高二衡水卷數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}$，則以下哪個選項是正確的？

A.$a>0,b>0,c>0$

B.$a>0,b<0,c>0$

C.$a<0,b>0,c>0$

D.$a<0,b<0,c>0$

2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=12n-n^2$，則第10項$a_{10}$的值為：

A.5

B.10

C.15

D.20

3.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,2]$上的圖象與直線$y=x$的交點個數為：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.已知等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=3$，則第5項$a_5$的值為：

A.54

B.81

C.162

D.243

5.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[1,2]$上的最大值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

6.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$的圖象與直線$y=x$的交點個數為：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2-2n$，則第5項$a_5$的值為：

A.8

B.9

C.10

D.11

8.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,2]$上的圖象與直線$y=x$的交點個數為：

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[1,2]$上的最小值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

10.已知等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=3$，則第7項$a_7$的值為：

A.54

B.81

C.162

D.243

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是函數$f(x)=x^2-4x+4$的圖象特征？

A.圖象開口向上

B.圖象的頂點坐標為$(2,0)$

C.圖象與x軸有兩個交點

D.圖象與y軸有一個交點

2.關于等差數列$\{a_n\}$和等比數列$\{b_n\}$，以下哪些結論是正確的？

A.等差數列的任意兩項之差是常數

B.等比數列的任意兩項之比是常數

C.等差數列的前$n$項和是$n$的二次函數

D.等比數列的前$n$項和是$n$的對數函數

3.下列函數中，哪些是奇函數？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=\cosx$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

4.關于函數$f(x)=ax^2+bx+c$，以下哪些說法是正確的？

A.當$a>0$時，函數的圖象開口向上

B.當$b>0$時，函數的圖象的對稱軸在y軸的左側

C.當$c>0$時，函數的最小值在x軸上方

D.當$a=0$時，函數是一次函數

5.下列關于數列的說法中，哪些是正確的？

A.等差數列的相鄰兩項之差相等

B.等比數列的相鄰兩項之比相等

C.等差數列的前$n$項和可以表示為$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

D.等比數列的前$n$項和可以表示為$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$）

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數$f(x)=x^2-2ax+a^2$的圖象開口向上，且頂點坐標為$(h,k)$，則$a=\_\_\_\_\_\_，h=\_\_\_\_\_\_，k=\_\_\_\_\_\_$。

2.等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=5n^2-3n$，則該數列的公差$d=\_\_\_\_\_\_，首項$a_1=\_\_\_\_\_\_$。

3.函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,3]$上的最大值是$\_\_\_\_\_\_，最小值是$\_\_\_\_\_\_$。

4.若等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公比$q=2$，則第4項$a_4=\_\_\_\_\_\_，第7項$a_7=\_\_\_\_\_\_$。

5.函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象與x軸的交點坐標為$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，若$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_，則該函數的對稱軸方程為$x=\_\_\_\_\_\_$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題：已知函數$f(x)=2x^3-9x^2+12x$，求函數的極值點及極值。

2.計算題：已知等差數列$\{a_n\}$的首項$a_1=5$，公差$d=3$，求該數列的前10項和$S_{10}$。

3.計算題：若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,3]$上的圖象與直線$y=x$相交于兩點$A$和$B$，求線段$AB$的長度。

4.計算題：已知等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=4$，公比$q=\frac{1}{2}$，求該數列的前$n$項和$S_n$的表達式，并求當$n=10$時的和$S_{10}$。

5.計算題：函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的圖象與x軸相交于三個點$A$、$B$、$C$，且$A$、$B$、$C$的橫坐標分別為$x_1$、$x_2$、$x_3$。若$x_1+x_2+x_3=9$，求函數$f(x)$的極大值和極小值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.B

8.A

9.B

10.D

二、多項選擇題

1.ABCD

2.ABC

3.AB

4.ACD

5.ABCD

三、填空題

1.$a=2$，$h=1$，$k=3$

2.$d=3$，$a_1=5$

3.最大值是$\frac{4}{3}$，最小值是$\frac{1}{3}$

4.$a_4=1$，$a_7=\frac{1}{16}$

5.$x_1+x_2+x_3=9$，對稱軸方程為$x=2$

四、計算題

1.解題過程：求導得$f'(x)=6x^2-18x+12$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$。當$x<1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$1<x<2$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>2$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$x=1$是極大值點，$x=2$是極小值點。極大值為$f(1)=5$，極小值為$f(2)=4$。

2.解題過程：$S_{10}=\frac{10(2a_1+(10-1)d)}{2}=\frac{10(2\times5+(10-1)\times3)}{2}=280$。

3.解題過程：令$f(x)=\frac{1}{x}=x$，得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。由于$x$在區間$[1,3]$上，故$x=-1$不符合條件。因此，$A$點坐標為$(1,1)$，$B$點坐標為$(3,\frac{1}{3})$。線段$AB$的長度為$\sqrt{(3-1)^2+(\frac{1}{3}-1)^2}=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{40}}{3}$。

4.解題過程：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{4(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}=8(1-(\frac{1}{2})^n)$。當$n=10$時，$S_{10}=8(1-(\frac{1}{2})^{10})=8\times\frac{1023}{1024}=\frac{8104}{1024}$。

5.解題過程：求導得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$。當$x<1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$1<x<3$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>3$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增。因此，$x=1$是極大值點，$x=3$是極小值點。極大值為$f(1)=2$，極小值為$f(3)=0$。

知識點總結：

1.函數的極值和最值：通過求導數來找到函數的極值點，判斷極值的類型，并求出極值和最值。

2.等差數列和等比數列：掌握等差數列和等比數列的定義、通項公式、前$n$項和公式，并能進行相關計算。

3.函數的圖象和性質：了解函數的圖象特征，如開口方向、對稱軸、頂點坐標等，并能根據函數的性質判斷圖象與坐標軸的交點個數。

4.數列的求和：掌握等差數列和等比數列的前$n$項和公式，并能進行相關計算。

5.函數的極值和最值：通過求導數來找到函數的極值點，判斷極值的類型，并求出極值和最值。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例：

1.選擇題：考察學生對基礎知識的掌握程度，如函數的極值、等差數列和等比數列的通項公