課時跟蹤訓練(五)橢圓及其標準方程1．橢圓25x2＋16y2＝1的焦點坐標是()A．(±3,0) B．(±eq\f(1,3)，0)C．(±eq\f(3,20)，0) D．(0，±eq\f(3,20))2．若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為()A．5 B．6C．4 D．13．已知橢圓的焦點F1(－1,0)，F2(1,0)，P是橢圓上的一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則該橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝14．兩個焦點的坐標分別為(－2,0)，(2,0)，并且經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))的橢圓的標準方程是()A.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1 B.eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1C.eq\f(x2,\f(9,4))＋eq\f(y2,\f(25,4))＝1 D.eq\f(y2,\f(9,4))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝15．橢圓5x2－ky2＝5的一個焦點是(0,2)，那么k＝________.6．設P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上一點，F1，F2是其左、右兩焦點，若|PF1|·|PF2|＝8，則|OP|＝________.7．求以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經過點M(2，eq\r(6))的橢圓的標準方程．8．點P為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．答案1．選D橢圓的標準方程為eq\f(x2,\f(1,25))＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，故焦點在y軸上，其中a2＝eq\f(1,16)，b2＝eq\f(1,25)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(1,16)－eq\f(1,25)＝eq\f(9,400)，故c＝eq\f(3,20).所以該橢圓的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20)))，故選D.2．選A由橢圓的定義知a＝5，點P到兩個焦點的距離之和為2a＝10.因為點P到一個焦點的距離為5，所以到另一個焦點的距離為10－5＝5，故選A.3．選C∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，又∵|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b2＝3.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4．選A由橢圓定義知：2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(3\r(10),2)＋eq\f(\r(10),2)＝2eq\r(10).∴a＝eq\r(10).∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(6).5．解析：橢圓方程可化為：x2＋eq\f(y2,－\f(5,k))＝1，則a2＝－eq\f(5,k)，b2＝1，又c＝2，∴－eq\f(5,k)－1＝4，∴k＝－1.答案：－16．解析：由題意，|PF1|＋|PF2|＝6，兩邊平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因為|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2為鄰邊做平行四邊形，則|OP|正好是該平行四邊形對角線長的一半．由平行四邊形的性質知，平行四邊形對角線長的平方和等于四邊長的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝eq\r(6).答案：eq\r(6)7．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.則焦點是F1(0,2)，F2(0，－2)．設橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵M在橢圓上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝eq\r(2－02＋\r(6)－22)＋eq\r(2－02＋\r(6)＋22)＝(2eq\r(3)－eq\r(2))＋(2eq\r(3)＋eq\r(2))＝4eq\r(3)，∴a＝2eq\r(3)，即a2＝12.∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.法二：由題意知，焦點F1(0,2)，F2(0，－2)，則設所求橢圓方程為eq\f(y2,λ＋4)＋eq\f(x2,λ)＝1(λ＞0)，將x＝2，y＝eq\r(6)代入，得eq\f(6,λ＋4)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．所求橢圓方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.8．解：由題意知，a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，|PF1|＋|PF2|＝4.①在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|