試題試題2024北京清華附中高三（上）統練四數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知集合，，則（）A． B．{1，2} C．[1，2] D．{1}2．已知復數，則z的共軛復數（）A． B． C．-i D．i3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，，，，則（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在△ABC中，點D，E滿足），．若（x，y∈R），則（）A． B． C． D．6．若是第二象限角，且，則（）A． B． C． D．7．已知數列為無窮項等比數列，為其前n項和，，則“存在最小項”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若過點（a，b）可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．9．血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度，藥物在人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，不正確的是（）A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒10．數列滿足，，，該數列的前n項和為，則下列論斷中錯誤的是（）A． B．C．非零常數T，，使得 D．，都有二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11．若，則實數x的取值范圍是______．12．已知角θ的頂點為坐標原點O，始邊與x軸的非負半軸重合，點A（1，a）在角θ的終邊上，其中a為整數，且，則的一個取值是______．13．在矩形ABCD中，，，且點E，F分別是邊BC，CD的中點，則______．14．已知函數．數列滿足（n=1，2，3，…），則數列的前100項和是______．15．已知平面內點集A={P1，P2，…，Pn}（n>1）．A中任意兩個不同點之間的距離都不相等．設集合．給出以下四個結論：①若n=2，則A=M：②若n為奇數，則A≠M：③若n為偶數，則A=M：④若．則k≤5．其中所有正確結論的序號是______．三、解答題共6道小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（本小題14分）在等差數列中，，．（Ⅰ）求數列的通項公式：（Ⅱ）設，其中，求數列的前n項和．17．（本小題14分）已知函數，其中a＞0．且的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于π．（Ⅰ）求函數的解析式及最小正周期：（Ⅱ）若關于x的方程在區間上恰有兩個不同解，求實數m的取值范圍．18．（本小題14分）在△ABC中，．（1）求∠A；（2）若△ABC的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．使△ABC存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求．第（2）問得0分：如果選擇多個符合要求的條件分別解答．按第一個解答計分．19．（本小題14分）已知函數．（Ⅰ）求證：對?a∈R．曲線在點處的切線恒過定點；（Ⅱ）當a＞2時，判斷函數的零點的個數，并說明理由．20．（本小題14分）設函數．其中a＞0．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）當時．對于，不等式恒成立，求m的取值范圍．21．（本小題15分）已知無窮數列，各項都是正整數，定義集合：，；（Ⅰ）已知，，直接寫出集合Da，Db；（Ⅱ）若，，，求證：中有無窮多個1；（Ⅲ）若，均為等差數列，且Da，Db均為無限集，求證：Da=Db．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】求出集合中元素范圍，然后再求交集即可.【詳解】，又則.故選：B.2.【答案】C【分析】先進行復數除法運算，再根據共軛復數概念辨析即可.【詳解】，則z的共軛復數.故選：C.3.【答案】D【分析】根據反例可判斷AC，根據不等式的性質，結合函數的單調性即可判斷BD.【詳解】對于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯誤，對于B，由于，所以，又為單調遞增函數，所以，故B錯誤，對于C，若，顯然滿足，，故C錯誤，對于D，若，則，函數在上單調遞增，所以，當，則，函數在上單調遞增，所以，當，則，綜上可知D正確，故選：D4.【答案】D【分析】根據的最值，得到，故，求出答案.【詳解】的最大值為1，最小值為，設的最小正周期為，又，，，，故，即，解得.故選：D.5.【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算可得，再根據平面向量基本定理可得，從而可得答案.【詳解】因為，又，所以，所以.故選：B【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，考查了平面向量基本定理，屬于基礎題.6.【答案】D【分析】通過誘導公式求出，化簡所求表達式，利用同角三角函數的基本關系式求解即可.【詳解】是第二象限角，且，tanα=?12,，故選：D.7.【答案】A【分析】分別從條件到結論、結論到條件兩個方面考慮是否可推出,對于不能推出的結論，可通過舉反例說明即可.【詳解】設數列an的公比為，由，因“存在最小項”，則，且其單調遞減或為常數列，故得，于是，即“存在最小項”是“”的充分條件；當時，因，不妨取，則此時的符號不能確定，故無最小項，即“存在最小項”不是“”的必要條件.綜上可知，“存在最小項”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】D【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.9.【答案】D【詳解】從圖象可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用該藥物的血藥濃度應大于最低有效濃度，藥物發揮治療作用，A正確；第一次服藥后3小時與第2次服藥1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發生藥物中毒，B正確，D錯誤；服藥5.5小時后，血藥濃度小于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，正好能發揮作用，C正確．故選D．10.【答案】C【分析】由已知可得A正確；由已知遞推關系化簡可得B正確；由已知遞推關系總結數列的規律，再用反證法得到C錯誤；由已知遞推關系找到前項和的規律再結合等比數列的前項和可得D正確.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，故B正確；對于C，由可得，由可得，由可得，而，所以，設存在非零常數，使得，則，矛盾，所以不存在非零常數，使得，故C錯誤；對于D，當時，，當時，，即時，有相鄰兩項的和為零，即有接下來個項和為零；當時，，即時，有相鄰兩項的和與相鄰四項為零，即有接下來個項和零；當時，，所以，故D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題D選項關鍵在于能理解的意義，即表示數列中前兩項和為外的到項，到項，到項和分別為零.二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據對數函數單調性及定義域得到不等式，求出x的取值范圍.【詳解】，解得，故實數x的取值范圍為.故答案：12.【答案】（，，均可）【分析】由求得的取值范圍，結合三角函數的定義進而可得解.【詳解】，即，解得，又，故的值可為、、、、，則，即的值可以是或或.故答案為：（，，均可）.13.【答案】【分析】由平面向量的數量積的運算性質求解即可【詳解】如圖所示，因為矩形中，分別是的中點，所以，，所以．故答案為：14.【答案】【分析】根據三角函數知識，利用為奇數時，，為奇數時時，，為偶數時，，可求出，再相加即可得到答案.【詳解】因為，所以，，，所以，，，，，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了特殊角的余弦函數值和誘導公式，考查了數列的前項和，考查了分組求和，屬于基礎題.15.【答案】①③④【分析】先證明，得到①③正確，②錯誤，然后在和的情況下推導出矛盾，從而得到，即④正確.【詳解】由于A中任意兩個不同點之間的距離都不相等，故所有個向量兩兩不相等.這表明對任意的，當且僅當，有.將其轉換為更通俗的語言就是：對于點，當且僅當是集合里除了以外的點中到的距離最短的點.所以，對每個，顯然存在另一個到距離取到最小值的點，則此時就有，從而，這就直接說明了.所以①③正確，②錯誤；對于④，假設，.由于，故兩兩不同，且對每個，點都是中除外到距離最短的點.特別地，都是到各自的距離最短（不包括其本身）的點.不妨設，并記為點，則是到各自的距離最短（不包括其本身）的點.對兩個不同點，記直線的傾斜角為.假設存在使得，不妨設，則，這與是到的距離最短（不包括本身）的點矛盾.所以兩兩不相等，不妨設.由于，，故，，所以.故，同理.而對，有或，故.所以，這意味著，矛盾.這表明假設不成立，所以，④正確.故答案為：①③④【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于對集合新定義的理解，以及三角形中邊長的大小關系與角度的大小關系之間的對應，即所謂的“大邊對大角”.三、解答題共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據等差數列的通項公式列式可解得，，從而可得數列an的通項公式；（2）求出，再根據等差數列與等比數列的前項和公式可求得結果.【小問1詳解】設等差數列an的公差為，則有解得，.所以數列an的通項公式為.【小問2詳解】.因為數列是首項為，公比為的等比數列，所以.17.【答案】（1）;.（2）【分析】（1）根據二倍角公式和誘導公式化簡可得的解析式，由已知條件求得函數的最小值為，計算即可得解；（2）原問題轉化為在區間上有兩個不同解，再根據正弦函數的圖象與性質，得解.【小問1詳解】函數函數的最小正周期為，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以函數的最小值為，所以，解得，所以.【小問2詳解】由，知，因為，所以，由于在區間上有兩個不同解，所以，即.18.【答案】（1）（2）選②或③，【分析】（1）利用正弦定理：邊轉角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結果；（2）條件①，由，角可以是銳角或鈍角，不滿足題設中的條件，故不選①；條件②，利用條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結果；條件③，利用正弦定理，先把角轉邊，再結合條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結果；【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.【小問2詳解】選條件①：由（1）知，，根據正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因為，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.選條件③：因為，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.19.【答案】（1）證明見解析（2）2【分析】（1）利用導數的幾何意義求出切線方程，再證明其經過定點即可；（2）根據函數的定義域分和兩種情況討論函數的零點情況，利用求導判斷函數的單調性，再借助于零點存在定理判斷零點個數即得.【小問1詳解】由求導可得，，依題意，，故曲線y=fx在點處的切線為，即，因，故有，解得，即切線恒過點，得證；【小問2詳解】的定義域為，由（1）已得：，，①當時，，則在上單調遞增.由，而，因（下面證明），故，即，由零點存在定理可得，fx在上有且僅有一個零點，即fx在上只有一個零點；下證：.設，則，即在上單調遞增，故，即成立.②當時，，則在上單調遞增.由，因，則，而，故，又，因在上單調遞增，故f(a+1)>a?1a>2?即，由零點存在定理可得，fx在上有且僅有一個零點,即fx在上只有一個零點.綜上所述，時，在上有兩個零點.20.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導可得，令，可得或，分，，討論可求單調區間；（2）由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，由題意可得，進而分類討論可求取值范圍．【小問1詳解】由fx可得，令，可得，解得或，當時，，若，f'x>0，函數在上單調遞增，若，f'x<0，函數在上單調遞減，若，f'x>0，函數在上單調遞增；當時，，此時f'x≥0，函數在上單調遞增；當時，，若，f'x>0，函數在上單調遞增，若，f'x<0，函數在上單調遞減，若，f'x>0，函數在上單調遞增；綜上所述：當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數在上單調遞增，當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】當時，fx=由（1）可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，因為對于，不等式恒成立，所以，由成立，所以①成立，故時，可得對于，不等式恒成立，當時，對于，不等式恒成立，若時，也有①