2025年遼寧省事業單位招聘考試教師數學學科專業知識試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列各數中，有理數是：A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$\frac{3}{2}$D.$\sqrt[3]{8}$2.已知等差數列$\{a_n\}$的前5項和為$S_5=15$，公差為2，則第10項$a_{10}$等于：A.11B.13C.15D.173.若$x^2+2x+1=0$，則$x^3+2x^2+x+1$等于：A.0B.1C.2D.34.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\cosA$等于：A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$5.若$x^2-5x+6=0$，則$x^4-5x^3+6x^2$等于：A.0B.1C.2D.36.已知$a+b=3$，$ab=2$，則$a^2+b^2$等于：A.5B.6C.7D.87.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=15$，$c=17$，則$\sinA$等于：A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{1}{5}$8.若$x^2-2x+1=0$，則$x^4-2x^3+x^2$等于：A.0B.1C.2D.39.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=12$，$c=13$，則$\cosB$等于：A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$10.若$x^2-3x+2=0$，則$x^4-3x^3+2x^2$等于：A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題2分，共20分）1.已知等差數列$\{a_n\}$的第3項和第7項的和為$18$，公差為$2$，則第5項$a_5$等于________。2.若$x^2-3x+2=0$，則$x^4-3x^3+2x^2$等于________。3.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=15$，$c=17$，則$\sinC$等于________。4.若$a+b=5$，$ab=6$，則$a^2+b^2$等于________。5.已知等差數列$\{a_n\}$的前5項和為$S_5=20$，公差為$3$，則第10項$a_{10}$等于________。6.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=12$，$c=13$，則$\cosA$等于________。7.若$x^2+2x+1=0$，則$x^3+2x^2+x+1$等于________。8.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=15$，$c=17$，則$\tanB$等于________。9.已知等差數列$\{a_n\}$的第3項和第7項的和為$18$，公差為$2$，則第5項$a_5$等于________。10.若$x^2-5x+6=0$，則$x^4-5x^3+6x^2$等于________。三、解答題（每題10分，共30分）1.已知等差數列$\{a_n\}$的第3項和第7項的和為$18$，公差為$2$，求第5項$a_5$。2.已知等差數列$\{a_n\}$的前5項和為$S_5=20$，公差為$3$，求第10項$a_{10}$。3.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=15$，$c=17$，求$\sinC$。四、計算題（每題10分，共30分）1.已知$x^2-4x+4=0$，求$x^3-4x^2+x$的值。2.已知$a+b=7$，$ab=18$，求$a^2-b^2$的值。3.已知$\triangleABC$中，$a=6$，$b=8$，$c=10$，求$\cosA$的值。五、應用題（每題10分，共30分）1.小明騎自行車從家到學校，用了20分鐘。如果速度提高20%，所用時間將縮短多少？2.一個長方形的長是寬的2倍，長方形的長為10厘米，求長方形的周長。3.某商店原價為$p$元的商品，打8折后售價為$0.8p$元，求折扣率。六、證明題（每題10分，共30分）1.證明：等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$可以表示為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。2.證明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。3.證明：對于任意實數$x$，都有$x^2\geq0$。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.C。有理數是可以表示為兩個整數之比的數，$\frac{3}{2}$可以表示為兩個整數之比，因此是有理數。2.B。等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$為首項，$d$為公差。代入已知條件得$a_{10}=2+(10-1)\times2=20$。3.A。由$x^2+2x+1=0$可得$(x+1)^2=0$，則$x=-1$，代入$x^3+2x^2+x+1$得$(-1)^3+2(-1)^2+(-1)+1=0$。4.A。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$5^2+7^2=8^2$，因此$\cosA=\frac{a}{c}=\frac{5}{8}$。5.A。由$x^2-5x+6=0$可得$(x-2)(x-3)=0$，則$x=2$或$x=3$，代入$x^4-5x^3+6x^2$得$2^4-5\times2^3+6\times2^2=0$。6.A。由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知條件得$a^2+b^2=3^2-2\times2=5$。7.C。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$5^2+12^2=13^2$，因此$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{5}{13}$。8.A。由$x^2+2x+1=0$可得$(x+1)^2=0$，則$x=-1$，代入$x^3+2x^2+x+1$得$(-1)^3+2(-1)^2+(-1)+1=0$。9.C。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$8^2+15^2=17^2$，因此$\cosB=\frac{c}=\frac{15}{17}$。10.A。由$x^2-3x+2=0$可得$(x-1)(x-2)=0$，則$x=1$或$x=2$，代入$x^4-3x^3+2x^2$得$1^4-3\times1^3+2\times1^2=0$。二、填空題答案及解析：1.9。由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$可得$a_5=a_1+4d$，代入已知條件$a_3+a_7=18$和$d=2$，解得$a_5=9$。2.1。由$x^2-3x+2=0$可得$(x-1)(x-2)=0$，則$x=1$或$x=2$，代入$x^4-3x^3+2x^2$得$1^4-3\times1^3+2\times1^2=1$。3.$\frac{3}{5}$。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$5^2+12^2=13^2$，因此$\sinC=\frac{c}{c}=\frac{3}{5}$。4.5。由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知條件$a+b=5$和$ab=6$，解得$a^2+b^2=5$。5.25。由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$可得$a_{10}=a_1+9d$，代入已知條件$S_5=20$和$d=3$，解得$a_{10}=25$。6.$\frac{4}{5}$。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$5^2+12^2=13^2$，因此$\cosA=\frac{a}{c}=\frac{4}{5}$。7.0。由$x^2+2x+1=0$可得$(x+1)^2=0$，則$x=-1$，代入$x^3+2x^2+x+1$得$(-1)^3+2(-1)^2+(-1)+1=0$。8.$\frac{8}{17}$。由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$8^2+15^2=17^2$，因此$\tanB=\frac{a}=\frac{15}{8}$。9.9。由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$可得$a_5=a_1+4d$，代入已知條件$a_3+a_7=18$和$d=2$，解得$a_5=9$。10.1。由$x^2-5x+6=0$可得$(x-2)(x-3)=0$，則$x=2$或$x=3$，代入$x^4-5x^3+6x^2$得$2^4-5\times2^3+6\times2^2=1$。三、解答題答案及解析：1.解：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$可得$a_5=a_1+4d$，代入已知條件$a_3+a_7=18$和$d=2$，解得$a_5=9$。2.解：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$可得$a_{10}=a_1+9d$，代入已知條件$S_5=20$和$d=3$，解得$a_{10}=25$。3.解：由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$5^2+12^2=13^2$，因此$\sinC=\frac{c}{c}=\frac{3}{5}$。四、計算題答案及解析：1.解：由$x^2-4x+4=0$可得$(x-2)^2=0$，則$x=2$，代入$x^3-4x^2+x$得$2^3-4\times2^2+2=0$。2.解：由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知條件$a+b=7$和$ab=18$，解得$a^2+b^2=25$。3.解：由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，代入已知條件得$6^2+8^2=10^2$，因此$\cosA=\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。五、應用題答案及解析：1.解：小明騎自行車從家到學校用了20分鐘，如果速度提高20%，則所用時間縮短$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，即縮短了$\frac{1}{6}\times20=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$分鐘。2.解：長方形的長是寬的2倍，設寬為$x$厘米，則長為$2x$厘米，周長為$2(x+2x)=6x$厘米，代入長為10厘米得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$厘米，周長為$6\times\frac{5}{3}=10$厘米。3.解：原價為$p$元的商品打8折后售價為$0.8p$元，折扣率為$\frac{p-0.8p}{p}=\frac{0.2p}{p}=0.2=20\%$。六、證明題答案及解析：1.解：由等差數列的通項公式$a