2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識點目錄知識點目錄TOC\o"11"\h\u【知識點1】不含參一元二次不等式 1【知識點2】分式不等式 2【知識點3】含參一元二次不等式 3【知識點4】三個“二次”的關(guān)系 4【知識點5】不等式恒成立與有解問題 5學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道一元二次不等式、分式不等式的求解(重點)。2.掌握含參一元二次不等式的求解(重難點)。3.掌握不等式恒成立問題與有解問題(重點)。知識點1知識點1知識點知識點【知識點1】不含參一元二次不等式1．一元二次不等式(2)二次系數(shù)為正的一元二次不等式解法口訣“大于取兩邊，小于取中間”．2．解不含參數(shù)一元二次不等式的步驟(1)通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．(2)對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式．(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集．典型例題典型例題【例1】（2025?湖南模擬）不等式3x2﹣12＜0的解集是（）A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【例2】（2024秋?鶴山市校級期末）一元二次不等式﹣4x2﹣x+14≥0的解集為（）A．{x|?2≤x≤74} C．{x|?74≤x≤2}【例3】（2025春?天心區(qū)校級月考）不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一個充分不必要條件是（）A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣2 D．x≤?12或【例4】（2025春?凌源市月考）設(shè)p：a﹣1＜x＜a+2，q：x2﹣4x﹣12≤0，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是．知識點2知識點2知識點知識點【知識點2】分式不等式分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式典型例題典型例題例1：【例5】（2024秋?隆陽區(qū)校級期中）分式不等式x+51?xA．{x|﹣5≤x≤1} B．{x|﹣5≤x＜1} C．{x|x≤﹣5或x≥1} D．{x|x≤﹣5或x＞1}【例6】（2024秋?南平校級期中）不等式x+2x?3＞0的解集是【例7】（2024秋?讓胡路區(qū)校級月考）分式不等式x+13x?2≥2的解集為．【例8】（2024秋?青羊區(qū)校級月考）（1）求不等式﹣x2+4x+5＜0的解集．（2）解分式不等式：2x?13x+1知識點3知識點3知識點知識點【知識點3】含參一元二次不等式解含參數(shù)一元二次不等式的步驟(1)討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式典型例題典型例題例1：【例9】（多選）（2024秋?寧遠(yuǎn)縣校級期末）已知a為常數(shù)，則關(guān)于x的不等式（x﹣a）（x﹣1）＜0的解集可能是（）A．（1，a） B．（a，1） C．? D．R【例10】（多選）（2025?河南開學(xué)）已知關(guān)于x的不等式x2﹣（3a+3）x+2a2+3a≤0的解集為A，則下列結(jié)論正確的是（）A．A可能為空集 B．A中可能只有一個元素 C．若a＜﹣3，則A中的元素為負(fù)數(shù) D．若4∈A，則1【例11】（2024秋?山東期中）已知a，b，c∈R，關(guān)于x的一元二次不等式﹣x2+bx+6＞0的解集為{x|﹣2＜x＜c}．（1）求b，c的值；（2）解關(guān)于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【例12】（2025?五華區(qū)校級開學(xué)）已知關(guān)于x的不等式x2+（a﹣3）x﹣b＜0．（1）若該不等式的解集為{x|﹣1＜x＜2}，求a和b的值；（2）若b＝3a，求該不等式的解集．知識點4知識點4知識點知識點【知識點4】三個“二次”的關(guān)系三個“二次”之間的關(guān)系(1)三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題．典型例題典型例題例1：【例13】（多選）（2025?余姚市校級模擬）關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為（﹣1，12A．a(chǎn)2+b2＝5 B．a(chǎn)+b＝﹣3 C．a(chǎn)b＝﹣2 D．a(chǎn)b【例14】（2025春?寶山區(qū)校級月考）已知不等式x2+2ax+b＜0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，則實數(shù)ab＝．【例15】（2024秋?鶴山市校級期末）關(guān)于x的不等式mx2﹣x+1＜0的解集為{x|a＜x＜b}，則4a+b的最小值為．【例16】（2024秋?重慶期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0的解集為{x|x＜1或x＞4}．（1）求實數(shù)m、n的值；（2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且5a+1知識點5知識點5知識點知識點【知識點5】不等式恒成立與有解問題一元二次不等式恒成立問題(3)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．典型例題典型例題例1：【例17】（多選）（2024秋?田家庵區(qū)校級期末）“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充分不必要條件可以是（）A．m≤1 B．m≥1 C．m≥2 D．m≥3【例18】（多選）（2024秋?仁壽縣校級期末）下列說法正確的是（）A．當(dāng)x∈R時，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是[0，4） B．“a＞b＞0”是“1a＜C．命題“?x∈R，x2D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一個元素是“a=1【例19】（2024秋?漯河期末）已知x＞0，不等式x2+mx+1＞0恒