課時跟蹤訓練(十五)導數與函數的單調性1．在下列命題中，正確的是()A．若f(x)在(a，b)內是增加的，則對任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0B．若在(a，b)內對任意x都有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)內是增加的C．若在(a，b)內f(x)為單調函數，則f′(x)也為單調函數D．若可導函數在(a，b)內有f′(x)＜0，則在(a，b)內有f(x)＜02．y＝8x2－lnx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上分別是()A．增加的，增加的 B．增加的，減少的C．減少的，增加的 D．減少的，減少的3．已知函數f(x)＝eq\r(x)＋lnx，則有()A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)4.設f′(x)是函數f(x)的導函數，y＝f′(x)的圖像如右圖所示，則y＝f(x)的圖像最有可能是()5．函數f(x)＝(3－x2)ex的單調遞增區間是____________．6．若函數f(x)＝x3＋ax＋8的單調減區間為(－5,5)，則a的值為________．7．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數f(x)＝a·b在區間(－1,1)上是增加的，求t的取值范圍．8．已知函數f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，求f(x)的單調區間．答案1．選B由函數的單調性與導數間的關系可知選項B正確．2．選Cy′＝16x－eq\f(1,x)＝eq\f(16x2－1,x)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))時，y′<0，函數在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上是減少的，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，y′>0，函數在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增加的．3．選A∵函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋eq\f(1,x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上為增加的，∴f(2)＜f(e)＜f(3)．4．選C由y＝f′(x)的圖像可知，當x<0或x>2時，f′(x)>0；當0<x<2時，f′(x)<0，∴函數y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為增加的，在(0,2)上為減少的．5．解析：∵f(x)＝(3－x2)ex，∴f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex.令f′(x)＞0，則－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1.∴函數f(x)的單調遞增區間是(－3,1)．答案：(－3,1)6．解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解為－5<x<5，∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.答案：－757．解：由題意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，則在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在區間(－1,1)上恒成立．考慮函數g(x)＝3x2－2x＝3(x－eq\f(1,3))2－eq\f(1,3)，x∈(－1,1)顯然g(x)<g(－1)，故t≥3x2－2x在區間(－1,1)上恒成立?t≥g(－1)，即t≥5.而當t＝5時，f′(x)在(－1,1)上滿足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范圍是[5，＋∞)．8．解：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當a＜0時，對任意x∈R，都有f′(x)＞0，即a＜0時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．當a＞0時，f′(x)＞0時，解得x＞eq\r(a)或x＜－eq\r(a)，所以f(x)的單調遞增區間為(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)，f′(x)＜0時，解得－eq\r(a)＜x＜eq\r(a)，所以f(x)的單調遞減區間為(－eq\r