試題試題2024北京九中高三10月月考數學（考試時間120分鐘滿分150分）一、單選題（共40分）1．（本題4分）若集合，，則等于（

）A． B． C． D．2．（本題4分）下列函數中，既是奇函數又是增函數的是（

）A． B． C．y＝﹣x3 D．3．（本題4分）已知，則（

）A． B． C．3 D．44．（本題4分）已知等比數列滿足，，則的公比為（

）A．或 B．或C．或 D．或5．（本題4分）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，，則角（

）A． B． C． D．6．（本題4分）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．7．（本題4分）“”是“”的．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（本題4分）在ΔABC中，若，則角A是A．鈍角 B．直角 C．銳角 D．不能確定9．（本題4分）某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．10．（本題4分）在當前市場經濟條件下，私營個體商店中的商品，所標價格與其實際價值之間，存在著相當大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標價格與其實際價值的差距.設顧客第次的還價為，商家第次的討價為，有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標價的平均值，即；…，顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即，現有一件衣服標價1200元，若經過次的“對半討價還價”，與相差不到2元，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題（共25分）11．（本題5分）函數的定義域為.12．（本題5分）半徑為6，圓心角等于的扇形的面積是．13．（本題5分）若將函數的函數圖象平移個單位，得到一個偶函數的圖象，則的最小值為.14．（本題5分）點從出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為.15．（本題5分）已知函數，給出下列結論：①的單調遞減區間；②當時，直線y=k與y=f（x）的圖象有兩個不同交點；③函數y=f（x）的圖象與的圖象沒有公共點；④當時，函數的最小值為2．其中正確結論的序號是三、解答題（共85分）16．（本題14分）已知數列是公差不為0的等差數列，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，設數列的前項和為，求.17．（本題14分）已知函數．(1)求的最小正周期；(2)求圖象的對稱軸方程；(3)求在上的最大值和最小值．18．（本題14分）設函數，(1)當時，求函數的單調增區間；(2)若函數在區間上為減函數，求的取值范圍；(3)若函數在區間內存在兩個極值點，，且，直接寫出的取值范圍.19．（本題14分）在中，，.(1)求的大小；(2)是的中點.從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積；注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個個解答計分.20．（本題15分）已知函數，其中．（Ⅰ）求函數的零點；（Ⅱ）討論在區間上的單調性；（Ⅲ）在區間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．21．（本題14分）在無窮數列中，，對于任意，都有，．設，記使得成立的n的最大值為．(1)設數列為，寫出，，，的值；(2)若an為等比數列，且，求的值．(3)設，，直接寫出的值．（用p，q，A表示）

參考答案題號12345678910答案ADADDDACAB1．A【解析】直接利用集合的并集運算求解.【詳解】因為集合，，所以=，故選：A2．D【分析】根據函數的單調性和奇偶性，對各個選項中的函數逐一做出判斷，從而得出結論．【詳解】解：由于函數y＝x+1是非奇非偶函數，故排除A；由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調性，故排除B；由于y＝﹣x3是奇函數，且在R上是減函數，故排除C；A，B，C都不對，對于D，y，數形結合可知函數在R遞增且為奇函數；故選D．【點睛】本題主要考查函數的單調性和奇偶性，熟練掌握常見函數的圖像與性質是解題的關鍵，屬于基礎題．3．A【分析】根據余弦兩角和公式和同角三角函數關系求解即可.【詳解】因為，，所以.所以.故選：A4．D【分析】設出公比，利用等比數列通項公式基本量計算列出方程，求出答案【詳解】設公比為，則，解得或.故選：D5．D【分析】根據余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,，即，故選：D6．D【分析】根據指對數的函數性質判斷各數的大小關系.【詳解】，故選：D7．A【詳解】試題分析：，所以“”是“”的充分而不必要條件考點：充分條件與必要條件8．C【分析】首先利用正弦定理角化邊，然后結合余弦定理確定∠A的大小即可.【詳解】由結合正弦定理可得：，則結合余弦定理有：，故∠C為鈍角，則角A是銳角.本題選擇C選項.【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現邊的一次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．9．A【詳解】試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關于三角函數在幾何中的應用的題目，掌握正余弦定理是解題的關鍵；首先根據三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進而得到正方形的面積，最后得到答案.10．B【分析】判斷出數列是等比數列，由此列不等式，從而求得的最小值.【詳解】依題意可知，，則，又，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，由得，其中，解得，因此的最小值為.故選：B.11．【分析】根據函數定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域為.故答案為：12．【分析】由扇形面積公式即可直接計算求解.【詳解】由題得扇形的面積是.故答案為：.13．【解析】分兩種情況討論，先求出的值，再比較即得解的最小值.【詳解】若將函數的函數圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，根據所得圖象為一個偶函數的圖象，故，，此時，；若將函數的函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，根據所得圖象為一個偶函數的圖象，故，，此時，；綜上可得，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規律及正弦函數的奇偶性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．14．【分析】由題意先求出的正弦值、余弦值，再根據條件得到，再根據兩角和的正弦、余弦公式求出的正弦值、余弦值，然后求出點的坐標．【詳解】解：∵點在單位圓上，∴，，∵點沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點，∴點逆時針轉動了，則，∴，，∴點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角函數的定義以及兩角和的正余弦公式，屬于基礎題．15．①③【分析】①先求出函數的導數，令導函數小于0，解出即可判斷；②根據函數的單調性畫出函數的圖象，通過圖象讀出即可；③求出f（x）的最大值小于y＝x2+1的最小值，從而得到答案；④利用對勾函數即可作出判斷．【詳解】解：①f′（x），令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函數f（x）在（1，+∞）遞減，故①正確；②∵f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，∴f（x）max＝f（1），x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→0，畫出函數f（x）的圖象，如圖示：，∴當k∈（﹣∞，0）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有1個不同交點，當k∈（0，）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個不同交點，故②錯誤；③函數f（x），而y＝x2+1≥1，∴函數y＝f（x）的圖象與y＝x2+1的圖象沒有公共點，故③正確；④當時，令t=，在上單調遞減，∴，最小值不等于2，故④錯誤.故答案為①③．【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．16．(1)(2)【分析】（1）根據等差數列的通項公式及等比中項列出方程組求出首項與公差，即可得解；（2）利用裂項相消法求和.【詳解】（1）因為成等比數列，所以，解得，所以.（2）因為，所以，所以，所以.17．(1)(2)(3)，.【分析】（1）利用輔助角公式可將化簡，從而求得其最小周期；（2）利用整體代入法求得圖象的對稱軸方程，從而得解；（3）利用正弦函數的性質，結合整體法即可得解.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期為：；（2）令，得，所以圖象的對稱軸方程為；（3）因為，所以，注意到在上單調遞減，在上單調遞增，而，，，所以，.18．(1)，.(2)(3)【分析】(1)把代入求導，再求出導函數大于0的不等式解集即可；(2)由函數的導函數在上恒小于等于0即可出a的范圍；(3)根據給定條件可得函數在區間內的兩個極值一正一負，再列出不等式求解即得.【詳解】（1）當時，，則，由解得：或，所以函數的單調增區間是，.（2）函數，則，因函數在區間上為減函數，則，成立，即，，顯然在上單調遞減，即，，則，所以a的取值范圍是.（3）由(2)知，，因函數在區間內存在兩個極值點，，則在區間內有兩個不等根，，即有，解得，且有，不妨令，則，當或時，，當時，，則在處取得極大值，在取得極小值，顯然，，由兩邊平方得，而，即，整理得：，把代入上述不等式并整理得：，解得，綜上得，所以實數a的取值范圍是.【點睛】含有多個變量的處理方法是減少變量的個數，減少變量方法有：（1）若這些變量之間有關系可以用它們之間的關系消元，如在本題中不等式含有三個變量，可以通過韋達定理代入的辦法消去，，只剩下關系的不等式.（2）若這些變量之間沒有關系可以通過構造比值或差值消元，如證明不等式時可變形為后構造消元，只剩下關于的不等式；證明不等式時可變形為后構造消元，只剩下關于的不等式.19．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據題意利用正余弦定理分析求解；（2）對于①：在，利用余弦定理求得，進而可得面積；對于②：根據（1）中邊的關系分析可得，進而可得面積；對于③：根據（1）中邊的關系分析判斷；【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又因為，由余弦定理可得，即，則，所以.（2）對于①：AB邊上的中線長為，在，由余弦定理得即，解得，則，所以的面積為；對于②：因為，解得，則，所以的面積為；對于③：若，這與相矛盾，不合題意；20．(1)函數的零點為.(2)在區間上是增函數，在區間上是減函數(3)見解析.【詳解】（I）解，得所以函數的零點為－a（II）函數在區域（－∞，0）上有意義，，令因為當x在定義域上變化時，的變化情況如下：（）+-所以在區間上是增函數，在區間是減函數．（III）在區間上存在最小值證明：由（I）知-a是函數的零點，因為所以．由知，當時，．又函數在上是減函數，且．所以函數在區間上的最小值為，且．計算得．21．(1)(2)243；(3)【分析】（1）根據使得成立的的最大值為，結合數列為，分析即可；（2）若為等差數列，先判斷，再證