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文檔簡介
2025版新高考版高考總復習數學11.5成對數據的統計
分析
考點1變量間的相關關系
1.(2020課標〃理,18,12分)某沙漠地區經過治理,生態系統得到很大改善,野生動物數量有所增加.為調
查該地區某種野牛.動物的數量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取
20個作為樣區,調查得到樣本數據(劉,田(i=l,2,.…20),其中H和y,分別表示第,個樣區的植物覆蓋面積(單
20202020
2
位:公頃)和這種野生動物的數量,并計算得£=]AF60,S/=I)7=1200,^=1G㈤2=80,?=1(yi-y)=
20
9000,Xi=i(xf-x)(>,r-y)=800,
(D求該地區這種野牛.動物數度的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野牛.動物數量的平均數
乘以地塊數);
⑵求樣本a,V)G=l,2,…,2。)的相關系數(精確到0.01);
(3)根據現有統計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物
數量更選確的估計,請給出一種你認為更合理的抽樣方法,并說明理由.
附:相關系數,產[ay=rt產:5了=:=,^1,414.
222
JSj-i(AT(-X)SI.I(y(-yyJSi-i(X(-X)SI.J(y(-y)
解析⑴由已知得樣本平均數9=顯:;y,=60,從而該地區這種野生動物數量的估計值為60x200=
12000.
⑵樣本㈤)力(i=1,2,…,20)的相關系數
2020
£-1。|一幻(乂-歹)=1(勺-7)(乂-刃__800=2喔094
I~20201I~2020V80X9003-3■
2
君2匕.1(yt-y)jEi-1(XL元)2£T(yt-y)2
(3)分層抽樣:根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進行分層抽樣.
理由如下:由(2)知各樣區的這種野生動物數量與植物覆孟面枳有很強的正相關.由于各地塊間植物覆芾.面
積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總
體結構的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計.
2.(2015課標I,理19,文19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:
千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳斐x.和年銷售量
y.(i=l,2,…,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.
620
600■.??
580-.?
560.?
540.?
520
50()?
48()11一一一一一
M3638404244464850525456
年宣傳費/千元
8888
Xyw£(x.-x)"2af-w)2£(x,-x)(y.-y)£(w.-w)(y-y)
(=11=1f=i1=1
46.
5636.8289.81.61469108.8
6
_18
表中Wj=Jxi,w=oX1%
of=l
(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dG哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出
判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表櫻據,建立y關于x的回歸方程:
(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:
(D年宣傳費x:19時,年銷售且及年利潤的預報值是多少?
(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?
附:對于一組數據(u.,v,),(皿vj%),其回歸直線v=a+例的斜率和截距的最小二乘估計分別為
n
“(Ui-U)(Vi-V)“A
0占-------;-,a=v-pu.
E(u?-u)2
f=l
解析(D由散點圖可以判斷,y-c+d4適宜作為年銷售是y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2分)
⑵令先建立y關于w的線性回歸方程.由于
8
時8「刃
“£(WL108.8”
d=^------------------二
8h68,
國52
c=y~d新563-68x6.8=100.6,
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為y=100.6+684.(6分)
⑶⑴由⑵知,當x=49時,年銷售量y的預報值
/100.6+68再=576.6,
年利潤z的預報值;=576.6x0.249=66.32.(9分)
(ii)根據(2)的結果知,年利潤z的預報值
70.2(100.6+68\/x)-x=-x+13.6>/x+20.12.
所以當?=亨=6.8,即x=46.24時,z取得最大值.
故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.(12分)
3.(2015重慶文,17,13分)隨著我國經濟的發展,居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區城鄉居民人民幣諸蓄
存款(年底余額)如下表:
年份20102011201220132014
時間代號t12345
儲蓄存款y(千億元)567810
⑴求y關于t的回歸方程ytt+a;
(2)用所求回歸方程預測該地區2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款.
附:回歸方程ybt-a中,
解析(1)列表計算如下:
it?
l(山tiYi
11515
226412
337921
4481632
55102550
X153655120
=72
這里n=5,t=-£ti=Y=3,y=-Sy>=Y-,
n自5n^.5
又ls=£tf-n?2=55-5x32=10,Ly=£t】y1-n£歹二120-5x3x7.2=12,
i=l1=1
Al]2A八
從而加■^=TT;=L2,a=y-bt=7.2-1.2x3=3.6,
10
故所求回歸方程為,=1.2t+3.6.
⑵將t=6代入回歸方程可預測該地區2015年的人民幣儲蓄存款為,=1.2x6+3.6=10.8(千億元).
4.(2014課標口理,19,12分)其地區2007年至2013年衣村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數據如下
表:
年份200720082009201020H20122013
年份代號tI234567
人均純收入y2.93.33.6I.I4.85.25.9
⑴求y關于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地
區2015年農村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
人£(tf-t)(y,-y)A八_
b=i^n-----;-,a=y-bt.
t=i
解析(D由所給數據計算得
E=;x(14-2+3+4+5+6+7)=4,
歹=;x⑵9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
7
£(ti-t)-9+4+1+0+1+4+9=28,
i=i
7
E(y,-y)=(-3)x(-1.4)+(-2)x(-1)+(-1)x(-0.7)+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3xl.6=14,
7
E5
-14
--=o5
i=一17
b=y228
-
-
所求回歸方程為y-0.5t+2.3.
(2)由⑴知,b=0.5>0,故2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加C.5千
將2015年的年份代號t=9代入⑴中的回歸方程,得,=0.5x9+2.3=6.8,
故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.
評析本題考查了回歸直線方程的求解,注意回歸直線恒過點3j)是關鍵,考直了回歸系數b的幾何意義.
考查了學生的計算求解能力.
考點2列聯表和獨立性檢驗
(2023全國甲理,19,12分,中)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下:選40只小白
鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養在
高濃度臭氧環境,對照組的小白鼠飼養在正常環境,一段時間后統計每只小白鼠體重的
增加量(單信:g).
(1)設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數,求X的分布列和數學期望;
(2)試驗結果如下:
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
15.218.820.221.322.523.225.8
26.527.530.132.634.334.835.6
35.635.836.237.340.543.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.6228
23.623.925.128.232.336.5
⑴求40只小白鼠體重的增加量的中位數再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的
數據的個數,完成如下列我表:
對照組
試驗組
(ii)根據⑴中的列聯表,能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環
境中體重的增加量有差異?
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'
P陣k)0.1000.0500.010
k2.7063.8416.635
解析(1)依題意得,X的所有可能取值為0,1,2,
貝|JP(X=O)二警=段,
P(X=1)=警嗤
p(X=2)=鬻如:號,
???X的分布列為
X012
2019
3978
???E⑶=>。+等1琮侖上
(2)⑴依題意可得〃『‘黃=23.4.
則對照組樣本中小于根的數據的個數為6,
試驗組樣本中小于m的數據的個數為14,
則列聯表為
<m>m
對照組614
試驗組146
(ii)由⑴中列聯表可得
心喘標籌二63.8"
???有95%的把握認為小臼鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異.
1.(2021全國甲理,17,12分)甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品,為了比較兩臺
機床產品的質量,分別用兩臺機床各生產廠200件產品,產品的質量情況統計如下表:
一級品二級品合計
甲機床15050200
乙機床12080200
合計270130400
(1)甲機床、乙機床牛.產的產品中一級品的頻率分別是多少?
(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?
附.心=----Mad-》.----
'(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)
Pgk
0.0500.0100.001
)
k3.8416.63510.828
解析(1)因為甲機床生產的200件產品中有150件一級品,所以甲機床生產的產品中一級品的頻率為黑=
因為乙機床生產的200件產品中有120件一級品,所以乙機床生產的產品中一級品的頻率為哭=
42005
n(ad-bc)2
(2)根據2x2列聯表中的數據,得K?二
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=嗤需鬻翳=^10.256,因為10.256>6.635,所以有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床
的產品質量有差異.
方法總結解決獨立性檢驗問題的一般步驟:
(列表H認女讀題,根據相關數據列出2x2列聯表)
(算卜{將2x2舛聯表的數據代人公式求去的觀測值
將求得的4的值與臨界值進行比較J
(當;論}?(由比較結果得出相應結論1
2.(2020新高考/,19,12分)為加強環境保護,治理空氣污染,環境監測部門對某市空氣質量進行調研,隨機
抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度(單位:ug/m》得下表:
so>
[o,50](50,150](150,475]
PM2.5
[0,35]32184
(35,75]6812
(75,115]3710
⑴估計事件“該市一天空氣口PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;
(2)根據所給數據,完成下面的2x2列聯表:
so2
\sPM2.5
[0,150](150,475]
[0,75]
(75,115]
⑶根據⑵中的列聯表,判斷世否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與S6濃度有關.
附.心=_n(-z
'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'
Pgk
0.0500.0100.001
)
k3.8416.63510.828
解析(I)根據抽查數據,該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,H.SO2濃度不超過150的天數為
32+18+6+8=64,因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S(h濃度不超過150的概率的估計值為
益二°&,:4分)
(2)根據抽查數據,可得2x2列聯表:
[0,75]6416
(75,1⑸1()1()
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