專題1.51.6兩條直線的交點坐標，平面直角坐標系中的距離公式教學目標1.學會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標;2.掌握平面直角坐標系中兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，并能簡單應用;3.能準確求出兩平行直線間的距離;4.會用解析法證明幾何問題.教學重難點1.重點(1)會求兩條相交直線的交點坐標，并利用解方程組法判斷兩直線位置關系；(2)能靈活運用各種距離公式解決問題．2.難點(1)理解方程組的解和兩直線交點坐標的對應關系；(2)會用解析法證明幾何問題．知識點01兩條直線的交點坐標（重點）1．兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系設兩直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)，一組無數組無解直線l1和l2的公共點個數一個____________直線l1和l2的位置關系相交_____________【知識剖析】求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數．【即學即練】1.（2425高二上·全國·課后作業）直線3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交點坐標為（

）A．-4,-3 B．4,3 C．-4,3 D．3,4知識點02兩點間的距離公式（重點）【知識剖析】此公式與兩點的先后順序無關,也就是說公式也可以寫成|AB|=(x【即學即練】1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則eq\f(|AC|,|CB|)的值為()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.3 D.22.（2025山東濟南高二上聯考）若x軸的正半軸上的點M到原點的距離與點(5，－3)到原點的距離相等，則點M的坐標為()A.(－2,0)B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))D．(eq\r(34)，0)3.（2025貴州貴陽高二上聯考）直線2x＋my＋2＝0(m≠0)與兩坐標軸的交點之間的距離為________．知識點03點到直線的距離公式（重點）【知識剖析】（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；【即學即練】A． B．2 C． D．1A．4 B． C．4或 D．或知識點04兩平行線間的距離公式（重點）兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)間的距離公式為(A2+B2≠0).【知識剖析】（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；【即學即練】A．1 B．2 C．3 D．4A． B． C． D．1知識點05過兩直線交點的直線系方程（拓展）1.過兩相交直線交點的直線系方程設直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2(A1,B1不同時為0,A2,B2不同時為0),則過l1,l2的交點的直線系方程為(其中m,n為參數,且m2+n2≠0).當m=1,n=0時,此方程即為直線l1的方程;當m=0,n=1時,此方程即為直線l2的方程.上面直線系方程也可以改寫為A1x+B1y+C1+γ(A2x+B2y+C2)=0(其中γ為參數).γ=0時表示直線l1,但無論γ取什么實數,都不能表示直線l2.如果要包括直線l2,則可改寫為A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)=0(其中λ為參數),但是此直線系不包括直線l1.2.直線過定點問題因為直線A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ)表示過直線A1x+B1y+C1=0和直線A2x+B2y+C2＝0的交點的直線，所以含參數的直線過定點問題，常先將直線方程轉化為f(x,y)+λg(x,y)=0的形式，再令f(x,y)=0且g(x,y)=0，則該方程組的解即為直線所過定點的坐標.【即學即練】2．經過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程為．題型01求兩直線的交點坐標【典例】（2425高二上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）直線l1:3x-4y+5=0與l2A．2,3 B．73,3 C．3,7求兩條直線的交點坐標,一般將兩條直線的方程聯立,若方程組有唯一解,則兩條直線相交(含垂直相交),此解就是交點坐標.【變式1】（2425高二上·全國·課后作業）已知直線l1經過A1,-1,B2,-2兩點，則直線l2:x-4y-13=0A．1,-1 B．5C．135,-13【變式2】已知直線l1:x+2y+1=0與直線l2:4x+ay-2=0垂直，則l1A．15,-35 B．-35A．2 B．4 C．6 D．8題型02判斷兩直線的位置關系——方程組法【典例】判斷下列各組直線的位置關系,若相交,求出交點的坐標.(1)l1:xy=0,l2:3x+3y10=0;(2)l1:3xy+4=0,l2:6x2y1=0;(3)l1:3x+4y5=0,l2:6x+8y10=0.利用方程組法判斷兩條直線的位置關系的具體策略為：第一步：列方程組，將兩條直線的方程聯立,得到方程組QUOTE；第二步：解方程組；第三步：根據方程組解的個數進行判斷，若方程組有唯一解,則兩條直線相交(含垂直相交),此解就是交點坐標;若方程組無解,則兩條直線平行;若方程組有無數組解,則兩條直線重合.A．相交，且交點在坐標原點 B．相交，且交點在第一象限C．相交，且交點在第二象限 D．相交，且交點在第四象限①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數多解，則兩直線重合．其中說法正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．0A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點題型03求過交點的直線方程【變式2】經過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．題型04三條直線的交點問題A． B． C． D．0A． B．1C． D．1.三條直線相交于一點、兩點的破解策略.(1)證明三條直線共一點時，只要將其中兩條直線的交點代入第三條直線方程，方程成立即得證.(2)已知三條直線交于一點，要求直線方程中的參數，只需求出其中兩條直線的交點，再將交點坐標代入第三條直線的方程，便可得到關于參數的一個方程，解方程即得所求.(3)若三條直線相交于兩點，則必有兩條直線互相平行，且均與第三條直線相交,以上述結論為出發點進行思考即可.2.三條直線相交于三點的破解策略(1)若三條直線有三個不同的交點，則需滿足兩個條件：①其中兩條直線的交點不在第三條直線上；②三條直線斜率不同．(2)一類常見題型是三條直線構成三角形求參數的取值范圍,此時往往用補集思想求解.A．2組 B．3組 C．4組 D．5組A． B．3 C．1 D．題型05恒過定點問題【典例】求證:無論m為何實數,直線(m1)x+(2m1)y=m5都過定點.解含有參數的直線過定點問題的方法:(1)特殊值法:任給直線中的參數賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點就是含參數的直線所過的定點,從而問題得解.(2)分離參數法：將直線方程分項整理,含參數的并為一項,不含參數的并為一項,整理成等號右邊為零的形式,然后令含參數的項和不含參數的項分別為零得方程組,方程組的解即為所求定點的坐標.【變式1】求證:無論m取什么實數,直線(2m1)x+(m+3)y(m11)=0都經過一個定點,并求出這個定點的坐標.（1）求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標；（2）若直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.題型06對稱問題(1)點A關于直線l的對稱點的坐標;1.直線關于點對稱設直線l1與l2關于點P對稱,這時其中一條直線上任一點關于點P對稱的點在另一條直線上,并且l1//l2,點P到直線l1,l2的距離相等.2.直線關于直線對稱直線l1與l2關于直線l對稱,它們具有以下幾何性質:①若l1與l2相交,則直線l是l1,l2夾角的平分線所在直線;②若l1與l2平行,則直線l在l1,l2之間且到l1,l2的距離相等;③若點A在l1上,則點A關于直線l的對稱點B一定在l2上,此時AB⊥l,且線段AB的中點M在l上(即l是線段AB的垂直平分線).充分利用這些性質,可以得出多種求直線l2的方程的方法.【變式1】直線l:y=3x+3關于點A(3,2)的對稱直線的方程為.題型07利用兩點間的距離公式求線段的長若已知兩點間的距離及兩點的坐標,并且坐標中含有參數,則可利用兩點間的距離公式列方程求出參數.題型08利用兩點間的距離公式判斷多邊形的形狀（1）三角形形狀的判斷：利用兩點間的距離公式計算出各邊的長度,根據邊相等可以判斷是等腰或等邊三角形,根據勾股定理的逆定理及其推廣可以判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形.（2）四邊形形狀的判斷：利用兩點間的距離公式計算各邊的大小，再結合各邊斜率之間的關系，便可判斷各邊是否平行或垂直，對邊、鄰邊是否相等，從而得到該四邊形的形狀.A．平行四邊形 B．正方形 C．菱形 D．矩形【變式2】已知三個點A(3,1),B(3,3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.題型09點到直線距離公式的應用點到直線距離公式的應用主要是求線段的長度、判定三角形的形狀、求三角形的面積或根據距離求參數的值等.解決此類問題的關鍵是正確運用公式,并進行合理轉化.A．或 B．或 C．或 D．或A．1 B． C． D．2題型10兩平行線間距離公式的應用A．或8 B．或9 C．或2 D．或2利用兩平行線間的距離公式求距離的步驟：第一步：將兩條直線的方程轉化為一般式方程；第二步：轉化兩條直線的方程中的一個方程，使得它們x，y的系數對應相同；第三步：使用公式直接求解兩條平行直線間的距離.A． B．23 C．13或23 D．或題型11與距離有關的最值問題【典例2】（2425高二上·廣東廣州·階段練習）已知點P(x,y)在直線x-y-1=0上的運動，則(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14點到直線的距離是點與直線上的點的距離的最小值，兩條平行直線間的距離是在兩條平行直線上各任意取一點所得兩點間距離的最小值，它們的應用非常廣泛，在某些證明問題或最值問題的解答中尤其常見.最值問題的常用求法有兩種：(1)利用解析幾何知識，先設一個函數，然后用函數求最值的方法進行求解.(2)幾何法：根據幾何圖形直觀判斷哪種情況下取得最值.常用結論有：兩點之間線段最短；直角三角形的斜邊大于直角邊；三角形的兩邊之和(差)大(小)于第三邊.【變式1】（2425高二上·廣東汕頭·期中）點A2,-4到直線l:mx-y-4m-8=0（m為任意實數）的距離的最大值是（A．5 B．25 C．4 D．【變式2】（2425高二上·山西·期中）已知點A1,2，直線l：λ+2x+1-λy+2λ+7=0λ∈R，則AA．3 B．10 C．32 D．【變式3】（2425高二上·廣東廣州·階段練習）已知點P(x,y)在直線x-y-1=0上的運動，則(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14題型12利用距離公式解決函數的最值問題【典例】（2425高二上·黑龍江·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：x-a2+y-b2可以轉化為平面上點Mx,y與點NA．210 B．22 C．2+對于若干個根式函數之和或差的函數，有時可將根號內的式子進行轉化，轉化為各點間的距離之和或差的問題，再數形結合，借助圖象求其最值.題型13距離的實際應用對于距離的實際應用題，求解的關鍵是審題，通過審題并畫出圖形，將實際問題轉化為各種距離之間的關系，再利用距離公式求解.一、單選題2．（2425高二上·全國·課后作業）已知點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB的中點M的坐標是3,4，則AB=（

A．10 B．5 C．8 D．64．（2425高二上·廣東東莞·階段練習）若直線l1：x+2y-4=0與直線l2：kx-y+2k+1=0的交點位于第一象限，則實數k的取值范圍是（A．-16,C．-∞,-16．（2425高二上·四川綿陽·階段練習）若點m,n在直線l：3x+4y-13=0上，則m-12+nA．2 B．4 C．5 D．3A．12 B．14 C．16 D．208．（2425高二上·陜西寶雞·期中）已知三條直線l1:y=x+1，l2:y=-2x+4，l3A．1,-2 B．1,-2,3C．-1,2,-3 D