2.1等式性質與不等式性質TOC\o"12"\h\z\u題型1用不等式（組）表示不等關系 4題型2比較實數(shù)（式子）的大小 6題型3利用不等式的性質比較大小 9題型4利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍 12題型5證明不等式 14題型6不等式的實際應用問題 21基礎過關自測知識點一不等關系與不等式1．不等關系與不等式(1)在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，用數(shù)學符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子叫做不等式.(2)用“”或“”連接的不等式叫嚴格不等式；用“”或“”連接的不等式叫非嚴格不等式.2．用不等式組表示不等關系當問題情境中包含兩個或兩個以上的不等關系時，需要用不等式組來表示不等關系.知識點二實數(shù)，大小的比較1．實數(shù)的特征(2)任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實數(shù).2．實數(shù)大小比較的依據(jù)(1)在數(shù)軸上，不同的點與點分別表示兩個不同的實數(shù)與，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，則點，在數(shù)軸上的位置及實數(shù)與的大小關系如圖所示：(2)關于實數(shù)，大小的比較，有以下基本事實(也稱公理)：注：=1\*GB3①“?”符號的左邊反映的是實數(shù)的大小，右邊反映的則是實數(shù)的運算性質，合起來就是實數(shù)的大小與運算性質之間的關系.它是不等式這一章的理論基礎，也是不等式性質的證明、證明不等式和解不等式的主要依據(jù).=2\*GB3②從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉化為比較它們的差與的大小.3．實數(shù)比較大小的基本方法比較兩個實數(shù)的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法.作差法作商法乘方法依據(jù)應用范圍多項式、分式、根式或對數(shù)式之間的比較(對數(shù)式后面會學習)同號兩數(shù)比較大小或指數(shù)式之間比較大小(指數(shù)式后面會學習)要比較的兩數(shù)(式)中有根號步驟(1)作差;(2)變形;(3)判斷差的符號；(4)下結論(1)作商;(2)變形;(3)判斷商值與的大小；(4)下結論(1)乘方;(2)用作差法或作商法知識點三等式的性質性質性質性質性質性質知識點四不等式的性質別名性質內(nèi)容注意性質1對稱性可逆性質2傳遞性同向性質3可加性可逆性質3的推論移項法則可逆性質4可乘性的符號性質5同向可加性同向性質6同向同正可乘性同向同正性質7可乘方性同正=3\*GB3③注意不等式的單向性和雙向性，也就是說每條性質是否具有可逆性.性質和性質及性質的推論是可逆的，其余的性質在一般情況下是不可逆的.=4\*GB3④在使用不等式的性質時，一定要搞清楚它們成立的前提.例如，性質要求兩個不等式為同向不等式；性質要求兩個不等式為同向不等式且兩不等式同正.拓展點1不等式性質的拓展1．不等式性質和性質的推廣2．不等式的倒數(shù)法則注：=1\*GB3①使用不等式的倒數(shù)法則的前提是被比較的兩個數(shù)需同正或同負，取倒數(shù)后不等號要“變號”.=2\*GB3②在使用不等式的性質進行解題時，需要變號的情形有兩種，同乘負數(shù)或者取倒數(shù)，即“乘負數(shù)，取倒數(shù)要變號”題型1用不等式（組）表示不等關系1．（2324高一上·云南曲靖·期中）下列說法正確的是（

）【答案】C【知識點】用不等式表示不等關系【分析】利用不等式表示不等關系逐個選項判斷即可.故選：C【答案】D【知識點】用不等式表示不等關系【分析】根據(jù)總時長小于1列不等式，即汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時即得．故選：D．3．（2425高一上·河南·階段練習）在某校新生軍訓考核評比中，甲班的分數(shù)大于乙班的分數(shù)，甲班和乙班的分數(shù)之和大于170，且不大于190.設甲班和乙班的分數(shù)分別為，則用不等式組表示為（

）【答案】D【知識點】用不等式表示不等關系【分析】根據(jù)題意列出不等關系即可.故選：D4．（2324高一上·浙江嘉興·階段練習）下列關于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.【知識點】用不等式表示不等關系、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】將問題轉化為證明不等式成立，然后利用差比較法證得不等式成立.【詳解】（1）設糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克糖，不妨用作差比較法，證明如下：（2）設原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，題型2比較實數(shù)（式子）的大小【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法比較數(shù)的大小可得結論；【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】（1）（2）應用作差法比較代數(shù)式的大小關系即可.7．（2324高一上·貴州六盤水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大小：注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小、作商法比較代數(shù)式的大小②用作差法比較即可；③用作差法或作商法比較即可.【詳解】解：題型3利用不等式的性質比較大小【答案】CD【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】應用作差法計算比較判斷A，應用不等式性質計算判斷C，D，應用特殊值法計算判斷B.故選：CD.A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質及充分不必要條件定義判斷求解.故選：B.10．(多選)（2223高一上?河南濮陽?期中）下列不等式中不成立的是（

）【答案】AC【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)特值，不等式的性質及作差法逐項分析即得.故選：AC.11．(多選)（2425高一上·湖南郴州·期末）下列命題為真命題的是（

）【答案】BC【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用不等式的性質，結合作差比較大小的方法，逐項判斷即得.故選：BC12．(多選)（2425高一上?重慶?階段練習）下列說法中，正確的是（

）【答案】BC【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】賦值法驗證A，由不等式的基本性質驗證BD，作差法驗證C.故選：BC13．(多選)（2425高一上·江西吉安·期末）對于實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（

）【答案】BCD【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.故選：BCD.題型4利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍【知識點】利用不等式求值或取值范圍(1)求x的取值范圍【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）兩不等式相加可求x的取值范圍；【知識點】利用不等式求值或取值范圍【答案】C【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小故選：C題型5證明不等式18．（2324高一上?陜西榆林?期中）證明下列不等式：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質證明不等式（2）利用作差法證明即可.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質，可得答案.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【知識點】由不等式的性質證明不等式方法三：幾何法，構造符合題意的幾何圖形；方法四：幾何法直線與交于點，方法三：幾何法【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【知識點】分析法證明、反證法證明22．（2425高一上·遼寧·階段練習）根據(jù)要求完成下列問題：(2)證明見解析【知識點】充要條件的證明、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、由不等式的性質證明不等式【分析】（1）①根據(jù)的符號去絕對值即可證不等式成立；②根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質可證明不等式成立；題型6不等式的實際應用問題23．（2425高一上·山西晉中·期末）為衡量房屋的采光效果，行業(yè)一般采用窗地面積比（房間窗洞口面積與該房間地面面積的比值）作為標準，民用住宅的窗地面積比應不小于10%，且不超過50%，而且這個比值越大，采光效果越好.設某住宅的窗洞口面積與地面面積分別為a，b.(1)若這所住宅的地面面積為100，求這所住宅的窗洞口面積的范圍；(2)若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎上都增加了x，判斷這所住宅的采光效果是否變好了，并說明理由.(2)變好，理由見解析【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）依題意得出不等關系，解不等式即可得出結果；（2）利用作差法計算比較出大小，可得結論.所以窗洞口和地面同時增加了相等的面積，住宅的采光效果變好了.(1)試找出與之間的不等量關系式；(2)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、用不等式表示不等關系（2）兩個矩形的面積可以用和來表示，根據(jù)之間的不等關系及二次函數(shù)的最值，可求出面積的最大值.一、單選題1．某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案B為第一年投資80萬，以后每年投資20萬．下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（

）【答案】D【知識點】用不等式表示不等關系方法總結

用不等式（組）表示不等關系的步驟1．審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語；2．適當?shù)卦O未知數(shù)表示變量；3.用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式（組）．【答案】C【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小故選：C.【答案】D【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質，結合舉反例的方法，逐項檢驗，可得答案.故選：D.4．（2425高一上·四川內(nèi)江·期末）下列命題是真命題的是（

）【答案】D【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確、判斷命題的真假【分析】對于ABC：舉反例說明即可；對于D：利用作差法分析判斷即可.故選：D.【答案】B【知識點】利用不等式求值或取值范圍故選：B.【答案】D【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小故選：D【答案】D【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】通過觀察三個數(shù)的特征可知最大，再利用作差法判斷即可得出結果.故選：D8．（2425高一上·湖南湘潭·期中）兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降，有以下兩種方案：甲方案是每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙方案是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.對于以下兩種購物方案的優(yōu)惠程度的說法正確的是（

）A．甲方案更優(yōu)惠 B．乙方案更優(yōu)惠C．甲乙一樣優(yōu)惠 D．無法確定【答案】B【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小故選：B二、多選題9．（2425高一上·湖南婁底·期末）下列命題為真命題的是（

）【答案】BD【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質比較數(shù)（式）大小【分析】A.取特殊值判斷；B.利用不等式性質判斷；C.取特殊值判斷；D.利用作差法判斷.故選：BD10．（2425高一上·廣東佛山·期中）在下列四個命題中，正確的是（

）【答案】ACD【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質，即可求解ACD，舉反例即可求解B.故選：ACD．【答案】ACD【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質逐項推理求解判斷.故選：ACD.三、填空題【答案】必要不充分條件【知識點】判斷命題的必要不充分條件、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及不等式的性質得解.故答案為：必要不充分條件【答案】【知識點】由不等式的性質比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】將兩式分別平方，作差，根據(jù)不等式的基本性質，判斷符號，得到大小關系.故答案為：.【答案】①②④【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質或取特殊值依次討論各選項即可得答案.故答案為：①②④.四、解答題【知識點】由不等式的性質證明不等式、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】（1）利用比較法，作差即可判斷大小：（2）結合不等式性質即可證明．【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、利用不等式求值或取值范圍【分析】（1）利用作差法即可判斷大小.【答案】第二種購買方式更有利于控制投資成本.【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】分別求出兩種投資方式的平均單價，利用作差法比較它們的大小，可得結論.故第二種購買方式更有利于控制投資成本.18．（2425高一上·上海·期中）王老師和高老師一起去糧店打醬油共三次，王老師每次打100元醬油，高老師每次打100斤醬油，由于醬油市場瞬息萬變，每次打的醬油價格都不相