓄存款.

附:回歸方程ybt-a中，

解析（1）列表計(jì)算如下:

it?

l（山tiYi

11515

226412

337921

4481632

55102550

X153655120

=72

這里n=5,t=-￡ti=Y=3,y=-Sy>=Y-,

n自5n^.5

又ls=￡tf-n?2=55-5x32=10,Ly=￡t】y1-n￡歹二120-5x3x7.2=12,

i=l1=1

Al]2A八

從而加■^=TT;=L2,a=y-bt=7.2-1.2x3=3.6,

10

故所求回歸方程為，=1.2t+3.6.

⑵將t=6代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為，=1.2x6+3.6=10.8（千億元）.

4.（2014課標(biāo)口理，19,12分）其地區(qū)2007年至2013年衣村居民家庭人均純收入y（單位:千元）的數(shù)據(jù)如下

表：

年份200720082009201020H20122013

年份代號(hào)tI234567

人均純收入y2.93.33.6I.I4.85.25.9

⑴求y關(guān)于t的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地

區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

人￡(tf-t)(y,-y)A八_

b=i^n-----;-,a=y-bt.

t=i

解析（D由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得

E=；x(14-2+3+4+5+6+7)=4,

歹=；x⑵9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7

￡(ti-t)-9+4+1+0+1+4+9=28,

i=i

7

E(y,-y)=(-3)x(-1.4)+(-2)x(-1)+(-1)x(-0.7)+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3xl.6=14,

7

E5

-14

--=o5

i=一17

b=y228

-

-

所求回歸方程為y-0.5t+2.3.

(2)由⑴知,b=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加C.5千

將2015年的年份代號(hào)t=9代入⑴中的回歸方程,得，=0.5x9+2.3=6.8,

故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.

評(píng)析本題考查了回歸直線方程的求解,注意回歸直線恒過(guò)點(diǎn)3j)是關(guān)鍵,考直了回歸系數(shù)b的幾何意義.

考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力.

考點(diǎn)2列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)

(2023全國(guó)甲理，19,12分，中)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下:選40只小白

鼠,隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組,試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在

高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的

增加量(單信:g).

(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.6

35.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.6228

23.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的

數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),完成如下列我表：

對(duì)照組

試驗(yàn)組

(ii)根據(jù)⑴中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)

境中體重的增加量有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P陣k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解析(1)依題意得,X的所有可能取值為0,1,2,

貝|JP(X=O)二警=段,

P(X=1)=警嗤

p(X=2)=鬻如:號(hào)，

???X的分布列為

X012

2019

3978

???E⑶=>。+等1琮侖上

(2)⑴依題意可得〃『‘黃=23.4.

則對(duì)照組樣本中小于根的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為6,

試驗(yàn)組樣本中小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為14,

則列聯(lián)表為

<m>m

對(duì)照組614

試驗(yàn)組146

(ii)由⑴中列聯(lián)表可得

心喘標(biāo)籌二63.8"

???有95%的把握認(rèn)為小臼鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

1.(2021全國(guó)甲理，17,12分)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)

機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)廠200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床牛.產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附.心=----Mad-》.----

'(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

Pgk

0.0500.0100.001

)

k3.8416.63510.828

解析（1）因?yàn)榧讬C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有150件一級(jí)品,所以甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為黑=

因?yàn)橐覚C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有120件一級(jí)品，所以乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為哭=

42005

n(ad-bc)2

（2）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K?二

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=嗤需鬻翳=^10.256,因?yàn)?0.256>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床

的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

方法總結(jié)解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的一般步驟:

（列表H認(rèn)女讀題，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表）

（算卜｛將2x2舛聯(lián)表的數(shù)據(jù)代人公式求去的觀測(cè)值

將求得的4的值與臨界值進(jìn)行比較J

（當(dāng);論｝?（由比較結(jié)果得出相應(yīng)結(jié)論1

2.（2020新高考/,19,12分）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：ug/m》得下表:

so>

[o,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估計(jì)事件“該市一天空氣口PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2x2列聯(lián)表：

so2

\sPM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

⑶根據(jù)⑵中的列聯(lián)表,判斷世否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S6濃度有關(guān).

附.心=_n(-z

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pgk

0.0500.0100.001

)

k3.8416.63510.828

解析(I)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,H.SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為

32+18+6+8=64,因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且S(h濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為

益二°&,：4分)

(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得2x2列聯(lián)表:

[0,75]6416

(75,1⑸1()1()