試題試題2024北京匯文中學高三（下）開學考數學本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.一?選擇題（每題4分，共40分）1.設集合，，則（）A. B. C. D.2.已知命題“，有成立”，則為（）A.，有成立 B.，有成立C.，有成立 D.，有成立3.已知復數，其中i是虛數單位，是z的共軛復數，則（）A. B. C. D.4.某生產廠商更新設備，已知在未來年內，此設備所花費的各種費用總和（萬元）與滿足函數關系，若欲使此設備的年平均花費最低，則此設備的使用年限為（）A.3 B.4 C.5 D.65.設，則（）A. B. C. D.6.已知的展開式中第3項與第5項的二項式系數相等，則的展開式的各項系數之和為（）A. B. C. D.7.已知無窮數列{an}滿足an+1＝an+t（t為常數），Sn為{an}的前n項和，則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.9.已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點P，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知數列的通項公式為，若滿足的整數恰有2個，則可取到的值有（）A.有3個 B.有2個 C.有1個 D.不存在二?填空題（每題5分，共25分）11.函數的值域為__________.12.已知拋物線上一點，則拋物線的準線方程為________；點P到焦點的距離為________．13.在中，，，且的面積為，則________.14.已知雙曲線：的左焦點為，右頂點為，過作的一條漸近線的垂線，為垂足，若，則的離心率為__________.15.如圖，在直角梯形中，E為的中點，，，M，N分別是，的中點，將沿折起，使點D不在平面內，則下命題中正確的序號為______．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答位寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件．（1）確定的解析式；（2）若圖象的對稱軸只有一條落在區間上，求a的取值范圍．條件①：的最小值為；條件②：圖象的一個對稱中心為；條件③；的圖象經過點．17.每年8月8日為我國的全民健身日；倡導大家健康?文明?快樂的生活方式，為了激發學生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以體育鍛煉為主題的實踐活動，為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統計他們參加體育鍛煉活動時間（單位：分鐘），得到下表：（1）從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育鍛煉活動時間在的概率；（2）從參加體育鍛煉活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數記為，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）假設同組中每個數據用該組區間中點值代替，樣本中的初中?高中學生參加體育鍛煉活動時間的平均數分別記為.寫出一個的值，使得（結論不要求證明）.18.如圖，在三棱錐中，平面ABQ，，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．（1）求證：；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；（3）求點A到平面PCD的距離．19.已知.（1）若，求在處的切線方程；（2）設，求的單調區間；（3）求證：當時，.20.已知橢圓：的左頂點與上頂點的距離為．（1）求橢圓的方程和焦點的坐標；（2）若點在橢圓上，線段的垂直平分線分別與線段，軸，軸交于不同的三點，，．（i）求證：點，關于點對稱；（ii）若為直角三角形，求點的橫坐標．21.有限數列：，，…，．（）同時滿足下列兩個條件：①對于任意的，（），；②對于任意的，，（），，，，三個數中至少有一個數是數列中的項．（1）若，且，，，，求的值；（2）證明：，，不可能是數列中的項；（3）求的最大值．

參考答案一?選擇題（每題4分，共40分）1.【答案】A【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集與補集的概念求解即可．【詳解】因為集合，，，.故選：A．2.【答案】C【分析】根據全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題，任意變存在，范圍不變，結論相反，則為：，有成立，故選：C.3.【答案】B【分析】設，，根據，解出即可.【詳解】設，，，解得，所以，故選：B4.【答案】B【分析】由題知，平均話費為，再根據基本不等式求解即可.【詳解】解：平均話費為，當且僅當，時，等號成立.故選：B．5.【答案】B【分析】利用指數函數的性質，求得，再結合對數函數的性質，得到，即可求解.【詳解】由指數函數的性質和，可得，即根據對數函數的性質，可得，因為，所以，綜上可得.【點睛】本題主要考查了指數式與對數式的比較大小，其中解答中熟記指數函數與對數函數圖象與性質是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.6.【答案】C【分析】由已知條件解出n，令x＝1即可得到答案﹒【詳解】由題知，由組合數性質解得n＝6，∴＝，令x＝1，得展開式各項系數之和為，故選：C.7.【答案】B【分析】根據等差數列的通項公式和前n項和的公式，以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】∵an+1＝an+t，∴數列{an}為等差數列，且公差為t，①當t≥0時，若t＝0，a1＝﹣2時，數列{an}為常數列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n為減函數，無最小項，∴充分性不成立，②當{an}和{Sn}都有最小項，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1tn2+(a1)n，則或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小項的必要不充分條件，故選：B．8.【答案】A【分析】利用向量數量積的定義可得，從而可得，進而得出，即，求出.【詳解】根據，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．9.【答案】B【分析】根據給定條件確定出點P的軌跡，再借助圓與圓的位置關系及圓的幾何性質計算作答.【詳解】依題意，直線恒過定點，直線恒過定點，顯然直線，因此，直線與交點P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質得：，，所以的取值范圍是：.故選：B【點睛】思路點睛：判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法.10.【答案】A【分析】本題首先可討論當時，根據得出，然后討論當時，通過等差數列求和公式得出，通過計算即可得出結果.【詳解】當時，，解得，此時保證等式成立的每個值，只有一個值，不符合題意；當時，，即，若整數恰有2個，則首先，解得，設該方程有兩實數根，則，若，顯然不合題意，則，則，若，此時，解得，滿足，符合題意；若，此時，解得，滿足，符合題意；若，此時，解得，滿足，符合題意，故可取到的值有或或.故選：A.二?填空題（每題5分，共25分）11.【答案】【分析】根據分段函數的性質以及反比例函數、指數函數的性質即可得到答案.【詳解】當時，，當時，則，即，綜上的值域為，故答案為：.12.【答案】①.②.2【分析】由拋物線方程求其準線方程，再結合拋物線定義求點P到焦點的距離.【詳解】拋物線的準線方程為，焦點的坐標為，因為點在拋物線上，由拋物線定義可得點P到焦點的距離等于點到準線的距離，所以點P到焦點的距離為.故答案為：；2.13.【答案】或【分析】首先由面積公式求出，即可求出，再由余弦定理計算可得.【詳解】解：因為,則，所以，①當時，，所以；②當時，，所以；故答案為：或14.【答案】2【分析】根據條件可得，點坐標，由和漸近線垂直斜率之積為，可得，即得離心率為2.【詳解】如圖，設雙曲線的半焦距為，則，，雙曲線的一條漸近線方程為，當時，過作垂直于軸于，則為的中點，故點坐標為，點坐標為，因為直線垂直于，所以，得，又在雙曲線中，故得，故，故答案為：215.【答案】②③【分析】①③，作出輔助線，得到，從而得到與不平行，平面；②證明線面垂直，得到線線垂直；④建立空間直角坐標系，得到兩平面的法向量，由法向量不為0得到不存在某折起位置，使得平面平面.【詳解】①③，如圖所示：直角梯形中，，又因為，，所以，故四邊形為矩形，因為N分別是的中點連接，則與相交于點，故點是的中點，因為是的中點，所以，又，而與相交于點，故與不平行，故與不平行，①錯誤，因為，平面，平面，所以平面，③正確；②，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，由①知，所以，②正確；④，連接，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，，，故，設平面的法向量為，故，解得，令，則，故，設平面的法向量為，故，解得，令，則，故，故，因為，故，故，故不存在某折起位置，使得平面平面，④錯誤.故選：②③三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答位寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.【答案】選擇見解析：（1）；（2）．【分析】求出函數的最小正周期，可求得的值.（1）選擇①②，求出的值，由條件②可得出關于的等式結合的取值范圍，可求得的值，由此可求得函數的解析式；選擇①③，求出的值，由已知條件可得出，求出的取值范圍，可求得的值，由此可求得函數的解析式；選擇②③，由條件②可得出關于的等式結合的取值范圍，可求得的值，將點的坐標代入函數的解析式，求出的值，可得出函數的解析式；（2）由可求得的取值范圍，結合題意可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由于函數圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期，．此時．（1）選條件①②；因為，所以．因為圖象的一個對稱中心為，所以，因為，所以，此時，所以；選條件①③：因為，所以．因為函數的圖象過點，則，即，，因為，即，，所以，，解得.所以；選條件②③：因為函數的一個對稱中心為，所以，所以．因為，所以，此時，所以．因為函數的圖象過點，所以，即，，即，所以．所以；（2）因為，所以，因為圖象的對稱軸只有一條落在區間上，所以，得，所以的取值范圍為．【點睛】思路點睛：三角函數圖象與性質問題的求解思路：（1）將函數解析式變形為或的形式；（2）將看成一個整體；（3）借助正弦函數或余弦函數的圖象和性質（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等）解決相關問題.17.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）1（或取0）【分析】（1）根據古典概型求解即可；（2）先寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可；（3）補全初中段的人數表格，再分別計算關于的解析式，得到不等式即可得答案.【小問1詳解】從該校隨機抽取名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率為；【小問2詳解】由題知，的所有可能值為0，1，2，參加體育實踐活動時間在的學生總人數為，其中初中生人，參加體育實踐活動時間在的學生總人數為，其中初中生人，記事件為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，事件為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，由題意知，事件相互獨立，且，所以，，，所以的分布列為：故的數學期望；【小問3詳解】根據男女生人數先補全初中學生各區間人數：時間/人數/類別性別男51213898女69101064學段初中10高中1312754內初中生的總運動時間，內高中生的總運動時間，，，若，則，即解得或，又因為，則或.故可取（或0）.18.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由中位線定理得EFDC，然后由線面平行判定定理和性質定理得出線線平行，從而證得結論成立；（2）以點B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．用空間向量法求二面角的余弦值．（3）根據向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】因為D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．又因為EF平面PCD，DC?平面PCD，所以EF平面PCD．又因為EF?平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，所以EFGH，又因為EFAB，所以ABGH.【小問2詳解】因為，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直．以點B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．由，則，所以，.設平面PAB的一個法向量為，則可取設平面PDC的一個法向量為＝(x，y，z)，由，，得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，所以平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為．【小問3詳解】由點到平面的距離公式可得，即點A到平面PCD的距離為.19.【答案】（1）；（2）時，單調遞減區間為，單調遞增區間為;（3）證明見解析.【分析】（1）根據導數的幾何意義即可求得答案;（2）求出函數的導數，討論k的取值范圍，確定導數的正負，即可求得的單調區間；（3）由于不等式可變為，所以可構造函數，利用（2）的結論可證明故該函數為上的增函數，利用函數的單調性，即可證明結論.【小問1詳解】當時，，故在處的切線斜率為，而，所以在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由題意得，則，令，即，令，即，時，單調遞減區間為,單調遞增區間為.【小問3詳解】證明：由（2）可知，當時，在上單調遞增，而，即在上恒成立，故在上單調遞增，設，則，因為，則，故，所以在上單調遞增，而，則，即，而，故，即.【點睛】關鍵點點睛：證明不等式時，關鍵是構造函數，利用函數的單調性進行證明；因為可變形為，由此可構造函數，從而利用（2）的結論證明該函數為遞增函數，從而利用函數的單調性證明不等式.20.【答案】（1），焦點坐標分別為，；（2）（i）證明見解析；（ii）．【分析】（1）依題意有，求得，進而求得焦點坐標；（2）（i）設，設直線方程為，與橢圓方程聯立求得，利用中點坐標公式求得點坐標，由垂直平分線求得點坐標，即可證得點，關于點對稱；（ii）由已知得為等腰直角三角形，所以，利用兩點之間的距離公式可求得結果.【詳解】（1）依題意，，，有，解得，所以橢圓方程為，焦點坐標分別為，．（2）（i）設，顯然直線的斜率存在，設為k，則直線方程為，聯立，消去y得，，，由韋達定知，，利用中點坐標公式知，，即，，，所以直線的方程為，令，得到，所以．令，得到，所以．所以是，的中點，所以點，關于點對稱．（ii）因為為直角三角形，且，所以為等腰直角三角形，所以，因為，，即，化簡得,，解得，（舍），即點的橫坐標為．【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數