試題試題2024北京房山高三（上）開學考數學本試卷共6頁，滿分150分，考試時長120分鐘．考生務必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.已知圓與直線相切，則（）A.2 B. C. D.5.的展開式中的常數項為A. B. C.6 D.246.設向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離等于，則（）A. B. C. D.8.已知正四棱錐的八條棱長均為4，是底面上一個動點，，則點所形成區域的面積為（）A.1 B. C.4 D.9.近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關系的經驗公式：，其中為常數.為測算某蓄電池的常數，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.若計算時取，，則該蓄電池的常數大約為（）A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.5510.已知集合，是集合表示的平面圖形的面積，則（）A.1 B. C.2 D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.拋物線的準線方程是_______12.在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱．若，則______．13.已知函數若，則______；若在上單調遞增，則的一個值為______．14.如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點．如果將容器倒置，水面也恰好經過點（圖2），設正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，則______．15.古希臘畢達開拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數.他們根據沙粒或小石子所排列的形狀，把數分成許多類.如圖，第一行圖形中黑色小點個數：1，3，6，10，…稱為三角形數，第二行圖形中黑色小點個數：1，4，9，16，…稱為正方形數，記三角形數構成數列an，正方形數構成數列b①數列an的一個通項公式是；②2025既是三角形數，又是正方形數；③；④，總存在．使得成立．其中所有證確結論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在銳角中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）再從下面條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17.已知四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，為的中點．（1）若為的中點，求證：平面；（2）若．求平面與平面夾角的余弦值．18.某企業產品利潤依據產品等級來確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產品的利潤分別為100元、50元、50元．為了解產品各等級的比例，檢測員從流水線上隨機抽取了100件產品進行等級檢測、檢測結果如下表：產品等級一等品二等品三等品樣本數量（件）503020（1）從流水線上隨機抽取1件產品，估計這件產品是一等品的概率；（2）若從流水線上隨機抽取3件產品，這3件產品的利潤總額為．求的分布列和數學期望；（3）為了使每件產品的平均利潤不低于80元，產品中的一等品率至少是多少？19.已知橢圓的一個頂點為．焦距為．過點且斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若直線與軸垂直，求的值．20.已知函數，直線為曲線在點處的切線．（1）當時，求出直線的方程；（2）若，求的最小值；（3）若直線與曲線相交于點，且，求實數的取值范圍．21.已知數列的各項均為正整數，設集合，記的元素個數為．（1）若數列，求集合，并寫出的值；（2）若是遞減數列，求證：“為等差數列”的充要條件是“”；（3）已知數列，求證：．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】A【分析】利用交集的定義直接求解并判斷即可.【詳解】集合，所以.故選：A2.【答案】C【分析】根據復數的乘法即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.3.【答案】C【分析】根據給定雙曲線方程直接求出其漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：.故選：C4.【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式，結合圓的切線性質求解即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，依題意，.故選：D5.【答案】D【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令的指數為求出，將的值代入通項求出展開式的常數項．【詳解】解：二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數項為.故選：D6.【答案】A【分析】利用垂直關系的坐標表示，結合充分條件、必要條件判斷即得.【詳解】向量，則，解得或，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A7.【答案】B【分析】化簡函數解析式，由條件確定函數的周期，結合周期公式求.【詳解】由已知，因為函數的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離等于，所以函數的最小正周期為，又，所以，故.故選：B.8.【答案】B【分析】由，可知的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓以及圓內的點，利用圓的面積求解即可.【詳解】設頂點在底面上的射影為，連接，則為正方形的中心，如圖.易知,故.因為當時,,所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓以及圓內的點，而正方形內切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡在正方形內部，因此表示的區域面積為.故選：B9.【答案】C【分析】利用經驗公式將數據代入構造方程組，再由對數運算法則可解得常數.【詳解】根據題意由可得，兩式相除可得，即可得，兩邊同時取對數可得，即可得；即.故選：C10.【答案】B【分析】由集合，的元素滿足的條件，找出所對應的圖形，再借助圖形的對稱性即可求出面積．【詳解】集合表示平行直線與圍成的正方形，集合，因此集合表示的平面圖形為圖中陰影部分，由圖形的對稱性知：正方形內陰影部分的面積與空白部分的面積相等，所以．故選：B【點睛】關鍵點點睛：正確找出可行域和利用對稱性求出面積是解題的關鍵.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】先根據拋物線的標準方程得到焦點在y軸上以及，再直接代入即可求出其準線方程.【詳解】因為拋物線的標準方程為，焦點在y軸上，所以：，即，所以，所以準線方程為：，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關拋物線的幾何性質，涉及到的知識點是已知拋物線的標準方程求其準線方程，屬于簡單題目.12.【答案】##【分析】根據角關于軸對稱的特點即可得到答案.【詳解】因為角與角的終邊關于軸對稱，所以，所以.故答案為：.13.【答案】①.0②.（答案不唯一）【分析】根據分段函數，代入求值即可；根據增函數的概念列不等式即可.【詳解】若,則時，,所以;當x<1時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增；若在上單調遞增，只需,解得a≥1，所以滿足條件的的一個值為1.故答案為：（答案不唯一）.14.【答案】【分析】設棱柱的底面面積為，根據題意，結合錐體和柱體的體積公式，分別求得的表達式，即可求解.【詳解】設棱柱的底面面積為，在圖1中，可得，所以，在圖2中，可得，所以，則，所以.故答案為：.15.【答案】①③④【分析】根據給定信息,求出數列的通項,再逐一分析各個選項即可.【詳解】對于①，依題意,數列中,,于是得,滿足上式,故,故①正確；對于②，數列中,,于是得,滿足上式,,令，此方程無整數解；令，解得,所以2025不是三角形數，是正方形數,故②錯誤；對于③，當時，,當時，則，故③正確;對于④,,取，則，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，求出即可得解.（2）選①，選②，利用正弦定理、和角的正弦公式、三角形面積公式計算即得.【小問1詳解】在銳角中，由及正弦定理，得，而，則，又，所以.【小問2詳解】選①，，由（1）知，由正弦定理得，而，所以的面積為.選②，，由（1）知，由正弦定理得，而為銳角，則，，所以的面積為.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點,連接，證四邊形為平行四邊形,得所以,進而得證；（2）建立空間直角坐標系，求平面與平面的法向量，然后利用空間向量求夾角即可.【小問1詳解】取的中點,連接,因為點為的中點,所以,又,所以,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平面,所以平面;【小問2詳解】因為四邊形為菱形，，，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系,，設平面的一個法向量為n=則令則，平面平面，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，假設平面與平面夾角為，則.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）利用古典概型求解概率即可.（2）將非一等品視為整體，利用二項分布求出概率，得到分布列和期望即可.（3）依據題意結合整體法得到不等式，求解概率即可.【小問1詳解】設概率為，由題意得.【小問2詳解】首先，我們把二等品和三等品視為一個整體，則單次抽到一等品的概率為，抽到二等品和三等品這個整體的概率為，當時，抽到的一定在二等品和三等品這個整體里，所以，當時，，當時，，當時，，故分布列見下表，所以數學期望為，【小問3詳解】設產品中的一等品率為，故非一等品率為，所以，解得，產品中的一等品率至少是.19.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用橢圓的基本性質求解方程即可.（2）結合給定條件轉化為向量共線問題，得到方程求解即可.【小問1詳解】因為橢圓的一個頂點為2,0．焦距為，所以，，所以，故橢圓的方程為，故離心率為.【小問2詳解】如圖，設的方程為，，聯立方程組，可得，而，所以，，因為，過點和的直線與橢圓的另一個交點為，所以三點共線，所以，共線，因為與軸垂直，所以，故，，故得，所以，化簡得，所以而，所以，，解得，故的值為.20.【答案】（1）（2）的最小值為（3）的取值范圍是【分析】（1）根據導數的幾何意義確定切線斜率，再求切點坐標，從而得切線方程；（2）求導數，確定函數的單調性即可確定最小值點，從而可得函數最小值；（3）求出原函數的導函數，得到，再求出，即可得到曲線在,處的切線方程．令，利用三次求導可得時，在上存在零點，即可得到的取值范圍．【小問1詳解】，則斜率，又，則線在點處的切線的方程為；【小問2詳解】，則，令得，則當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以的最小值為；【小問3詳解】由，得，則，可得曲線在,處的切線方程為，即．令，顯然，，令，則，得，在上單調遞減，在上單調遞增．若，時，，，則在上單調遞增，且，在上無零點，舍去；若，，時，，則在上單調遞增，在,上單調遞減，而時，，在上存在零點．故的取值范圍是．【點睛】方法點睛：當一階導數無法求得函數的單調區間時，可考慮利用二階導數來進行求解，通過二階導數的符號來確定一階導數的單調性、符號，從而確定原函數的單調性.21.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據題意，結合集合的新定義，即可求解；（2）若為等差數列，且是遞減數列，得到，結合，證得必要性成立；再由是遞減數列，，得到，由此證明為等差數列，得到充分性成立，即可得證；（3）根據題意，得到，得出，設存在，，推出矛盾，進而得證.【小問1詳解】由題意，數列，可得，所以集合，所以.【小問2詳解】必要性：若為等差數列，且是遞減數列，設的公差為，當時，，所以，則，故必要性成立.

充分性：若是遞減數列，，則為等差數列，因為是遞減數列，所以，所以，且互不相等，所以，又因為，所以且互不相等，所以，所以，所以為等差數列，充分性成