試題試題2024北京工大附中高三10月月考數學一、選擇題共10題，每題4分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設復數，則（）A. B.C.3 D.52.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.下列函數中，在區間上單調遞減的是（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知球的半徑為2，球心到平面的距離為，則球被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.6.在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊過點，則的值為（）A. B. C.1 D.77.已知為定義在上的函數，，且為奇函數，則（）A. B. C.0 D.28.木楔在傳統木工中運用廣泛.如圖，某木楔可視為一個五面體，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為等邊三角形，，，則該木楔的體積為（）A. B. C. D.9.已知是邊長為2的等邊三角形，點在線段上，，點在線段上，且與的面積相等，則的值為（）A. B. C. D.10.現實生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態，這類曲線在數學上常被稱為懸鏈線.在合適的坐標系中，這類曲線可用函數來表示.下列結論正確的是（）A.若，則函數為奇函數 B.若，則函數有最小值C.若，則函數為增函數 D.若，則函數存在零點二、填空題共5題，每題5分，共25分．11.函數的定義域是_______________.12.已知向量，，且，則______.13.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則______；若為偶函數，則的最小值是______.14.已知函數其中.若，則函數的值域是______；若函數有且僅有2個零點，則的取值范圍是______.15.已知是各項均為正數的無窮數列，其前項和為，且.給出下列四個結論：①；②；③對任意的，都有；④存在常數，使得對任意的，都有，其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數.（1）求的最小正周期及值域；（2）求的單調遞增區間.17.已知等差數列和等比數列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求和：．18.在中，，．再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，并求（1）的值；（2）的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19.已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．20.已知，，是自然對數的底數.（1）當時，求函數的極值；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）當時，若滿足，求證：.21.給定正整數，設數列是的一個排列，對，表示以為首項的遞增子列的最大長度，表示以為首項的遞減子列的最大長度.（1）若，，，，，求和；（2）求證：，；（3）求的最小值.

參考答案一、選擇題共10題，每題4分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】B【分析】求得后再求模長即可.【詳解】,故.故選：B【點睛】本題主要考查了復數的基本運算與模長運算等.屬于基礎題型.2.【答案】C【分析】根據并集的定義即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：C3.【答案】B【分析】根據函數解析式直接判斷單調性.【詳解】A選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，A選項錯誤；B選項：函數的定義域為，且在上單調遞減，B選項正確；C選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，C選項錯誤；D選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，D選項錯誤；故選：B.4.【答案】A【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合指數函數的單調性即可得出答案.【詳解】因為指數函數單調遞增，由可得：，充分性成立，當時，，但不一定，必要性不成立，故選：A5.【答案】A【分析】根據球的性質可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】設截面圓半徑為，由球的性質可知：則截面圓的半徑，所以球被平面截得的截面面積為，故選：.6.【答案】D【分析】由終邊經過點的坐標可求，再利用兩角和的正切公式即可求解.【詳解】由終邊過點，可得，所以.故選：D7.【答案】A【分析】根據奇函數的性質，進行賦值求解即可.【詳解】因為是奇函數，所以有即.故選：A8.【答案】D【分析】如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，取的中點O，連接，求出，結合三棱錐和三棱柱的體積公式計算即可.【詳解】如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點O，連接，因為，所以，則，∴.因為，，所以，因為四邊形為正方形，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.9.【答案】C【分析】由與的面積相等以及可得，從而是的中點，再根據數量積的定義即可求得.【詳解】如圖所示：，，而，，所以是的中點，，，.故選：C10.【答案】D【分析】根據函數奇偶性、單調性、最值以及零點的判斷和求解方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：取，滿足，此時，其定義域為，關于原點對稱，且，此時為偶函數，故A錯誤；對B：，令，故若存在最小值，則有最小值，因為，故，根據對勾函數的單調性可知，有最小值，無最大值，故當時，有最大值沒有最小值，故B錯誤；對C：當時，滿足，又是單調減函數，是單調減函數，故是單調減函數，故C錯誤；對D：令，即，則，因為，故，解得，故當，即為函數零點，故D正確.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題綜合考查函數的性質，處理問題的關鍵是充分把握函數單調性和奇偶性的判斷方法以及函數零點的求解過程，屬綜合中檔題.二、填空題共5題，每題5分，共25分．11.【答案】【分析】列出需滿足的不等式，再取交集即為函數定義域.【詳解】由題意，，解得且，所以的定義域為，故答案為：12.【答案】2【分析】由向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】因為，，且，所以，即，解得.故答案為：213.【答案】①.②.【分析】根據三角函數的圖象變換關系求出的解析式，從而可得的值；再利用函數是偶函數建立方程進行求解即可．【詳解】解：將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，即，所以；若函數為偶函數，則，，得，，當時，取得最小值為，故答案為：；．14.【答案】①.②.【分析】（1）由分段函數分別求值域即可；（2）易知在和時，分別有一個零點，由二次函數的零點分布情況即可求解.【詳解】（1）時，，當時，，當時，，綜上：，即函數的值域是.（2），當時，令，得，故在上，函數有一個零點，當時，設，由題意可知：在上有且僅有一個零點，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：；.15.【答案】①②③【分析】首先由題設條件分析出數列與的增減性，根據和隨著增大的變化情況可以判斷①；然后分析，發現其實際上為，，即可以想到判斷是否成立，可建立關于的代數式，通過此對代數式正負的判斷，即可判斷，即可判斷②；我們可以將③中的題設轉化為判斷是否成立，我們發現的每一項都是大于的，而個大于的數相加大于個相加，而當時，，即可判斷，即可判斷③；而根據前面的研究，可以較易對④作出判斷.【詳解】由題意知：，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∵，∴，∴，∵隨著的增大而增大，∴，∴，∴，即，∴隨著的增大而減小，故：為正項單調遞減無窮數列，且，∴，故①正確；∵，∴，∴，∵隨著的增大而增大，∴，，∴，隨著的增大而減小，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即：，故②正確；∵，∴要判斷，即判斷：，即判斷：，即判斷：，而，當且僅當時取等號，∴對任意的都成立，∴對任意的，都有，故③正確；根據以上分析可以得出：為，隨著的增大而減小的遞減數列，且隨著的增大，的值無限接近，∴存在常數，對任意的，當足夠大時，總會有，故④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題共6題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）最小正周期為，值域為；（2）.【分析】（1）利用三角恒等變換將化為標準型，再求其性質即可；（2）根據（1）中所求，結合正弦函數的單調增區間，列出不等式，即可求得結果.【小問1詳解】，故的最小正周期，的值域為.【小問2詳解】根據（1）中所求，，令，解得.故的單調增區間為：.17.【答案】（1）an=2n?1.（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設等差數列的公差為，代入建立方程進行求解；（Ⅱ）由是等比數列，知依然是等比數列，并且公比是，再利用等比數列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d.因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設等比數列的公比為q.因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點睛】本題考查了數列求和，一般數列求和的方法：（1）分組轉化法，一般適用于等差數列+等比數列的形式；（2）裂項相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數列等比數列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數列求和.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）若選①，根據，由作圓法知滿足條件的有兩個，不合題意；若選②，根據，由作圓法知滿足條件的有且僅有一個，利用余弦定理可構造方程求得的值；若選③，利用正弦定理可求得，由余弦定理可構造方程求得的值；（2）利用三角形面積公式可直接求得結果.【小問1詳解】若選條件①，，，滿足條件的有兩個，不合題意，不能選擇條件①；若選條件②，，，滿足條件的有且僅有一個，由余弦定理得：，解得：或（舍），；若選條件③，，，；由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：或（舍），則滿足條件的有且僅有一個，.【小問2詳解】由（1）知：，.19.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設，求，根據確定函數的單調性，根據單調性求函數的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數是單調遞減函數，再根據單調性求最值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線y=f(x)在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，，所以在區間上單調遞減.所以對任意有，即.所以函數在區間上單調遞減.因此在區間上的最大值為，最小值為.【名師點睛】這道導數題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點的是需要兩次求導數，因為通過不能直接判斷函數的單調性，所以需要再求一次導數，設，再求，一般這時就可求得函數的零點，或是()恒成立，這樣就能知道函數的單調性，再根據單調性求其最值，從而判斷的單調性，最后求得結果.20.【答案】（1）極小值為0，無極大值.（2）（3）證明見解析【分析】（1）把代入函數中，并求出f'x，根據f'x的正負得到的單調性，進而求出的極值.（2）等價于與的圖象有兩個交點，求導得到函數y=gx的單調性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數形結合求解即可.（3）求出f'x，并得函數y=fx在上單調遞減，在上單調遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對?x求導證明即可.【小問1詳解】當時，，定義域為，求導可得，令，得，當時，f'x<0，函數在區間上單調遞減，當時，f'x>0，函數在區間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.【小問2詳解】方程，當時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實根，即與的圖象有2個交點，，當或時，，在區間和0,1上單調遞減，并且時，gx<0，當x∈0,1時，當時，，在區間1,+∞上單調遞增，時，當時，取得最小值，，作出函數y=gx因此與有2個交點時，，故的取值范圍為.【小問3詳解】證明：，由，得，當時，，當時，，所以函數y=fx在上單調遞減，在上單調遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數在上單調遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立.所以函數?x在R上單調遞增由，可得，即，所以，又函數在上單調遞減，所以，即得證.21.【答案】（1），（2）證明見解析（3）當為偶數時，的最小值是；當為奇數時，的最小值是.【分析】（1）直接根據定義求解；（2）分情況討論證明，故可推知和不能同時為零，進而得到結論；（3）對的奇偶性分情況討論，并利用小問2得到的結果即可.【小問1詳解】以為首項的最長遞增子列是，以為首項的最長遞減子列是和.所以，.【小問2詳解】對，由于是的一個排列，故.若，則每個以為首項的遞增子列都可以在前面加