2025年“湘道杯”大賽教學設計人教A版（2019）高中數學必修第一冊2.3二次函數與一元二次方程、不等式參賽人：唐瑛學校名：道縣第五中學2.3《二次函數與一元二次方程、不等式》教學設計教材：人教版《普通高中教科書(A版)》數學必修第一冊課題:2.3二次函數與一元二次方程、不等式

課程基本信息學科高中數學授課對象高一學生課型新授課課題二次函數與一元二次方程、不等式教學內容分析本節課是高中教材人教A版必修第一冊第二章《一元二次函數、方程和不等式》第三節第一課時的內容。它既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發展，又是本章集合知識的運用與鞏固，也為下一章函數的定義域和值域教學作鋪墊，起到鏈條的作用。同時，一元二次不等式與一元二次方程、二次函數之間聯系緊密，涉及的知識面較多，突出了歸納、轉化、數形結合的思想方法，能較好的培養學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創新意識。學生學情分析現階段學生已經學習并掌握了一元一次不等式的解法，一元一次方程的求根等基礎知識，在知識上已經具備了一定的知識經驗和基礎，在能力上初步具備了一定的觀察與總結、劃歸、探究與解決問題的能力。同時，這部分知識也與初中所學二次函數有著密切聯系，因此學生對一元二次不等式的解法有一定的興趣和積極性，但是學生能力有限，真正掌握還有一定的難度。教學目標分析1.會從函數觀點看一元二次不等式，經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程。2.會結合一元二次函數的圖像，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系。3.了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，學會如何求解一元二次不等式。4.培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想。教學重難點教學重點：一元二次函數與一元二次方程的關系，利用二次函數圖像求一元二次方程的實數根和不等式的解集;教學難點：一元二次方程根的情況與二次函數圖像與x軸位置關系的聯系，數形結合思想的運用．教學策略分析本節用二次函數的觀點看一元二次方程、不等式，需要借助二次函數圖象，數形結合地理解二次函數與一元二次方程、不等式的聯系。因此，對于解一元二次不等式，我們需要確定好研究問題的路徑是從一次到二次，從具體到一般進行歸納，概括；利用信息技術，動態呈現二次函數圖象，幫助學生從運動變化的角度去理解函數與方程、不等式的聯系．可在課前多媒體安裝Geograph畫圖軟件輔助教學。教學過程情境引入在初中，我們從一次函數的角度看一元一次方程，一元一次不等式，發現了三者之間的內在聯系，利用這種聯系可以讓我們更簡便的解決問題；類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？師生活動：教師引導學生圖片中寫出相對應的一次函數、一元一次方程，一元一次不等式（y=x+1;x+1=0;x+1>0）.思考：那對于二次函數、一元二次方程和一元二次不等式，它們之間又有何種聯系呢？要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.設計意圖：通過回憶已學知識聯系未學知識，由淺入深，循序漸進，提身學生學習數學興趣，體會數學知識之間產生的聯系，感受數學的魅力問題：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉.若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少米？思考：（1）與一元一次不等式類比，這個不等式有什么特點？（只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2）（2）根據一元一次不等式的定義，能否給這個不等式起個名字？并給出一般形式？教師總結：一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0（a≠0）或ax2+bx+c＜0（a≠0），其中a，b，c均為常數．設計意圖：經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義，打造學生建模能力，引出新知識的定義和形式，培養學生數學抽象和數建模的核心素養。新知探究一元二次不等式的定義一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式。一元二次不等式的一般表達式為ax2思考：“一元”“二次”如何理解？教師總結："一元"指的是只有一個未知數，不代表只有一個字母；"二次"指的是未知數的最高次項是2，并且最高次系數不為0。設計意圖：學生根據教師提示主動思考總結，充分理解一元二次不等式的定義及形式，體現學生的主體性地位，培養學生獨立思考分析問題，解決問題，并進行概括總結的能力。【做一做】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）?4x2+3x+1>0;(2)ax2【提示】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是【設計意圖】通過定義辨析，引導學生熟練掌握一元二次不等式特征，提高學生數學抽象的核心素養。一元二次不等式的解法探究：如何從二次函數觀點來看上面的問題，進而得到一元二次不等式的解法？思考：當x為何值時，y=0，函數圖像與x軸有什么關系？當x為何值時，y＜0，函數圖像與x軸有和關系？當x為何值時，y＞0，函數圖像與x軸有什么關系？學生回答：當點P移動到x軸上時，它的縱坐標等于0；當點P移動到x軸上方時，它的縱坐標大于0；當點P移動到x軸下方時，它的縱坐標小于0．追問1：當A點的縱坐標為0，其橫坐標怎么求?師生活動：當y＝0時，即方程x2－12x＋20＝0的解為x1＝2，x2＝10；追問2：一元二次方程x2–12x+20=0的實數根與二次函數y=x2–12x+20有什么關系？追問3：繼續觀察，二次函數y=x212x+20的兩個零點將x軸分成三段，每一段（不包括零點）對應的函數圖象函數值的特點？師生活動：當x＜2或x＞10時，函數圖象位于x軸上方，此時y＞0，即x2–12x+20＞0；當2＜x＜10時，函數圖象位于x軸下方，此時y＜0，即x2–12x+20＜0．追問4：從函數圖象上能確定矩形的邊長是多少米嗎？設計意圖：通過問題串引導學生從具體的二次函數圖象入手，了解一元二次方程的根與相應的函數圖象之間的關系，能根據函數圖象得到相應的一元二次不等式的解集，體會函數在判斷方程根的情況及求不等式解集中的作用。讓學生體會數形結合的思想方法。培養和發展數學抽象和數學直觀的核心素養。師生總結：二次函數的零點：一般地，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做二次函數y＝ax2＋bx＋c的零點．注意：(1)二次函數的零點不是點，是二次函數與x軸交點的橫坐標．(2)一元二次方程的根是相應一元二次函數的零點.探究：求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推廣到一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集嗎？對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）、一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）與相應的函數y=ax2+bx+c（a＞0）之間是否也具有類似的關系？師生活動：教師引導，學生思考，共同完善如下表格：有兩個相等的實數根沒有實數根的解集設計意圖：將具體一元二次方程、一元二次不等式和二次函數之間的聯系推廣至一般，能結合函數圖象，判斷一元二次方程的根的情況和解一元二次不等式．在推廣的過程中，體會數形結合和函數思想的應用，以及從具體到抽象、從特殊到一般的研究問題的基本方法．注意：(1)對于一元二次不等式的二次項系數為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數是負數(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數化為正數，再對照上述情況求解．思考：上述是一元二次不等式a>0的求解方法，若是a<0，那不等式又該如何求解？請同學們利用課余時間探究與討論，并仿照上述過程討論填寫“三個二次”之間的關系表格。提示：a<0是否可以轉化為a>0?亦或者a<0對于對應的一元二次函數圖像有何影響？設計意圖：利用課后時間研究不等式中的a<0，發散學生思維，并使得本節課的內容進一步鞏固提升，提高解決各類元二次不等式問題的速度與準確性，體會數學的一題多解及類比推理和歸納總結能力。應用新知思維引導：先求出對應一元二次方程的解，再結合對應的二次函數的圖象寫出不等式的解集.例2：求不等式x2+2x3>0的解集。分析：因為方程?x2?2x+3>0的a<0,可轉化為x2+解：對于方程x2+2x?3=0的判別式?<0，所以沒有實數根．畫出二次函數y=x2設計意圖：通過典型例題的解析，讓學生總結歸納，解一元二次不等式的基本步驟。練習鞏固求下列不等式的解集（1）?x2+4x?4<0

（3）x2?x+解析：x|x≠2（2）x|?1≤x(3)?(4)R2.已知不等式ax解析：a=?1設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，提高解決一元二次不等式的的能力，增強學生的數學抽象和數學直觀和數學運算的素養。課堂小結教師引導學生回顧本單元的學習內容，并回答下面的問題：（1）我們是如何研究解一元二次不等式的？（2）當a＞0時，函數y=x2+bx+c與方程ax2+bx+c=0，不等式ax2+bx+c＞0之間有什么關系？（3）請簡單說明如何解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）？設計意圖：學生根據課