專題09不等式的求解（知識梳理+7對點集訓(xùn)+基礎(chǔ)過關(guān)+拓展提優(yōu)）1.掌握一元二次不等式、分式不等式、絕對值不等式的解法(重點).2.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點).知識點01：不等式的解集與不等式組的解集1、在含有未知數(shù)的不等式中，能使此不等式成立的未知數(shù)的值稱為該不等式的解.2、一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集；3、一個不等式的解的全體所組成的集合稱為此不等式的解集；4、求不等式解集的過程稱為不等式的求解，或解不等式；5、將多個含有同樣的未知數(shù)的不等式聯(lián)立起來，即得到不等式組.6、對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集；【注意】若不等式中所含不等式解集的交集為時，則不等式組的解集為；知識點02：一元二次不等式1、一元二次不等式的概念一般地，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式；【注意】一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式；2、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；3、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識，就可以得到原不等式的解集。4.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系。判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(不妨設(shè)x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像5.一元二次不等式在求解時應(yīng)當(dāng)注意事項（1）化標(biāo)準(zhǔn)：通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正；（2）①因式分解；②判別式：對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式；（3）求實根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根；（4）畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖；（5）寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集。知識點03：分式不等式的解法1、分式不等式的定義：分母中含有未知數(shù)字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一個未知數(shù)的分式不等式叫做一元分式不等式。分式方程：將所求分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解來解決即可，注意求解后根的檢驗，要使得方程是有意義的。2、分式不等式的解法：基本思路：應(yīng)用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式。在此過程中，變形的等價性尤為重要。知識點04：簡單絕對值不等式的解法1、絕對值不等式（1）絕對值不等式的概念：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式；（2）數(shù)軸上兩點之間的距離公式及中點坐標(biāo)公式：一般地，如果實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為|AB|＝|a－b|，線段AB的中點M對應(yīng)的數(shù)x＝eq\f(a＋b,2)．【注意】（1）求線段AB的長|AB|時，不要忽視絕對值；（2）線段AB的中點坐標(biāo)與A、B兩點的順序無關(guān)。2、含絕對值不等式的解法（1）通法：根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，對絕對值內(nèi)的數(shù)（式）的符號分類討論去絕對值；關(guān)鍵在于去掉絕對值符號，一般有三種方法：①幾何含義；②兩邊平方；③分段討論。（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離，進(jìn)而去絕對值或求最值；（3）不等式兩邊均恒為非負(fù)數(shù)時，可以通過平方法去絕對值.【注意】去絕對值符號，化絕對值不等式為整式不等式時要保持同解性。3、常見絕對值不等式的解法與結(jié)論：①幾個基本不等式的解集（1）|x|<a(a>0)?x2<a2?a<x<a；（2）|x|>a(a>0)?x2>a2?x>a,或x<a;（3）|xm|<a(a>0)?a<xm<a?ma<x<a+m；（4）|xm|>a(a>0)?xm>a,或xm<a?x>m+a,或x<ma.②幾種主要的基本類型（1）|f(x)|>|g(x)|?f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)?f(x)>g(x),或f(x)<g(x);（3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)?g(x)<f(x)<g(x);（4）含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法脫去絕對值符號求解.對點集訓(xùn)一：一元一次不等式及一元一次不等式組的求解典型例題C．該不等式的解集可能為； D．該不等式的解集不可能為.【答案】C【知識點】解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】對分四種情況討論得解.故選：C【答案】1【知識點】解不含參數(shù)的一元一次不等式又不等式的解集為，故答案為：【答案】0【知識點】利用不等式求值或取值范圍、解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】先化簡不等式組，依題意表示得出的范圍，再取最大整數(shù)值即可.故答案為：0.精練【答案】C【知識點】解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】對參數(shù)與的關(guān)系以及與的關(guān)系進(jìn)行分類討論，從而求解不等式即可.故選：C.【答案】【知識點】解含參數(shù)的一元一次不等式所以實數(shù)a的值為.故答案為：【知識點】解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】根據(jù)給定的解集，求出a，b的關(guān)系，再代入求解不等式作答.對點集訓(xùn)二：解不含參數(shù)的一元二次不等式典型例題例1．（2425高一上·上海·課堂例題）解下列不等式：(2)(3)【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】利用一元二次不等式的解法來求解即可.【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解兩個一元二次不等式，再求交集即可.【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式精練【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】轉(zhuǎn)化為不等式組，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.2.解下列不等式：(2)(3)【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）通過配方即可得解；（2）化為一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)判別式即可得解；（3）先判斷判別式，然后即可得解.原不等式的解集為.原不等式的解集為.【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】分別求解原不等式組中的兩個一元二次不等式，然求兩個解集的交集即可得解.對點集訓(xùn)三：解含有參數(shù)的一元二次不等式典型例題【答案】答案見解析【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式精練【答案】答案見解析【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式綜上所述，原不等式的解集為:【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式綜上所述：【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】變形后得到一個含參的二次不等式，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.對點集訓(xùn)四：由一元二次不等式的解確定參數(shù)典型例題【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)故答案為：；．【點睛】本題考查一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的解集得出不等式相應(yīng)方程的根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值．注意總結(jié)方程，函數(shù)，不等式三者之間的聯(lián)系．【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】就參數(shù)分類考慮，利用二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合即可求得參數(shù)范圍.精練【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)【點睛】本題考查集合的基本運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.【答案】【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題綜上可得的取值范圍為.(2)若該不等式的解集為空集，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)；【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求k的值；對點集訓(xùn)五：一元二次方程根的分布問題典型例題問題：【答案】(1)條件②③④；理由見解析(2)條件⑤，理由見解析【知識點】一元二次方程根的分布問題【分析】（1）根據(jù)判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合所給條件分析一元二次方程有兩正根的條件可得；（2）根據(jù)一元二次方程兩根異號，結(jié)合韋達(dá)定理分析即可.【詳解】（1）選擇②③④：【知識點】一元二次方程根的分布問題(1)若關(guān)于的方程總有實數(shù)解，求的取值范圍；(2)證明見解析【知識點】一元二次方程根的分布問題∴無論為何值，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．故無論為何值，關(guān)于的方程有兩個異號實數(shù)根．精練(1)若方程有兩個正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(2)1或3【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次方程根的分布問題【分析】（1）根據(jù)方程有兩個正根列出不等式組求解；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合根及為整數(shù)，求出根即可得解.(1)若?為兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(2)不存在，理由見解析【知識點】一元二次方程根的分布問題、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【詳解】（1）解：由題意，一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根?，3．（2425高一上·上海·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：【知識點】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、已知命題的真假求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次方程根的分布問題【分析】（1）解一元二次不等式先計算兩個命題對應(yīng)變量的范圍，再結(jié)合必要不充分條件的定義計算即可；（2）分類討論兩個命題的真假結(jié)合一元二次方程根的情況計算即可；因為是的必要不充分條件，所以，則對點集訓(xùn)六：分式不等式典型例題例1．（2425高一上·上海·課堂例題）解下列不等式：【知識點】分式不等式【分析】先把分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組，再解出不等式解集即可；例2．（2425高一上·上海·課堂例題）解不等式：【知識點】分式不等式【分析】（1）先把分式不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，求出兩個不等式的解集，最后得出分式不等式解集；（方法二）將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，(1)求實數(shù)a，b的值；【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、分式不等式、解不含參數(shù)的一元二次不等式精練【知識點】分式不等式、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】移項通分轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式可得答案.【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】分別解出各不等式，即可求出不等式組的解集.3．（2425高一·上海·課堂例題）解下列不等式：【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】（1）（2）把分式不等式轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即得.（3）變形給定的不等式，再轉(zhuǎn)化成一元二次不等式組求解.對點集訓(xùn)七：絕對值不等式典型例題【知識點】分類討論解絕對值不等式【分析】通過分類討論去掉絕對值解不等式即可.【知識點】分式不等式、公式法解絕對值不等式精練【知識點】分類討論解絕對值不等式【分析】分類討論開絕對值即可求解.此時不等式無解；【知識點】分類討論解絕對值不等式【分析】分段去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組求解即得.【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、絕對值三角不等式、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運算【分析】（1）根據(jù)題意，是的子集，列出不等式組可得實數(shù)t的取值范圍；（2）分別利用絕對值不等式和分式不等式的性質(zhì)求兩個集合，再求交集即可.一、單選題A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【知識點】判斷命題的必要不充分條件、分式不等式【分析】根據(jù)分式不等式的解法結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.故選：B.【答案】C【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式故選：C.【答案】D【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式故選：D.二、填空題【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為整式型不等式，即一元二次不等式求解.【知識點】解不含參數(shù)的一元一次不等式【分析】分類討論的取值范圍，利用不等式組無實數(shù)解即可得解.【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【知識點】一元二次方程根的分布問題【答案】R【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)根的判別式，數(shù)形結(jié)合得到不等式解集.二次函數(shù)圖象在軸上方，故不等式解集為R.故答案為：R【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)三、解答題10．（2425高一上·上海奉賢·期中）求下列關(guān)于x的不等式的解集：(2)答案見詳解【知識點】分式不等式、解不含參數(shù)的一元二次不等式（2）分類討論兩根大小解一元二次不等式即可.(1)求集合和；(2)求陰影部分表示的集合.【知識點】分式不等式、交并補混合運算【分析】（1）解分式不等式和絕對值不等式即可求出解集；（2）利用補集和交集思想即可求解陰影部分集合.（2）(2)答案見解析【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式【點睛】方法點睛：不等式的因式分解法：通過將不等式分解為兩個因式形式并討論符號，能夠清晰地得出解集.一、單選題A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識點】判斷命題的必要不充分條件、幾何意義解絕對值不等式【分析】解出絕對值不等式，根據(jù)充分條件、必要條件概念判斷即可.故選：B【答案】C【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】利用特殊值判斷AB；利用假設(shè)成立法判斷CD.則解集是，故A錯誤；所以解集不可能為，故B錯誤；故選：C.【答案】C【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)故選：C.【答案】C【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式故選：C.二、填空題【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由已知結(jié)合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【知識點】根據(jù)或且非的真假求參數(shù)、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)題意，分別求出、為真命題時的取值范圍，再分“真假”和“假真”兩種情況討論，求出的取值范圍，即可得答案．若命題和中有且僅有一個是真命題，有2種情況，假真不能同時成立，此時無解；【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式由解集中整數(shù)為