有理數（5個知識點+25個考點講練+中考真題演練+培優訓練共70題）TOC\o"13"\h\u知識梳理強化基礎 2知識點梳理01：正數與負數及相關概念 2知識點梳理02：數軸、相反數與絕對值 2知識點梳理03：有理數的運算 3知識點梳理04：有理數的大小比較 3知識點梳理05：科學記數法 3高頻考點逐一攻克 4考點訓練01：正負數的實際應用 4考點訓練02：有理數的分類 5考點訓練03：帶“非”字的有理數 6考點訓練04：用數軸上的點表示有理數 8考點訓練05：數軸上點的平移（動點問題） 10考點訓練06：數軸上整點覆蓋問題 11考點訓練07：數軸上的規律探究 11考點訓練08：絕對值得幾何意義 12考點訓練09：絕對值得非負性 16考點訓練10：絕對值得其他應用 19考點訓練11：有理數大小的實際應用 21考點訓練12：化簡多重復號 23考點訓練13：有理數加減中的簡便運算 24考點訓練14：有理數加減中的簡便運算的實際應用 26考點訓練15：有理數四則混合運算 28考點訓練16：有理數四則混合運算的實際應用 31考點訓練17：根據點在數軸上的位置判斷式子的正負 33考點訓練18：有理數的乘方運算 34考點訓練19：有理數乘方的逆運算 37考點訓練20：有理數乘方的應用 39考點訓練21：用科學計數法表示絕對值大于1的數 41考點訓練22：用科學計數法表示的數變為原數 42考點訓練23：程序流程圖與有理數的計算 43考點訓練24：算“24”點 45考點訓練25：含乘方的有理數混合運算 46中考真題實戰演練 49優選題型突破自我 52知識點梳理01：正數與負數及相關概念1、認識正數、負數、零（1）正數：大于0的數叫做正數，正數大于0；（2）負數：正數前面加個符號“－”（負號）的數叫做負數，負數小于0；（3）0：既不是正數也不是負數，正負數以0為界。規定：0是最小的自然數。2、有理數的概念及分類（1）整數和分數統稱有理數.（2）有理數的分類知識點梳理02：數軸、相反數與絕對值1．數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線．2．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．3．絕對值：（1）代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．數a的絕對值記作．幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．知識點梳理03：有理數的運算1.有理數運算法則：（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數同0相加，仍得這個數．（2）減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．(6）有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．2．運算律：（1）交換律：①加法交換律：a+b=b+a；②乘法交換律：ab=ba；（2）結合律：①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點梳理04：有理數的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數軸比較法；（2）法則比較法：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小；（3)作差比較法．（4）作商比較法；（5）倒數比較法．知識點梳理05：科學記數法考點訓練01：正負數的實際應用1．（2223七年級上·江蘇南京·期中）某校七年級1至4班計劃每班購買數量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，如表是實際購書情況：班級1班2班3班4班實際購書量（本）a32c22實際購書量與計劃購書量的差值（本）b(1)直接寫出___，___；(2)根據記錄的數據可知4個班實際購書共___本；(3)書店給出一種優惠方案：一次購買達到15本，其中2本書免費．若每本書售價為30元，求這4個班團體購書的最低費用．【答案】(1)，(2)【思路引導】（1）由于4班實際購入本，且實際購買數量與計劃購買數量的差值為，即可得計劃購書量為，進而可把表格補充完整；（2）把每班實際數量相加即可；（3）根據已知求出總費用即可．【規范解答】（1）∵由于4班實際購入本，且實際購買數量與計劃購買數量的差值為，即可得計劃購書量為本，故答案依次為：，．故答案為：∴如果每次購買本，則可以購買次，且最后還剩本書需單獨購買，【考點剖析】本題考查了正負數的應用．在生活實際中利用正負數的計算能力，并通過相關運算來比較大小，進而得出最佳方案；正確理解正負數的意義是解題的關鍵．2．（2223七年級上·黑龍江大慶·期中）《道路交通安全法實施條例》規定：在一個記分周期（12個月）內扣滿12分，將扣留其機動車駕駛證．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未達50%扣6分；超速10%以上未達20%扣3分．劉師傅以100千米/時的速度行駛在公路上，前方出現限速標志（如圖）．如果他保持原來的速度繼續行駛，他將受到扣幾分的處罰？（通過計算說明）【答案】6分【規范解答】根據圖片所示，限速應該是80千米/時，而劉師傅以100千米/時的速度行駛在公路上答：劉師傅將受到扣6分的處罰【考點剖析】本題關鍵是抓住考查百分比，理解百分比的計算方式，通過題意即可解決問題考點訓練02：有理數的分類3．（2425七年級上·陜西西安·階段練習）把下列各數填入相應的大括號里．﹣18，3.1416，0，﹣2.001，，5%．(1)整數集合：{…}；(2)分數集合：{…}；(3)負數集合：{…}．【答案】(1)﹣18，0(2)3.1416，﹣2.001，，5%(3)﹣18，﹣2.001，【思路引導】本題主要考查了有理數的分類，解題的關鍵是熟練掌握有理數的定義．（1）整數包括正整數、0和負整數；（2）分數包括正分數和負分數；（3）負數是小于0的數．4．（2425七年級上·河南三門峽·期中）把下列各數的序號填在相應的大括號內：正有理數集合：{

…}．負有理數集合：{

…}．整數集合：{

…}．【答案】（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6）【思路引導】本題主要考查了有理數的分類，掌握有理數的定義是解題的關鍵．根據有理數的分類逐個解答即可．【規范解答】解：正有理數集合：{（1），（2），（3），（7）…}．負有理數集合：{（4），（5）…}．整數集合：{（1），（4），（6）…}．故答案為：（1），（2），（3），（7）；（4），（5）；（1），（4），（6）．考點訓練03：帶“非”字的有理數正數集合：｛__________…｝；

整數集合：｛__________…｝；非負數集合：｛__________…｝；

負分數集合：｛__________…｝；【思路引導】考查了有理數的分類．掌握整數包括正整數、負整數和0以及非負數包括整數和0是解題的關鍵．根據有理數的分類及相關定義即可解答．整數集合：｛，，…｝；6．（2324七年級上·山東菏澤·階段練習）把下列序號填在相應的大括號里．(1)整數{}(2)正分數{}(3)非負數{}(4)負有理數{}【答案】(1)①，③，⑥，⑨(2)④，⑤，⑦(3)③，④，⑤，⑥，⑦．(4)②、⑧、⑨【思路引導】先化簡，再按照有理數的分類進行解答即可．故答案為：①，③，⑥，⑨．故答案為：④，⑤，⑦．故答案為：③，④，⑤，⑥，⑦．故答案為：②、⑧、⑨．【考點剖析】本題考查了有理數的分類．掌握整數、正分數、非負數、負有理數的定義等知識點，掌握相關概念是解答本題的關鍵．考點訓練04：用數軸上的點表示有理數7．（2425七年級上·甘肅隴南·期末）如圖，點A、在數軸上對應的數為、7，點A以每秒3個單位長度的速度向右運動，同時點以每秒1個單位長度的速度也向右運動．設運動時間為秒．(1)求運動前的中點對應的數；(2)為何值時A、對應的數相同；(3)為何值時A、之間的距離等于2個單位長度．【答案】(1)1(3)5秒或7秒【思路引導】本題主要考查了數軸上動點．熟練掌握數軸上兩點間的距離公式，中點公式，動點表示的數，是解題的關鍵．（1）運用中點公式計算即得；（2）寫出運動后A、B表示的數，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A沒超過B和A超過B兩種情況，A、之間的距離等于2個單位長度，建立方程解答．∵A、對應的數相同，（3）∵A、之間的距離等于2個單位長度，綜上，當為5秒或7秒時，A、之間的距離等于2個單位長度．8．（2425七年級上·北京·期中）如圖，觀察數軸，解答下列問題：(1)A點表示的有理數是______，表示有理數的點是______；(3)將這五個數，6，，0，用“”連接的結果是：______．【答案】(1)，B(2)見解析【思路引導】本題主要考查了用數軸上的點表示有理數、比較有理數的大小等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．（1）直接觀察數軸即可解答；（3）根據數軸上的數右邊的比左邊的大比較大小即可解答．【規范解答】（1）解：由數軸可知，A點表示的有理數是，表示有理數的點是B．故答案為：，B．考點訓練05：數軸上點的平移（動點問題）9．（2324六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在數軸上有一個動點從原點出發，以每秒1個單位長度的速度在數軸上運動，若點的運動規律是先向右運動1個單位長度，再向左運動2個單位長度，再向右運動3個單位長度，再向左運動4個單位長度，以此類推，每次運動單位長度依次遞增，第113秒時，點在數軸上所對應的數是．【答案】【思路引導】本題考查數軸上點的運動規律問題，根據數軸上運動時“右加左減”計算即可．故答案為：．10．（2425七年級上·福建福州·期中）如圖，在數軸上有三個點A、B、C，請回答問題：(1)將A點向左移動5個單位長度，這是的點表示的數是___________；(2)怎樣移動A、B、C的其中個點，才能使點C恰好是線段的中點？請寫出三種移動的方法．方法一（移動A點）：___________，方法二（移動B點）：___________，方法三（移動C點）：___________．【答案】(1)(2)見解析【思路引導】本題主要考查了用數軸上點表示有理數、數軸上兩點之間、數軸上點的平移是距離等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．（1）根據平移特點列式計算即可；（2）根據三種方法，分別運用平移法則解答即可．【規范解答】（1）解：∵點A表示的數為4，故答案為：．（2）解：當點A移動時，此時只需將A向左移動8個單位即可．當點B移動時，此時只需將B向左移動8個單位即可．當點C移動時，此時只需要將C向右移動4個單位即可．考點訓練06：數軸上整點覆蓋問題A．9個 B．10個 C．100個 D．101個【答案】C【思路引導】分類討論：線段的兩端點是整數點，線段的兩端點不是整數點，根據線段的長度，可得答案．線段蓋住的整數點至少有個故選：C．【考點剖析】本題考查了數軸上兩點的距離，熟練掌握數軸的定義是解題的關鍵．12．（2021七年級上·安徽·階段練習）如圖，數軸上被遮擋的整數是（

）A． B． C． D．3【答案】B【思路引導】在數軸上，原點右側為正數，原點右側為負數，且數軸上的點越往右數越大，越往左數越小.【規范解答】解：被遮住的左邊是整數2，右邊是0，因此被遮擋的整數是1.故選B.【考點剖析】本題主要考查數軸表示數的意義，互為相反數的求法，理解數軸表示數的意義.考點訓練07：數軸上的規律探究A． B． C． D．【答案】C【思路引導】本題考查圖形類規律探索，數軸上兩點間的距離，理解題意，找出規律是解題關鍵．根據數軸上負方向上從2的位置開始的整數每四個數為一個循環，依次對應，，，，解答即可．【規范解答】解：根據題意可得：數軸上負方向上從2的位置開始的整數每四個數為一個循環，依次對應，，，．故選C．【答案】【思路引導】本題考查了數軸上的點表示有理數的規律探索，計算出、、、，，這六個點表示的數，找到規律是，2，依次循環，由此即可求解．故答案為：2．考點訓練08：絕對值得幾何意義15．（2425七年級上·福建漳州·期中）觀察下列幾組數在數軸上體現的距離，并回答問題：（1）探究：①數軸上表示6和3的兩點之間的距離是．②數軸上表示和的兩點之間的距離是．③數軸上表示和2的兩點之間的距離是．（2）歸納：（3）應用：【思路引導】本題考查了絕對值，數軸上兩點間的距離，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）①根據兩點間的距離公式即可求解；②根據兩點間的距離公式即可求解；③根據兩點間的距離公式即可求解；（3）①根據兩點間的距離公式和絕對值的意義即可求解；②根據兩點間的距離公式和絕對值的意義即可求解；③根據線段上的點到線段兩端點的距離和最小即可求解．故答案為：；故答案為：；故答案為：；②∵數軸上表示數m的點位于與4之間，16．（2425七年級上·江蘇連云港·期中）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起一一對應的關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．【知識探索】（1）數軸上表示與的兩點之間的距離是______；②若使所表示的點到表示和的點的距離之和為，所有符合條件的整數的和為______；【動手折一折】小明在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：（3）折疊紙面，若表示的點和表示的點重合，則表示的點和______表示的點重合；（4）折疊紙面，若表示的點和表示的點重合，①則表示的點和______表示的點重合；【拓展運用】【思路引導】本題考查了數軸上兩點的距離，絕對值的意義，數形結合是解題的關鍵．（1）根據數軸上兩點間距離的求法解題即可；（3）利用中點坐標公式求出折痕點，再求解即可；故答案為：；故答案為：或；②要使所表示的點到表示和的點的距離之和為，與的距離是，是整數，的值為，，，，，，故答案為：；（3）表示的點和表示的點重合，折疊點對應的數是，表示的點與表示的點重合，故答案為：；（4）①表示的點和表示的點重合，表示的點和表示的點重合，故答案為：；故答案為：或．考點訓練09：絕對值得非負性17．（2425七年級上·福建福州·期中）【知識準備】【問題探究】（）在（）的條件下，若點從點出發，以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點出發，以每秒個單位的速度向右運動．設運動時間為秒，求當為何值時，的中點所對應的數為．【拓展延伸】①填空：若數軸上點對應數，點對應數，為最靠近的等分點，則我們有等分點公式：對應的數為_______．【思路引導】（）根據非負數的性質解答即可求解；即的中點所對應的數為，故答案為：；【考點剖析】本題考查了中點坐標公式，數軸上的動點問題，非負數的性質，絕對值的意義，掌握以上知識點是解題的關鍵．(1)，，．(2)若將數軸對折，使得對折后點與點重合，此時點與點也重合，求點所表示的數x．(3)設和的中點分別為點，，點從點出發沿數軸向右運動，在此過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．【答案】(1)6，3，(2)1(3)不變,4【思路引導】本題考查了多項式定義、數軸、代數式等知識點，解題的關鍵在于讀懂題意和靈活運用分類討論的思想．（1）根據多項式的定義即可得出答案；（2）根據中點坐標公式即可得出答案；（3）利用中點的定義和線段的和差易求出．故答案為：6，3，．（2）A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，P點表示數x，∵將數軸對折，使得對折后A點與C點重合，∵點B與點P也重合，即點P所表示的數x為1．（3）解：線段的長度不發生變化．①如圖，當點P在點C、B之間運動時，②當點P運動到點A、B之間運動時，③當點P運動到點A右側時，綜上所述，線段的長度不發生變化，值為4．考點訓練10：絕對值得其他應用19．（2425七年級上·湖南湘西·期中）陳英杰老師要求同學們，結合數軸與絕對值的相關知識回答下列問題：(1)探究：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______；②數軸上表示和的兩點之間的距離是_______；③數軸上表示4和的兩點之間的距離是_______；(2)歸納：一般的，數軸上表示數a和數b的兩點之間的距離是_______；(3)應用：【答案】(1)故答案為：①3，②3，③7；(3)①，3；②【思路引導】本題考查了數軸、絕對值的有關知識，明確數軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系是解題的關鍵．（1）根據兩點間結合絕對值的幾何意義，可得答案；（2）根據兩點間結合絕對值的幾何意義，可得答案；（3）根據題意可知，當為1至2025中間的那個數時，原式取得最小值，由此可得答案．故答案為：①3，②3，③7；故答案為：，3；考點訓練11：有理數大小的實際應用21．（2324七年級上·山西陽泉·期末）元旦促銷活動期間，很多國貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長．某平臺的體育用品旗艦店對原價元/件的某款運動速干衣和原價元/雙的某款運動棉襪開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案．方案：買一件運動速干衣送一雙運動棉襪；方案：運動速干衣和運動棉襪均按折付款．(1)若該戶外俱樂部按方案購買，需付款________元；若該戶外俱樂部按方案購買，需付款________元；（用化簡后的含的整式表示）(2)方案購買較為合算．【思路引導】本題考查列代數式，代數式求值，有理數大小比較的應用，（1）按照方案和方案的優惠辦法，分別列出代數式即可；理解題意并正確列出代數式、熟練地進行計算是解題的關鍵．【規范解答】（1）解：按方案購買，需付款：按方案購買，需付款：∴按方案購買較為合算．(1)分別用含有的代數式表示用兩種方案購買所需的費用；【思路引導】本題考查代數式的實際應用，（1）根據所給優惠規則列代數式即可；解題的關鍵是根據題意正確列出代數式．（2）按方案一購買比較實惠，理由如下：考點訓練12：化簡多重復號23．（2425七年級上·安徽淮南·期中）在數軸上表示下列各數，并用“”將它們連接起來．【思路引導】本題考查了相反數，絕對值，有理數的大小比較與數軸，需要熟練掌握數軸上的數右邊的總比左邊的大，把各數據正確標注在數軸上是解題的關鍵．先找出各數在數軸上的位置，然后根據數軸上的數，右邊的數總比左邊的數大即可按照從小到大的順序進行排列．在數軸上表示各數如圖：(1)把這些數在下面的數軸上表示出來：(2)請將這些數按從小到大的順序排列（用“”連接）．【答案】(1)見解析【思路引導】本題考查的知識點是化簡絕對值和多重符號，用數軸表示數、利用數軸比較有理數的大小，解題關鍵是準確將數在數軸上表示出來，注意符號．（1）先將能化簡的數先化簡，再將數準確在數軸上表示出來，注意正負號；（2）根據（1）中在數軸上表示的數，從左往右依次增大，用小于號連接即可．這些數在數軸上的表示如下圖所示：考點訓練13：有理數加減中的簡便運算上面這種解題的方法叫做拆項法，按此方法計算：【答案】【思路引導】本題考查了有理數的加法，拆項法是解題關鍵．根據拆項法，可把整數結合在一起，分數結合在一起，再根據有理數的加法，可得答案．26．（2324七年級上·河南南陽·階段練習）計算：【答案】(1)(2)(3)【思路引導】本題考查有理數的加減混合計算，（1）根據有理數的加法運算法則求解即可；（2）根據有理數的加減混合運算法則求解即可；（3）根據有理數的加減混合運算法則求解即可；（4）根據有理數的加減混合運算法則求解即可；熟練掌握運算法則是解題的關鍵．；；考點訓練14：有理數加減中的簡便運算的實際應用27．（2425七年級上·河南南陽·期末）“十一”周期間，某樂園在7天假期中每天的游客人數變化如下表所示．以1萬人為標準，多于1萬人的記為“+”，不足1萬人的記為“”，剛好1萬人的記為“0”日期1日2日3日4日5日6日7日人數變化/萬人0(1)10月2日這一天的游客有_____萬人．(2)請求出周期間游客最多的一天比最少的一天多多少萬人．(3)若該樂園的門票是每人100元，請計算周期間該樂園的門票收入．【答案】(1)3.5(2)萬人(3)1270萬元【思路引導】本題考查了正負數的意義，有理數運算的應用．（1）用1萬加上10月2號變化的人數即可；（2）用記錄數據最多的一天減去最少的一天即可；（3）先求出所記錄數據變化的人數，加上7天的標準人數，求出出總人數，再乘以100即可．故答案為：3.5；（2）解：由題意，得：答：周期間游客最多的一天比最少的一天多萬人．答：周期間該樂園的門票收入是1270萬元．28．（2425七年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在一張紙上畫出一條水平的數軸，在數軸上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在數軸上的位置對應的數分別是5，5，甲、乙兩人做沿數軸移動棋子的游戲（甲移動黑棋，乙移動白棋）．甲、乙兩人同時出示“石頭、剪子、布”三種手勢中的一種，再根據獲勝或平局的結果移動棋子（石頭勝剪子，剪子勝布，布勝石頭），移動規則如下：①若甲贏，則甲將黑棋向右移動2個單位長度，同時乙將白棋向右移動1個單位長度；②若乙贏，則乙將白棋向左移動2個單位長度，同時甲將黑棋向左移動1個單位長度：③若平局，則甲將黑棋向右移動1個單位長度，同時乙將白棋向左移動1個單位長度．前四局的部分手勢情況如下表：局次第一局第二局第三局第四局甲的手勢石頭剪子布布乙的手勢石頭布石頭(1)從起始位置開始，第一局后黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數的和為_______；(2)規定若每局結束后黑棋的位置離原點更近，則甲獲勝，若白棋的位置離原點更近，則乙獲勝，那么第三局結束時獲勝的是_______（填“甲”或“乙”）：(3)若第四結束后，在數軸上黑棋和白棋之間的距離最小，則乙第四局的手勢是（填“石頭”或“剪子”或“布”）；【答案】(1)0(2)甲(3)布【思路引導】本題考查了數軸上表示有理數以及數軸上動點問題，有理數的加減的應用；（1）根據移動規則，向右移動則運用加法，向左移動則運用減法，計算即可求解；（2）根據移動規則，向右移動則運用加法，向左移動則運用減法，計算第二、三局，黑棋對應點數即可求解；（3）根據游戲規則可得黑棋和白棋相向運動，即可求解．【規范解答】（1）解：∵黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數分別是，5，第一局是平局，故答案為：．（2）∵黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數分別是，4，則第二局是甲贏，∵黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數分別是，5，則第三局是甲贏，故答案為：甲．（3）解：由（2）可得，∵黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數分別是，5，第三局是甲贏，第三局結束時黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數分別是，∵第四結束后，在數軸上黑棋和白棋之間的距離最小，根據游戲規則可得黑棋和白棋相向運動，即甲將黑棋向右移動1個單位長度，同時乙將白棋向左移動1個單位長度∴乙第四局的手勢是布考點訓練15：有理數四則混合運算29．（2024七年級上·江蘇蘇州·專題練習）計算：【答案】(1)10(3)0(4)【思路引導】本題主要考查了有理數混合運算，熟練掌握有理數混合運算法則是解題的關鍵．（1）逆用乘法分配律進行計算即可；（2）利用列項進行計算即可；（3）逆用乘法分配律進行計算即可；；；【答案】(1)(2)【思路引導】本題主要考查了有理數的四則混合計算，新定義，正確根據新定義列出對應的算式是解題的關鍵．考點訓練16：有理數四則混合運算的實際應用31．（2425七年級上·福建漳州·階段練習）自行車廠要生產一批相同型號的自行車，計劃每天生產100輛．但由于各種原因，實際每天的生產量與計劃量相比會有所差異．下表是工人在某周的生產情況：（超過100輛記為正，不足100輛記為負）星期一二三四五六日增減（輛）(1)根據記錄可知，前三天共生產了輛；(2)生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產了輛；(3)該廠實行計件工資制，每生產一輛得100元，對于每天的計劃生產量，若每多生產一輛再額外獎20元，若每少生產一輛則要扣20元，求工人這一周的工資總額是多少元．【答案】(1)；(2)；【思路引導】本題主要考查了有理數混合計算的實際應用，有理數減法的實際應用，正負數的實際應用，正確理解題意列出對應的算式是解題的關鍵。（1）根據把表格中前三天的生產記錄相加，再加上計劃三天的生產量可以計算出前三天共生產了多少輛自行車；（2）根據表格中的數據，可以計算出生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產了多少輛自行車；（3）根據題意先計算出總生產量，再計算出獎勵和扣除的費用以及生產費用即可得到答案．∴前三天共生產了輛，故答案為：；故答案為：；32．（2425七年級上·河北滄州·期中）體育課上全班女生進行了一分鐘仰臥起坐測驗，達標成績為30個，第一組8名女生的成績記錄為：，0，，，，，，．其中+號表示超過達標成績的個數，表示不足達標成績的個數．(1)第一組8名女生中最好成績與最差成績相差________個；(2)求第一組8名女生的平均成績；(3)規定：一分鐘仰臥起坐次數為達標成績，不得分；超過達標成績，每多做1個得2分；未達到達標成績，每少做1個扣1分．若一分鐘仰臥起坐總積分超過60分，便可得到優秀體育小組稱號，請通過計算說明第一組8名女生能否獲得該稱號．【答案】(1)22(2)第一組8名女生的平均成績為33個(3)能得到優秀體育小組稱號，見解析【思路引導】本題考查正負數的實際應用以及有理數的加減混合運算的應用．（1）找出最好成績的與最差成績的進行相減即可；（2）根據題意列出式子再進行計算即可；（3）根據題意列出式子，再進行計算，最后與60進行比較即可．根據題意列出式子是解題的關鍵．故答案為：22；（個）．答：第一組8名女生的平均成績為33個；所以能得到優秀體育小組稱號．考點訓練17：根據點在數軸上的位置判斷式子的正負A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B綜上所述，正確的有3個．故選：C．34．（2425七年級上·遼寧盤錦·期中）有理數a，b，c在數軸上的對應點的位置如下圖所示：【答案】(1)，，(2)見解析【思路引導】本題考查有理數與數軸，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵：（1）根據點在數軸上的位置，判斷數的大小關系，進而確定式子的符號即可；（3）根據數軸上的數右邊的比左邊的大，進行比較即可．故答案為：，，；考點訓練18：有理數的乘方運算35．（2425七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）【概念學習】規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方．【初步探究】(2)關于除方，下列說法錯誤的是______．A．任何非零數的圈2次方都等于1

D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？(4)將一個非零有理數的圈次方寫成冪的形式為______．【靈活應用】【答案】(1)，(2)C(5)【思路引導】本題主要考查了數字的變化規律，有理數的混合運算，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用新定義是解題的關鍵．（1）利用除方的定義解答即可；（2）利用除方的定義對每個選項進行逐一判斷即可；（3）利用除方的意義將除方的式子寫成除法的形式，利用除以一個數等于乘以這個數的倒數變成乘法，再利用乘方的意義寫成乘方的形式即可；（4）根據（3）中的計算方法求解即可；（5）利用除方的定義解答即可．故答案為：，；D，負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數，故該選項說法正確，故選C．（4）解：將一個非零有理數的圈次方寫成冪的形式為：(1)上述六個有理數中，互為相反數的一組是______；(2)將上述六個有理數表示在如圖所示的數軸上；(3)將上述六個有理數按從小到大的順序排列，并用“”連接．【答案】(1)與(2)見解析【思路引導】本題考查的是化簡雙重符號，求解絕對值，在數軸上表示有理數，利用數軸比較有理數的大小．（1）先化簡雙重符號，求解絕對值，再利用相反數的定義可得答案；（2）在數軸上的點表示各有理數即可；（3）利用數軸右邊點表示的數大于左邊點表示的數，從而可得答案．∴互為相反數的一組數是與；故答案為：與；（2）解：如圖所示：（3）解：由（2）數軸可知：考點訓練19：有理數乘方的逆運算【答案】(1)1(2)【思路引導】本題考查了有理數的乘方運算，讀懂題意掌握運算法則是解題關鍵．（1）根據規定，進行求解即可；故答案為：38．（2024七年級下·浙江·專題練習）閱讀下列材料，并解決后面的問題．問題：【答案】(1)2，4，6(3)5【思路引導】此題考查定義新運算，掌握運算的方法，找出計算的規律解決問題．（1）根據對數的定義求解；考點訓練20：有理數乘方的應用一、小明的做法：如圖，畫一個邊長為1的正方形，并將它的面積不斷做二等分．第1次分割：把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；…二、小亮的做法：(2)請仿照小亮的做法驗證（1）的結論；(2)見解析【思路引導】本題考查了有理數乘方的應用，理解乘方的意義是解題關鍵．（1）仿照小明的做法畫出圖形求解即可；（2）仿照小亮的做法驗證即可；（3）仿照小亮的做法求解即可；A．32 B．1044 C．253 D．16192【答案】B【思路引導】本題考查有理數的乘方的運算，理解八進制數換算為十進制數的方法是解題的關鍵；根據題目中八進制數3745換算成十進制數的方法計算即可．【規范解答】解：八進制數2024換算成十進制數：故選：B考點訓練21：用科學計數法表示絕對值大于1的數【答案】B故選：B．【答案】B故選：．考點訓練22：用科學計數法表示的數變為原數43．（2425七年級上·全國·隨堂練習）將下列用科學記數法表示的數還原成原數．（1）根據將科學記數法還原成原數的方法即可得出答案；（2）根據將科學記數法還原成原數的方法即可得出答案；（3）根據將科學記數法還原成原數的方法即可得出答案；（4）根據將科學記數法還原成原數的方法即可得出答案．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C故選：C．考點訓練23：程序流程圖與有理數的計算A． B． C． D．【答案】D【思路引導】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據題中的運算程序計算即可得到結果．故選：D．46．（2425七年級上·廣西桂林·期中）平平和安安進行摸球游戲，如圖，框1中有A，B兩個大小相同的球，框2中有C，D，E，F四個大小相同的球，先從框1中摸出一個球，再從框2中將4個球全部摸出，并按摸出的順序進行計算．(1)平平先從框1中摸出了球A，再從框2中摸出球的順序為D→E→C→F，請你幫助平平計算最終結果．(2)①若安安從框1中摸出了球B，從框2中摸出球的順序為F→E→______→______，計算結果為，請你通過計算判斷安安從框2中摸出球的順序；②若安安從框1中摸出了球A，從框2中先摸出的球為球D，則摸球游戲計算的最大結果為______．請你寫出計算過程．【答案】(1)【思路引導】本題主要考查有理數的混合運算，熟練掌握有理數的運算法則是解題的關鍵．（2）①根據題意，分別計算出按順序F→E→→和F→E→→的結果，再結合題意，即可解答本題；（2）解：①若摸出球的順序為F→E→→時，若摸出球的順序為F→E→→時，計算結果為，故摸球順序為F→E→→，故答案為：．考點訓練24：算“24”點47．（2425七年級上·山東威海·期末）有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各題：(1)從中選擇兩張卡片①使這兩張卡片上數字之和最大，請列出算式并計算結果_____；②使這兩張卡片上數字之差最小，請列出算式并計算結果_____；③使這兩張卡片上數字之積最大，請列出算式并計算結果_____；④使這兩張卡片上數字之商最小，請列出算式并計算結果_____；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，寫出算式及運算過程．（寫出兩種即可）【答案】(1)見解析(2)見詳解【思路引導】本題考查了有理數的混合運算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）①根據兩個最大的數相加，得出；②運用最小的數減去最大數，所得的差最小；③根據同號得正，且結合正數最大，進行作答；④根據異號得負，且結合負數最小，進行作答；（2）結合從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，進行列式計算，即可作答．故答案為：9；故答案為：；故答案為：；故答案為：；48．（2425七年級上·廣東汕頭·期中）紅紅有5張寫著以下數字的卡片，請你按要求抽出卡片，解決下列問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數字相減的差最大，最大值是______．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數字相除的商最小，最小值是______．(3)從中取出0以外的4張卡片，將這4個數字進行加、減、乘、除、乘方混合運算，使結果為24，寫出一種符合要求的運算等式．（注：每個數字只能用一次）．【答案】(1)5(2)【思路引導】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算的法則是解題的關鍵．（1）依據題干要求選取3，，列式運算即可；（2）依據題干要求選取1，，列式運算即可；（3）按要求列式運算即可．（2）解：從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數字相除的商最小，最小值是考點訓練25：含乘方的有理數混合運算49．（2425七年級上·甘肅蘭州·期中）計算：【答案】(1)(3)(4)【思路引導】本題考查了有理數的混合運算．熟練掌握有理數的加、減、乘、除、乘方的運算法則，運算順序，運算律，是解題的關鍵．（1）根據整數的加減混合運算與交換律結合律運算即可；（2）先運算分數的加法，所得結果再與125相加；（3）先用乘法分配律計算中括號內的乘法，再計算加減法，同時計算出除式結果，最后化除法為乘法計算；（4）中括號內外先算乘方，再算乘除法，最后計算加減法．(2)深入思考：我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？①試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成乘方的形式．②想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于；【答案】(1)，；【思路引導】本題考查了有理數的混合運算，理解新定義除方，總結歸納運算規律是解題關鍵．（1）根據除方的運算法則進行計算即可；（2）①試一試：根據除方的運算法則進行計算即可；②想一想：由試一試總結歸納得出規律即可；③算一算：根據想一想得出的規律進行計算即可．故答案為，；【真題演練1】（2024·山東煙臺·中考真題）《周髀算經》是中國現存最早的數理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【規范解答】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，故選：．【真題演練2】（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【思路引導】利用已知得出數字個位數的變化規律進而得出答案．【規范解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數每4個一循環，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個位數字應該是：4．故選：C．【考點剖析】此題主要考查了尾數特征，根據題意得出數字變化規律是解題關鍵．【真題演練3】（2025·山東威海·中考真題）2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．二進制數的組成數字為0，1．十進制數22化為二進制數：傳統三進制數的組成數字為0，1，2．十進制數22化為三進制數：A． B． C． D．【答案】A【思路引導】本題主要考查了有理數的混合運算，理解例題的計算方法，按照例題代入計算即可．將二進制數轉換為三進制數，需先將二進制數轉換為十進制數，再將十進制數轉換為三進制數．將十進制數11轉換為三進制數，采用“除3取余法”：將余數倒序排列，得到三進制數為．故選：A．【答案】6【思路引導】根據有理數的混合運算法則求解即可．．【考點剖析】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．【答案】(1)9(2)3【思路引導】（1）根據有理數混合運算法則計算即可；（2）設被污染的數字為x，所以被污染的數字是3．【考點剖析】本題主要考查有理數的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關運算法則和步驟是接替的關鍵．【答案】C【思路引導】本題考查了有理數的乘方運算，解題的關鍵是掌握題干中的求和方法，令所求的和為，將其乘以6后相減，消去中間項，得到關于的方程，解方程即可．兩邊乘以6，得：將兩式相減：右邊除首項和末項外，其余項均抵消，故選：C．2．（2425七年級上·甘肅蘭州·期中）天天在數學學習中遇到了神奇的“數值轉換機”，按如圖所示的程序運算，輸入一個有理數x，則可相應的輸出一個結果y．若輸入x的值為，則輸出的結果y為（

）A．7 B．6 C．8 D．12【答案】A【思路引導】本題考查了程序流程圖與有理數混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則是解題的關鍵．根據所給數值轉換機列式計算即可，【規范解答】解：依題意得：∴輸出的結果y為7，故選：A．【答案】C故選：C．A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【思路引導】本題主要考查有理數的混合運算的應用，掌握整體思想成為解題的關鍵．故選A．5．（2425七年級上·福建廈門·期末）如圖，有理數，，，在數軸上的對應點分別是，，，．若，互為相反數，則下列式子正確的是（

）【答案】B、互為相反數，故選：B．【答案】或【思路引導】本題考查了數軸、有理數的加減混合運算、折疊，理解題意，靈活應用所學知識是解決問題的關鍵．先根據題意找到點表示的數，再根據線段長，確定的中點表示的數．∴點表示的數為5或3，∴點C表示的數是或，故答案為：或．7．（2425七年級上·福建泉州·期末）按如圖所示的程序計算，當輸入的值為時，輸出的值為．【答案】26所以當輸入的值為時，輸出的值為26，故答案為：26．【答案】5綜上，原式的值為，故答案為：．【答案】705【思路引導】本題考查了七進制數轉化為十進制數，熟練掌握七進制數轉化為十進制數的方法是解題的關鍵．根據七進制數轉化為十進制數的方法計算即可．故答案為705【答案】②