第02講函數的單調性與最值復習目標1.借助函數圖像，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值；2.掌握函數單調性的簡單應用；3.會求函數的值域（最值）.考情分析（五年真題（2025年2021年）考點分布）考題示例考點分析考情分析2024年全國Ⅱ卷利用函數的單調性解不等式、函數不等式恒成立高考對單調性的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節內容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數作為研究函數的有力工具這一點，將函數的單調性本質問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了。2024年全國Ⅰ卷根據分段函數的單調性求參數2023年全國Ⅰ卷根據復合函數的單調性求參數的范圍2023年北京卷判斷函數的單調性2023年北京卷分段函數的單調性和最值2022年北京卷分段函數的最值2021年北京卷充分條件和必要條件的判斷、函數的單調性與最值必備基礎知識梳理函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．(3)函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值2.單調性的常見運算單調性的運算①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）復合函數的單調性必考題型精講精練題型一：單調性的定義及判斷命題點1：函數單調性的判斷【答案】B故選：B.⑵（2324高三上·遼寧錦州·階段練習）下列函數中，在區間（0，＋∞）上單調遞增的是（）【答案】C故選：C.【解題方法總結】判斷函數單調性的方法：⑴定義法⑵單調性的運算：增+增=增，減+減=減，增—減=增，減—增=減；⑶圖像法；⑷復合函數單調性；⑸導數法。【答案】C故選：C.C．在定義域上為增函數 D．奇函數【答案】ABD故C錯誤．故選：ABD【答案】A故選：A命題點2：利用定義證明函數的單調性【答案】(1)證明過程見解析；(2)最小值為，最大值為.【解題方法總結】利用定義判斷函數的單調性的步驟：證明如下：題型二：分段函數的單調性【答案】D故選：D.【解題方法總結】【答案】C故選：C.【答案】D故選：D.【答案】D故選：D．畫出函數圖象，如圖所示，題型三：復合函數單調性【答案】B故選：B.【答案】A故選：A【解題方法總結】增增增增減減減增減減減增復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．【答案】B故選:B．【答案】B故選：B.【答案】A故選：A.單調遞減單調遞減單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增單調遞減單調遞減題型四：根據函數的單調性求參數的范圍【答案】B故選：B．【解題方法總結】利用函數單調性求參數的取值（范圍）時，根據其單調性直接構建參數滿足的方程（組）或不等式（組）或先得到其圖像的升降，在結合圖像求解.對于分段函數，要注意銜接點的取值。【答案】D故選：D.【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.【答案】C故選：CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選：B.【答案】A故選：A.題型五：根據函數的單調性解不等式【答案】C故選：C【解題方法總結】利用單調性解不等式時，由條件脫去“”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域。【答案】D故選：D.故選：C【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.題型六：比較函數值的大小【答案】C故選：C.【解題方法總結】比較函數值的大小時，先轉化到同一單調區間內，然后利用函數的單調性解決。【答案】D故選：D【答案】D故選：D題型七：求函數值域（最值）的方法⑴二次函數的值域【解題方法總結】和一元二次函數有關的函數求值域問題可以利用配方法或利用二次函數的單調性。【答案】，【答案】3故答案為：3.⑵換元法；【答案】故答案為：【解題方法總結】換元法求值域（最值）：引入一個新的量來代替原來的量，實行“變量代換”，注意新元的范圍；【答案】1故答案為：1．⑶利用函數的單調性；【答案】D故選：D.【解題方法總結】單調性法求最值：利用函數的單調性，再根據所給定義域來確定函數的值域。⑷判別式法【答案】/0.25故所求最大值為.故答案為：.【解題方法總結】對于一些分式函數，可變形為關于的一元二次方程的形式，利用判別式法求的范圍，從而得到函數的值域或最值。【答案】；3【答案】最大值為，最小值為⑸基本不等式（或對勾函數）【答案】A故選：A.【解題方法總結】對于一些分式函數，最終可化為利用基本不等式（或對勾函數）求最值的形式。【難度】0.85【知識點】復雜（根式型、分式型等）函數的值域、基本不等式求和的最小值⑹復合函數求值域【答案】A故選：A.【解題方法總結】【答案】C故選：C【答案】D故選：D.⑺分離常數法【答案】B故選：B.【解題方法總結】分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式。【答案】A故選：A.⑻導數法A． B． C．9 D．16【答案】A故選：A.【答案】故答案為：.綜合練習：1．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的值域.2.（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的值域.真題呈現（2025年2021年真題）【答案】B故選：B.【答案】D故選：DA． B． C． D．1【答案】C故選：C.【答案】C故選：C.其中所有正確結論的序號是．【答案】②③

故答案為：②③.【答案】0（答案不唯一）；1故答案為：0（答