第10講三角形中的幾條重要線段內容導航——預習三步曲第一步：導串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標明確內容掌握第二步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練考點強知識：10大核心考點精準練第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識導圖梳理學習目標明確1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念；2.利用三角形的高、中線與角平分線的性質進行相關計算；3.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線知識點1三角形的高、中線、角平分線三角形的高三角形的中線三角形的角平分線定義從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖示作法過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．性質∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12“三線”的交點：一個三角形有三條中線、三條角平分線、三條高，它們所在直線都分別相交于一點：線的名稱線的位置交點位置高銳角三角形：三條高都在三角形內部垂心直角三角形：其中兩條高恰好與兩條直角邊重合鈍角三角形：其中兩條高在三角形外部中線三條中線都在三角形內部重心角平分線三條角平分線都在三角形內部內心A．角平分線 B．中線 C．高線 D．無法確定【答案】C故選：C．2．（2122七年級下·全國·單元測試）三角形的三條高、三條角平分線、三條中線都分別相交于一點，且交點一定在三角形內部的是（

）A．角平分線、高 B．中線、高C．角平分線、中線 D．以上都不對【答案】C【分析】根據三角形的三條高、三條角平分線、三條中線交點的位置，即可進行解答．【詳解】解：銳角三角形的三條高的交點在三角形內部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內部；三角形三條中線的交點在三角形內部；故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三心位置，解題的關鍵是掌握銳角三角形的三條高的交點在三角形內部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內部；三角形三條中線的交點在三角形內部．A．中線、角平分線、高線 B．角平分線、高線、中線C．高線、中線、角平分線 D．角平分線、中線、高線【答案】B【分析】本題考查了軸對稱的性質及三角形的角平分線、中線和高線，解題關鍵是熟知三角形角平分線、中線和高線的定義．根據三位同學的折紙示意圖，結合三角形角平分線、中線和高線的定義求解．故選：B．【答案】D【分析】根據三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關鍵．∵是角平分線，∵是高，故選：D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線，熟練掌握三角形的高線、中線、角平分線的定義是解題的關鍵．根據三角形的高線、中線、角平分線的定義，逐項分析即可即可判斷．結合選項可知，A、B、D選項不符合題意，C選項符合題意；故選：C．【題型1三角形的高、中線與角平分線的概念】1．（2425七年級下·山西太原·開學考試）下列結論正確的是（

）A．鈍角三角形的三條角平分線的交點在三角形的外部B．銳角三角形的三條高的交點在三角形的外部C．三角形的重心是三角形三條中線的交點D．直角三角形的三條中線的交點在斜邊的中點【答案】C【分析】本題考查了三角形角平分線、高、中線、重心等概念，根據三角形角平分線、高、中線、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解題的關鍵．【詳解】解：、鈍角三角形的三條角平分線的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；、銳角三角形的三條高的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；、三角形的重心是三角形三條中線的交點，原選項結論正確，符合題意；、直角三角形的三條中線的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；故選：．A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高【答案】B【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．根據三角形的一個頂點到對邊的垂線段叫做三角形的高對各選項分析判斷后利用排除法求解．故選：B．【答案】A【分析】本題考查三角形的角平分線，中線、高線，折疊問題，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線，由此即可判斷，關鍵是掌握三角形的中線的定義，折疊的性質．故選：A．【答案】B故選：B．A．高線 B．角平分線 C．中線 D．以上都不是【答案】B故選：B．6．（2425七年級下·上海青浦·階段練習）下列說法中，正確的是（）A．三角形的高、中線是線段，角平分線是射線B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部C．鈍角三角形的三條角平分線在三角形的外部D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的直線叫作三角形的中線【答案】B【分析】本題考查與三角形有關的線段，解題的關鍵是理解三角形的高、中線、角平分線的定義，據此分析即可．【詳解】解：A．三角形的高、中線、角平分線都是線段，故此選項不符合題意；B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部，故引選項符合題意；C．鈍角三角形的三條角平分線都在三角形的內部，故此選項不符合題意；D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線，故此選項不符合題意．故選：B．【題型2畫三角形的高、中線或角平分線】(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長（提示：的長等于5）．【答案】(1)見解析【分析】此題考查了作三角形的高線和中線，等面積法求三角形高，（1）取格點D，連接即為邊上的高；取格點H，連接交于點E，中線即為所求；（2）取格點G，連接交的延長線于點F，高即為所求，然后根據面積法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，高和中線即為所求；（2）如圖所示，邊上的高即為所求；∵的長等于5【答案】見解析【分析】此題考查了尺規作角平分線，垂直平分線，作三角形的角平分線，高線和中線，【詳解】如圖所示，高，中線，角平分線即為所求．(2)畫出邊上的中線；(3)畫出邊上的高；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)5【分析】本題考查了作圖—基本作圖，利用中線的性質求三角形面積．（1）利用角平分線的作法作出即可；（2）作的垂直平分線交于點，連接即可；（3）利用垂線的作法作圖即可；【詳解】（1）解：如圖，即為所作；（2）解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，則為邊上的中線．（3）解：如圖，過點向的延長線作垂線段，垂足為，則為邊上的高．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據題意，作出垂線段；（2）在網格上的中點，連結；（3）根據角平分線的定義作圖即可；【詳解】（1）解：根據題意作圖如下；（2）解：根據題意作圖如下；（3）解：根據題意作圖如下；【點睛】本題考查垂線的定義，中線的定義，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關定義作圖是解題的關鍵；【題型3網格中計算三角形的面積】A． B． C． D．【答案】C故選：C．A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查坐標與圖形，三角形的面積．根據點的坐標，用割補法求解即可．【詳解】解：如圖，故選：B．【答案】3【分析】此題考查了網格中求三角形的面積，利用網格的特點進行解答即可．故答案為：34．（2223七年級上·廣西防城港·開學考試）如圖中每個小方格的面積都是1平方厘米，陰影部分的面積是．【答案】5.5平方厘米【詳解】解：如圖所示，∵圖中每個小方格的面積都是1平方厘米，∴圖中每個小方格的邊長都是1厘米，故答案為：5.5平方厘米．(1)畫出平面直角坐標系，并寫出點E的坐標；【分析】此題考查坐標確定位置，關鍵是根據A，B兩點的坐標確定平面直角坐標系解答．（1）根據A，B兩點的坐標確定平面直角坐標系即可；根據點E的位置寫出坐標即可；（2）連接，與x軸交點，即為點P．【詳解】（1）解：如圖所示：∵若點在軸上，且與點在直線的同側，

【答案】B故選：B．【題型4等底同高的三角形的有關的計算】【答案】A【分析】本題考查了行線間的距離處處相等，熟練掌握定理是解題的關鍵．根據平行線間的距離處處相等，判定三角形的高相等，根據同底，等高的三角形面積相等判斷即可．點到直線的距離與點到直線的距離相等，故選：A．A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】解：如圖，滿足條件的點有6個；故選：D．【答案】B【分析】本題考查平行線間的距離，根據平行線間的距離處處相等，以及同底等高的三角形的面積相等，即可得出結果．故選B．【答案】4∴點B到的距離等于點C到的距離，故答案為：4．【問題思考】∵是的中點，請你獨立嘗試完成小悟同學的說理過程．【分析】本題考查三角形中線的性質、平行線的性質及三角形的面積，【問題思考】（1）根據三角形中線的性質及三角形的面積可得結論；（2）根據平行線的性質及三角形的面積可得結論；【深入思考】根據問題思考的結論即可得證；【推廣探究】根據問題思考的結論即可得證；理解并掌握問題思考的結論并靈活運用是解題的關鍵．故答案為：；故答案為：；∵是的中點，【推廣探究】證明：∵點是的中點，則直線即為所求直線．【題型5與三角形高有關的計算】A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵是邊上的高，是邊上的高，故選：B．【答案】C【詳解】解：∵是高，故選：．A．9 B．18 C．36 D．72【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的外角和定理，含角直角三角形，三角形的面積公式，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．故選：A．【答案】【分析】本題考查了三角形內角和、含角直角三角形的性質及三角形面積公式，解題關鍵是通過角的度數推出邊的關系，進而得出面積比．∵是高，故答案為：．【答案】9故答案為：9．【題型6利用三角形的中線計算三角形的周長】A．22 B．18 C．28 D．20【答案】A∵點是邊上的中點，故選：A．【答案】B故選：B．【答案】22【分析】本題考查的是三角形的中線，根據三角形中線的特點進行解答即可．故答案為：22．【分析】本題考查了倍長中線，全等三角形的判定和性質，三角形三邊數量關系，掌握構造三角形全等，三角形三邊數量關系是解題的關鍵．【題型7利用三角形的中線計算三角形的面積】【答案】B【分析】本題考查了三角形中線的性質，熟練掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題的關鍵．利用中線的性質即可求解．故選：B．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．根據三角形的中線與面積公式即可得到結論．∵E是的中點，故選：A．A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接，，，點，，分別是線段，，的中點，故選：C．【答案】6故答案為：6．【答案】4/【分析】本題考查了三角形中線的意義，三角形面積的性質，解方程，熟練掌握中線的意義是解題的關鍵．故答案為：4．故答案為：．【題型8與角平分線有關的角度計算】A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，角平分線的尺規作圖，熟練掌握角平分線的尺規作圖描述語言是解題關鍵．故選：A．

A． B． C． D．【答案】C故選：C．【答案】故答案為：．【題型9應用等面積法求線段長】【答案】2【分析】本題主要考查了三角形的面積，解題的關鍵是構造輔助線，熟練掌握勾股定理，直角三角形的面積有兩種表示方法：一是整體計算；二是等于三個小三角形的面積和，這也是列方程的依據．故答案為：2．A．5 B．10 C．8 D．6【答案】B【詳解】解：連接，故選：B．【答案】C故選：C．(2)當點在延長線上時（點在點的右邊），、、之間又有什么樣的結論，請你寫出結論，并說明理由（可利用圖2作圖進行證明）．【點睛】此題是一次函數綜合題，主要考查了一次函數的應用、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是相交添加常用輔助線，學會利用面積法證明線段之間的關系，屬于中考常考題型．【題型10探究三角形的邊、角、線】【答案】(1)【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的性質以及三角形高線的性質，解題的關鍵是利用這些性質求出相關角的度數，進而找出角之間的關系．是邊上的高線，是邊上的高線，證明過程如下：如圖，∵是邊上的中線，【運用】（3）如圖②，當點D為中點時，試判斷與的數量關系，并說明理由．【分析】本題考查了中線平分三角形的面積，割補法求三角形的面積．【詳解】解：（1）依題意，邊上的高如圖所示：∵點D為中點，【答案】等腰三角形，證明見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．熟練掌握概念是解題的關鍵．根據三角形的高的定義對各個圖形觀察后解答即可．【詳解】解：根據三角形高線的定義，邊上的高是過點B向作垂線垂足為E，縱觀各圖形，D選項符合高線的定義，故選：D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形中線的性質，熟知三角形的中線平分三角形的面積是正確解答此題的關鍵．∵點是的中點，故選B．3．（2425八年級上·河北邢臺·期中）若一個三角形三條高線交點始終在其內部，則這個三角形是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查三角形的高，根據高的概念，鈍角三角形的三條高所在的直線的交點在三角形的外部；銳角三角形的三條高的交點在三角形的內部；直角三角形的三條高的交點是三角形的直角頂點．【詳解】解：一個三角形的三條高所在直線的交點始終在其內部，那么這個三角形是銳角三角形．故選：A．【答案】D【分析】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據三角形的中線的概念得到BD＝DC，再根據三角形周長公式計算即可．【詳解】解：∵是邊上的中線，故選：D．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了三角形的中線和高線，熟練掌握三角形的中線平分三角形的面積，是解題的關鍵．故選：B．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查垂線段最短，高、中線、角平分線的定義，熟練掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短是解題的關鍵．利用垂線段最短即可解決．∴是點到直線的垂線段，利用連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，可得最短，故選：A．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D故選：D．A．三條角平分線交點 B．三條中線交點C．三邊垂直平分線交點 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了三角形的中線的交點的概念．根據三角形的中線交點的含義進行判斷即可．【詳解】解：如圖，點、分別是、的中點，故選：B．【答案】D【分析】本題考查了三角形的中線，角平分線，高的定義，熟練掌握三角形的中線，角平分線，高的定義是解題的關鍵．根據三角形的中線，角平分線，高的定義逐項分析判斷即可求解．根據題意無法判斷與的大小關系，符合題意；故選：DA．60 B．120 C．90 D．100【答案】B【分析】本題考查圖形的拼剪，長方形的性質，三角形的面積等知識，根據圖形的拼剪，求出以及邊上的高即可解決問題．故選：B．A．1 B．3 C．2 D．【答案】C【分