專題1.4矩形的判定教學目標1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有據的推理證明，精練準確地書寫表達。2.能熟練應用矩形的性質、判定等知識進行有關證明和計算.教學重難點1.重點：掌握并會運用矩形的判定.2.難點：運用矩形的判定進行簡單的推理與計算。知識點01：矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義法：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；2.對角線相等的平行四邊形是矩形；3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.【即學即練】1．（2425九年級下·重慶大足·階段練習）下列說法中正確的是（）A．兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形B．有兩個角相等的平行四邊形是矩形C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是矩形【答案】A【知識點】矩形的判定定理理解【分析】本題考查了矩形的判定定理，根據矩形的判定定理逐項分析即可得解，熟練掌握矩形的判定定理是解此題的關鍵．【詳解】解：A、兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原說法正確，符合題意；B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法錯誤，不符合題意；C、兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故原說法錯誤，不符合題意；D、兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原說法錯誤，不符合題意；故選：A．【答案】或【知識點】添一條件使四邊形是矩形、利用平行四邊形的判定與性質求解故答案為：或．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】用勾股定理解三角形、證明四邊形是矩形、三線合一【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理．是中點，題型01矩形的判定定理理解【典例1】下列命題是假命題的是（

）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．有三個角是直角的四邊形是矩形C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 D．四邊相等的四邊形是矩形【答案】D【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是矩形、判斷命題真假【分析】本題考查了真假命題、矩形和菱形的判定；根據矩形的判定和菱形的判定方法逐項判斷即可.【詳解】解：A.對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題，故本選項不符合題意；B.有三個角是直角的四邊形是矩形，是真命題，故本選項不符合題意；C.有一個角是直角的平行四邊形是矩形，是真命題，故本選項不符合題意；D.四邊相等的四邊形是菱形，原命題是假命題，故本選項符合題意；故選：D.【變式1】在木藝活動課上，老師拿出了一塊平行四邊形木板，以下測量方案中，能確定這塊木板是矩形的是（

）A．測量對角線相等 B．測量一組鄰邊相等C．測量兩組對邊相等 D．測量對角線互相垂直【答案】A【知識點】矩形的判定定理理解、證明四邊形是菱形【分析】本題考查矩形的判定，涉及菱形的判定，熟練掌握矩形的判定方法是解答的關鍵．根據矩形的判定定理，在平行四邊形的基礎上，若對角線相等，則為矩形．【詳解】解：A：平行四邊形的對角線相等時，必為矩形，這是矩形判定定理之一，正確，符合題意；B：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，無法確定是矩形，錯誤，不符合題意；C：兩組對邊相等是平行四邊形的定義性質，所有平行四邊形均滿足，無法判定為矩形，錯誤，不符合題意；D：對角線垂直的平行四邊形是菱形，與矩形無關，錯誤，不符合題意；故選：A．【變式2】如圖，一個書架的兩條側邊、上下底邊的長度分別相等，為了檢查該書架的四個角是否都是直角，小亮先用繩子連接一組對角的頂點，在繩子上記錄一條對角線的長度，再連接另一組對角的頂點，檢驗兩條對角線長度是否一致.這種檢查方法用到的數學依據是（

）A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B．三個角都是直角的四邊形是矩形C．對角線相等的平行四邊形是矩形D．對角線互相平分的四邊形是矩形【答案】C【知識點】矩形的判定定理理解【分析】本題考查矩形的判定和矩形的性質．判斷平行四邊形為矩形是解題的關鍵．根據矩形的判定方法和性質即可得出答案．【詳解】解：∵書架的兩條側邊、上下底邊的長度分別相等，∴書架是平行四邊形，∵書架的對角線相等，∴書架是矩形，∴書架是四個角都是直角，這種檢查方法用到的數學依據是：對角線相等的平行四邊形是矩形，故選：C．【變式3】如圖，用一根繩子檢測一個平行四邊形書架的側邊是否和上、下底都垂直，只需要用繩子分別測量兩條對角線就可以判斷了．這種檢測方法用到的數學依據是（）A．兩條對角線互相平分的平行四邊形是矩形B．對角線相等的平行四邊形是矩形C．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形D．對角線平分每組對角的平行四邊形是矩形【答案】B【知識點】矩形的判定定理理解【分析】本題考查矩形的判定，根據對角線相等的平行四邊形是矩形可作出選擇．【詳解】解：需要用繩子分別測量兩條對角線就可以判斷是矩形的理論依據是對角線相等的平行四邊形是矩形，故選：B．題型02添一條件使四邊形是矩形【知識點】軸對稱圖形的識別、添一條件使四邊形是矩形【分析】本題考查了軸對稱圖形，矩形的判定等知識．根據矩形的判定與性質添加條件即可．【知識點】添一條件使四邊形是矩形【分析】本題主要考查了矩形的判定定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題關鍵．根據矩形的判定方法即可解決問題．【知識點】添一條件使四邊形是矩形【分析】此題主要考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質．根據平行四邊形的判定和性質定理以及矩形的判定定理即可得到結論．【答案】①②④【知識點】添一條件使四邊形是矩形【分析】根據平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質解答即可．本題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，熟練掌握判定和性質是解題的關鍵．故①正確．故②正確．故③錯誤；故④正確．故答案為：①②④．題型03證明四邊形是矩形【答案】見解析【知識點】利用平行四邊形性質和判定證明、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定等知識點，靈活運用平行四邊形的性質成為解題的關鍵．【答案】見解析【知識點】證明四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定定理，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【答案】見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、證明四邊形是矩形、利用菱形的性質證明【答案】(1)證明見解析；【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三線合一、證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了等腰三角形的性質，平行四邊形、矩形的判定，全等三角形的判定與性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵是的中點，∵是邊上的中線，題型04根據矩形的性質與判定求角度

A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用平行四邊形的性質證明、根據矩形的性質與判定求角度故選：A．【答案】【知識點】等邊對等角、利用平行四邊形的性質求解、根據矩形的性質與判定求角度故答案為：．【答案】或【知識點】根據旋轉的性質求解、根據矩形的性質與判定求角度、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】分兩種情況討論，由矩形的性質和全等三角形的性質可求解．【詳解】解：如圖，當點在線段上時，如圖：當點在線段的延長線上時，故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識，利用分類討論解決問題是本題的關鍵．

【答案】60【知識點】根據矩形的性質與判定求角度、利用平行四邊形的性質求解故答案為：60．【點睛】本題考查矩形的性質、平行四邊形的性質、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題．題型05根據矩形的性質與判定求線段長【答案】8或24/24或8【知識點】根據矩形的性質與判定求角度、梯形、用勾股定理解三角形【分析】分兩種情況畫圖：①過點C作CE⊥AB于E，再根據勾股定理求出BE的長，進而可得CD的長；②過點C作BE⊥CD于E，再根據勾股定理求出CE的長，進而可得CD的長．【詳解】解：①如下圖，過點C作CE⊥AB于E，得四邊形DAEC為矩形，∴CE=AD=15，CD=AE，在Rt△ABE中，BC=17，根據勾股定理，得，∴AE=ABBE=168=8，∴CD=8；②如下圖，過點C作BE⊥CD于E，得四邊形ADEB為矩形，∴BE=AD=15，DE=AB=16，在Rt△CBE中，BC=17，根據勾股定理，得∴CD=DE+CE=16+8=24，綜上所述：CD的長為8或24，故答案為：8或24．【點睛】本題考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定與性質，解題的關鍵是利用分類討論思想畫圖解答．【答案】【知識點】根據矩形的性質與判定求角度、與三角形中位線有關的求解問題、用勾股定理解三角形，故答案：．【答案】【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據矩形的性質與判定求線段長、化為最簡二次根式故答案為：．【答案】6或【知識點】用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求線段長故答案為：或6．題型06根據矩形的性質與判定求面積A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【知識點】根據矩形的性質與判定求面積【分析】本題考查矩形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．故選：A．A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【知識點】根據矩形的性質與判定求面積、用勾股定理解三角形故選：C．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、根據矩形的性質與判定求面積故選B．A．30 B．35 C．40 D．60【答案】A【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、根據矩形的性質與判定求面積故選：A．題型07根據矩形的性質與判定解決多結論問題A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求角度綜上，正確的有①②③④，共4個，故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，角平分線的性質以及勾股定理等知識，綜合性強，較難．正確的作出輔助線是解題關鍵．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【知識點】證明四邊形是菱形、根據矩形的性質與判定求面積、根據矩形的性質與判定求角度【分析】證明△OFB≌△CFB，可判斷結論①正確；利用菱形的定義，可判斷結論②正確；根據OC=OB，斜邊大于直角邊，可判斷結論③錯誤；根據30度角的性質，可判斷AB=2BM，故結論④是錯誤的；證NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面積公式計算判斷，結論⑤正確.【詳解】連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O為AC中點，∴BD也過O點，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正確，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四邊形EBFD是菱形，∴結論②正確；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③錯誤，在直角三角形AMB中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM，∴④錯誤，設ED與AC的交點為N，設AE=OE=2x，則NE=x，BE=4x，∴AB=6x，∴BM=3x，=3:2，結論⑤正確.故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形三線合一性質，全等三角形，直角三角形30°角的性質，菱形的判定，熟練掌握，靈活運用是解題的關鍵.A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據矩形的性質與判定求角度、斜邊的中線等于斜邊的一半②如圖，取的中點為，連接、．當經過點時，最大且、兩點距離的最大值為，∴②正確；綜上所述：正確的有①②，個結論．故選．點睛：本題是三角形的綜合題，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解答本題的關鍵，難度適中．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【知識點】等腰梯形的性質定理、根據矩形的性質與判定求線段長、利用平行四邊形的性質證明、全等三角形綜合問題【分析】利用平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰梯形的性質逐一驗證即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，E是BD的中點，∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，BE=DE，∴∠DME=∠BNE，∠MDE=∠NBE，∴△DME≌△BNE，∴DM=BN，∴ADDM=BCBN，即AM=CN，故①正確；∴四邊形ABCD是矩形，如圖所示，∵M為AD的中點，∴AM=DM，∵AB=CD，∠A=∠CDM=90°，∴△BAM≌△CDM，∴BM=CM，故②正確；∵AD∥BC，∴△MCN與△DCN等底等高，∵AB=MN，AB=CD，∴MN=CD，∵NC∥MD，∴四邊形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC=∠DCN，∵NC=CN，∴△MNC≌△DCN，∴∠MCN=∠DNC，∴∠MNC?∠MCN=∠DCN?∠DCN，即∠MNF=∠DCF，∵∠MFN=∠DFC，MN=CD，∴△MFN≌△DFC，故④正確；綜上四個結論全部正確．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握這些判定與性質是解題的關鍵．題型08與矩形的性質與判定有關的作圖(1)尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【知識點】作已知線段的垂直平分線、證明四邊形是矩形、證明四邊形是平行四邊形【分析】（）作的垂直平分線，垂足為點，連接，則線段即為所求；本題考查了線段垂直平分線的作法，平行四邊形的判定，矩形的判定，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，線段為所求；（2）證明：∵點是的中點，【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】作垂線(尺規作圖)、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查作垂線和矩形的判定，平行四邊形的性質，正確作出圖形是解答本題的關鍵．（1）根據“過直線外一點作已知直線的垂線”進行作圖即可；【詳解】（1）解：如圖，即為所作；．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形、無刻度直尺作圖【點睛】本題考查作圖復雜作圖，矩形的判定與性質，菱形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【答案】(1)添加①或②；理由見解析(2)見解析【知識點】證明四邊形是菱形、證明四邊形是矩形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，矩形的判定，正確的識別圖形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：添加①或②；理由如下：題型09矩形的性質與判定的綜合問題【答案】(1)見解析【知識點】利用矩形的性質證明、證明四邊形是矩形、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質（1）選擇條件①，根據三個角是直角的四邊形是矩形進行證明即可；選擇條件②，根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行證明即可；【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】證明四邊形是矩形、利用菱形的性質求線段長、全等三角形綜合問題、利用菱形的性質證明【分析】（1）根據菱形的性質，選擇適當的全等判定定理證明即可；（2）根據矩形的判定定理證明即可；（3）解：如圖所示，連接，為中點【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質，熟練掌握判定和性質是解題的關鍵．①求的長；(2)只用無刻度的直尺，在圖2中作出的中點，不寫作法，保留作圖痕跡；(2)見詳解(3)【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、證明四邊形是矩形、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形性質和判定的應用【詳解】（1）解：①如圖1，∵為邊上的高，∵為邊上的高，（2）解：如圖2，點M即為所求；故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形性質，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形中位線定理，垂線段最短等，熟練掌握平行四邊形的判定和性質等是解題關鍵．②求的值．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）見解析【知識點】等邊三角形的性質、用勾股定理解三角形、利用矩形的性質證明、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了矩形的性質與判定，勾股定理，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，熟知矩形的性質與判定定理是解題的關鍵．∵E為的中點，∵F為的中點，1．小穎和小亮參加數學實踐活動，檢驗一個用斷橋鋁制作的窗戶是否為矩形，下面的測量方法正確的是（）A．度量窗戶的兩個角是否是B．測量窗戶兩組對邊是否分別相等C．測量窗戶兩條對角線是否相等D．測量窗戶兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等【答案】D【知識點】矩形的判定定理理解【分析】本題考查了矩形判定的應用，掌握矩形判定方法是關鍵；根據矩形的判定即可解答．【詳解】解：A、度量窗戶的兩個角是否是，不能保證窗戶是矩形；B、測量窗戶兩組對邊是否分別相等，只能保證是平行四邊形，不能保證是矩形；C、測量窗戶兩條對角線是否相等，無法保證是矩形；D、測量窗戶兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等，根據對角線相互平分且相等的四邊形是矩形，保證是矩形；故選：D．【答案】C【知識點】證明四邊形是平行四邊形、與三角形中位線有關的證明、添一條件使四邊形是矩形【分析】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，解題關鍵是掌握這些定理，并能運用這些定理求解．故選：C．【答案】D【知識點】角平分線的有關計算、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．聰聰：明明：下列關于以M，P，N，Q為頂點的四邊形的說法正確的是（

）【答案】C【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的性質證明、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形故選：C．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定與性質．熟練掌握平行四邊形的判定與性質、矩形和菱形的判定是解題的關鍵．【答案】D【知識點】用勾股定理解三角形、證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形故選：D．【知識點】添一條件使四邊形是矩形【分析】本題考查的是矩形的判定，根據矩形的判定方法添加條件即可．【答案】【知識點】利用平行四邊形的性質求解、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了矩形的判定“對角線相等的平行四邊形是矩形”．根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”，即可求解．故答案為：．【答案】30【知識點】證明四邊形是矩形、利用菱形的性質求線段長∵在扭動過程中，CD的長度是不會發生變化的，故答案為：30．（2）線段的最小值為．【知識點】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質求線段長、證明四邊形是矩形（2）如圖，連接，【答案】平行四邊形菱形矩形【知識點】證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是矩形、證明四邊形是菱形【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定，掌握它們的判定定理是解題的關鍵．(2)60【知識點】全等三角形綜合問題、三線合一、用勾股定理解三角形、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，矩形的判定，全等三角形的判定和性質，勾股定理，求矩形的面積等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質．（2）利用勾股定理求出的長，利用矩形面積求解即可．∵點是中點，(1)請僅用無刻度的直尺作圖：作出的中點F（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明點F是的中點．【答案】(1)見解析【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四邊形性質和判定證明、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接與相交于點，連接并延長交于點，